余弦定理知识讲解

余弦定理【学习目标】掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题;通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.AABC中 C（1） 一般约定：AABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c；（2）A+B+C=1800； 、卜/（3） 大边对大角，大角对大边，即B>Cob>c；等边对等角，等角对等边，即B=Cob=c；（4） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a+c>b，a-c<b.2.RtAABC中，ZC=900，,b a _cosA=-，cosB=—，cosC=0c c要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即:a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC余弦定理的推导已知：AABC中，BC=a，AC=b及角C，求角C的对应边c.证明：方法一：向量法（1）锐角AABC中（如图），uuruuruuur A-AC+CB=AB,uuruuruuiruuruuiruur '、c:.AB-AB=(AC+CB)(AC+CB)uuir uuruuiruur 。*a'B=AC2+2CB-AC+CB2uuruuruuir uur=1AC|2+21CBI•IACIcos(兀-C)+ICBI2=b2—2bacosC+a2即：c2=a2+b2—2abcosC (*)同理可得：b2=a2+c2一2accosB,a2=b2+c2一2bccosA要点诠释：uuruur uuruur推导(*)中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC与CB的夹角应为兀—C,而不是C.钝角三角形情况与锐角三角形相同。2-兀(3)对于直角三角形中C=-时，cosC=0,c2=a2+b2，也满足余弦定理。方法二：解析几何方法一一利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系.则点A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA,bsinA)由B、C两点间的距离可知，IBCI=((bcosA-c)2+(bsinA一0)2即a=\，‘b2+c2—2bccosA整理得到a2=b2+c2一2bccosA.余弦定理的变形公式：b2+c2-a2 八a2+c2-b2 八a2+b2-c2cosA= ,cosB= ,cosC= 2bc 2ac 2ab要点三、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角。要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.2.解斜三角形的基本问题：已知条件解法解的情况一边和两角（例如a,B,C）利用A+B+C=180。，求A应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角（例如a,b,C）应用余弦定理求边c应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）利用A+B+C=180。，求第三个角.唯一解三边（例如a,b,c）法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2.用A+B+C=180。，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、 应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、 利用A+B+C=180。，求第三个角唯一解两边及其中一边的对角（例如a,b,A）此类问题首先要讨论解的情况1、 应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、 利用A+B+C=180。，求第三个角3、 应用正弦或余弦定理求第三边两解、一解或无解要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。要点三、利用正、余弦定理判断三角形的形状余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.

【典型例题】类型一：余弦定理的简单应用：例1.(2016春盐城校级期中)已知AABC中，如果sinA:sinB:sinC=5:6:8，那么此三角形最大角的余弦值。【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解【解析】QsinA:sinB:sinC=5:6:8，由正弦定理可知a:b:c=5:6:8，令a=5,b=6,c=8，所以边c对应的角最大TOC\o"1-5"\h\z八a2+b2-c225+36-64 1cosC= = =—-2ab 2x5x6 20【总结升华】AABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式11(2015广东)设^ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2,c=2<3【变式11(2015A且b<c，则b=(B.2B.2C.2克D.3【答案】由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA，所以22=b2+^异)—2xbx2七'3x^~，即b2—6b+8=0,A解得：b=2或b=4，因为b<c，所以b=2。故选：B.【变式2】在AABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c=如6:2:((3+1)，求AABC的各角的大小.【答案】设a=<6k，b=2k，c=(：'3+)k，(k>0)6+C'3+J—4 .-'2根据余弦定理得：cosB=2(._+1)_=3，V0o<B<180o，.•・B=45o；同理可得A=60o；...C=180o-A-B=75o【高清课堂：余弦定理376695题一】【变式3】在AABC中，若a2=b+c2+bc，则角A等于（）.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"kk 2k k 2kA.3B.6七D.3或Tb2+c2-a2【答案】b2+c2一a2=-bc， cosA=2bc 24 2兀A=—

3类型二：余弦定理的综合应用例2.（2015陕西高考）AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=（a,扣2b）与rn=(cosA,sinB)平行.(I)求A；(II)若a=\7,b=2求AABC的面积.【答案】(I)A=彳；(II)323.urr【思路点拨】（I）先利用m//n可得asinB—v''3bcosA=0，再利用正弦定理可得tanA的值，进而可得A的值；（II）由余弦定理可得c的值，进而利用三角形的面积公式可得AABC的面积.urr 一【解析】（I）因为m//n，所以asinB一寸3bcosA=0由正弦定理，得sinAsinB一\3sinBcosA=0又sinB。0，从而tanA=J3，/兀所以A=—（II）解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，而a=<7,b=2，A=三，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0因为c>0，所以c=3，

TOC\o"1-5"\h\z一. 3、.耳故AABC面积为—bcsinA= 2“ 、、/占解法一：由正弦定理，得 =-兀sin—2

sinB从而sinB=72

sinB从而sinB=7又由a>b知A>B，一2、折所以cosB—7故sinC—sin（A+B）=sin（B+；）=sinBcosI+cosBsin:=号，1 ._3t'3所以^ABC面积为号absinC=——.TOC\o"1-5"\h\zA A余弦定理与三角形的面积公式等基础知识。【总结升华】本题考查平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等基础知识。举一反三：、. 、、. .2兀 b【变式1】（2016北京高考文）在^ABC中，ZA=二-，a="3c，则一= 3 c一•一2兀sinA 1 兀【答案】 由正弦定理知一—=—=寸3，所以sinC=—；=—=—，则C=—，所以sinCc \.；3 2 6b1

即一b1

即一=1.cB—丸 =—，所以b—c，3 66【变式2】在AABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a=2，b=2\2，c=\/6-*2，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：xb2+c2-a2 8+8-牝3-4、<3cosA= — 二（一—————2bc 2x2技xV6-显）2•.・0o<A<180o， .•・A—30o

..•由正弦定理得:.八c..•由正弦定理得:.八csinAsinC= （；6f2）sin30o类型三：判断三角形的形状例3.在^ABC中，已知sinA=2sinBcosC,试判断该三角形的形状.【思路点拨】本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.【解析】由正弦定理及余弦定理，得sinAa八a2+b2-c2 =—,cosC= ，sinBb 2ab所以a a2+b2-c2-=2-一—一，整理得，b 2ab因为b>0,c>0,所以b=c，因此△ABC为等腰三角形【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：TOC\o"1-5"\h\z【变式1】在^ABC中，若2cosBsinA=sinC，则^