盐城中学2013高考专题复习系列之一(导数)

第4页共15页Ⅲ导数一、考试要求；了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的斜率等），掌握函数在某点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导数的概念。熟记导数的基本公式，掌握两个函数的和、差、积、商的导数的求导法则，了解复合函数导数的求导法则，会求某些简单函数的导数；理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会求一些实际问题的最大值和最小值。二、高考试题回放：1、(广东卷)函数是减函数的区间为()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）2.（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）53.（湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （）-22O1-1-11 A．3 B．2 -22O1-1-114．(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(C）OO-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD5.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()(A)(B)(C)(D)16.(重庆卷)曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为______8/3____。7.（江苏卷）（14）曲线在点（1,3）处的切线方程是8.(全国卷III)曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=09.（北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为(1,e)；，切线的斜率为e．三、高考试题分析1.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=3－2－1若=0，则==－，=1当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。2、(全国卷Ⅱ)已知a≥0，函数f(x)=（-2ax）当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x=0时，（I）求f(x)的单调递减区间；（=2\*ROMANII）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解题分析：三次函数是高考导数部分依托的主要函数，本题主要考查导数法求函数的单调区间和函数的最值问题，属于常规问题。解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（=2\*ROMANII）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．解题回顾：三次函数是高考导数部分依托的主要函数，对于三次函数性质的研究是近年来导数考查的重点内容。例题2、已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例3、 已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，例题4、设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以. 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以 而 将代入上式得因此故，，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二： 因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线， 所以即解得 所以的取值范围为例题5、函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数（Ⅰ）用、、表示m；（Ⅱ）证明：当；（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.解：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：令因为递减，所以递增，因此，当；当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为 于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式② 有解、解不等式②得③ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.对任意成立的充要条件是 令，于是对任意成立的充要条件是 由 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ①显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式②有解、解不等式②得因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.例题6、已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即①设