工程数学知识点以及教学大纲

工程数学知识点以及教学大纲第一篇线性代数第１章行列式1． 二阶、三阶行列式的计算Ｐ22． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）3． 行列式展开（代数余子式）Ｐ74． 利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法）5． 字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）6． 矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7． 矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律）（）8． 特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E）、三角形矩阵）9． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形10． 逆矩阵的定义、运算性质11． 伴随矩阵Ｐ3812． 利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单）13． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第２章线性方程组1． 线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4第３章特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1第二篇概率论第4章 概率的基本概念及计算1、 基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例2、 基本公式：概率的可加性（互不相容）概率的加法公式（相容）击落飞机问题概率的乘法公式逆事件的概率事件A和B独立，则有3、 基本结论：当事件A和B相互独立时，我们可以证明，事件亦相互独立。第5章 随机变量1、 基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分布律、概率分布函数（）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数（，）Ｐ158、Ｐ161——例20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P192定理）2、 基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数服从正态分布的随机变量的概率计算Ｐ165——例23、例253、 基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即第6章 随机变量的数字特征、几个极限定理1、 基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望Ｐ190、方差Ｐ198及其性质、随机变量函数的数学期望Ｐ195——例12、k阶（原点）矩、k阶中心矩2、 基本公式：（1） 数学期望（平均值、期望值、均值）：１），２）（2） 方差：１）２）（3） 标准差（均方差）：（与随机变量有相同的量纲）3、 基本结论：（1）0－1（p）分布：（Ｐ151表格形式），（2）n重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：Ｐ153——例10，（3）泊松公布（Poisson）：，***在实际计算中，当时，我们有如下的泊松近似公式（4）指数分布（）：，，（5）均匀分布（）：，，（6）正态分布（）：，（7）标准正态分布（）：，（8）n个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布（Ｐ202）第三篇数理统计第7章 数理统计的基本概念1、 基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断Ｐ218、统计量的观测值、抽样分布2、 基本公式：（1） 样本平均值：（2） 样本方差：（3） 样本标准差：（4） 样本k阶原点矩：（5） 样本k阶中心矩：3、 基本结论：（1） 定理2：（2） Ｐ221例1（3） （4） （5） 定理3：（6） 定理4：（7） 定理5：（8） 定理6：（9） 定理7：（10） 定理8：（11） 定理9：（12） 分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：（13） 分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：当n充分大（>45）时，有（费歇）（14） 分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：当n>30时，分布和标准正态分布就很接近了，由此当n较大时，就可以用标准正态分布的分位点取代分布的分位点。（15） 分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：第8章 参数估计1、 基本概念：矩估计法、无偏估计（）、有效性（方差较小）、置信区间（置信度）2、 基本公式：（1） 矩估计法：0－1（p）分布：二项分布（b(m,p)）：均匀分布（）：指数分布（）：正态分布（）：3、 基本结论：（1） 矩估计法：样本矩作为总体矩的估计；总体未知参数的估计由矩的估计得到；同一参数利用不同的矩，得到的估计量是不同的。（2） 对于任意一个总体，样本均值和样本方差是总体均值和总体方差的无偏估计，是总体方差的渐近无偏估计（）。（3） ，即同一参数的无偏估计并不唯一。（4） Ｐ241——例18，例20（5） 当n固定时，随着置信度的降低，区间长度随之减小；如果既要具有较小的区间长度，又要保持较高的置信度，必须增大样本容量n。（6） 第9章 假设检验1、 基本概念：参数检验与非参数检验、随机误差与系统误差、原（零）假设与备选假设、临界值、接受域、拒绝域、显著性水平、第一类错误（弃真）、第二类错误（取伪）、双边假设检验、单边假设检验（>右边；<左边）、分布拟合检验2、 基本公式：3、 基本结论：（1） 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生（实际推断原理）。（2） 单个正态总体的参数假设检验：１）Ｐ251——例1,例3２）３）（3） 两个独立正态总体的参数假设检验：（4） 基于成对数据的假设检验：作数据对的差（5） 大样本下总体参数的假设检验（非正态总体或未知总体分布）：（6） 分布拟合检验：第10章 方差分析和回归分析1、 基本概念：方差分析、试验指标、因素、水平、单因素不等（等）重复试验、双因素无（有）重复实验、方差分析及基本假定（正态性方差齐性线性性）、随机误差、系统误差、均方（Ｐ271、Ｐ275）相关关系、理论回归方程、回归函数（一元（多元）线性（非线性）回归）、相关分析、样本回归方程、散点图、回归值、最小二乘法、最小二乘估计、正规方程、样本相关系数2、 基本公式：（1） 单因素方差分析：１）总均值：２）样本总平均：３）水平下样本均值：４）单因素方差分析的数学模型：5）单因素样本总偏差平方和：6）（2） 双因素无重复试验的方差分析：１）双因素无重复试验方差分析的数学模型：２）双因素无重复试验样本总偏差平方和：3）（3） 双因素等重复试验的方差分析：1）2）双因素等重复试验方差分析的数学模型：3）双因素等重复试验样本总偏差平方和：4）（4） 一元线性回归模型：（5） 一元线性样本回归方程及其解：（6） 样本相关系数：（7） 3、 基本结论：（1） 单因素方差分析：1） 定理１：，２）定理２：３）４）５）（2） 双因素无重复试验方差分析：１）２）（3） 双因素等重复试验方差分析：１）２）（4） 最小二乘估计的统计性质：（5） 一元线性回归总偏差平方和的分解：（6） 的无偏估计：（7） 直线回归的显著性检验：（8） 系数b的置信度为置信区间：（9） 相关性检验：（10） 利用回归方程进行预测：（11） 利用回归方程进行控制（n较大时）：（12） 可化为一元线性回归的例子常用的excel命令：二项分布：=BINOMDIST(x,n,p,01)（0—概率密度，1—累积分布）返回概率、=CRITBINOM(n,p,临界值)返回成功次数泊松分布：=POISSON(x,均值,01)指数分布：=EXPONDIST(x,参数,01)正态分布：=NORMDIST(x,均值,标准差,01)、=NORMINV(p,均值,标准差)标准正态分布：=NORMSDIST(x)、=NORMSINV(p)样本方差：=VAR样本标准差：=STDEV样本协方差：=COVAR样本相关系数：=CORREL（分析工具——相关分析）卡方分布：=CHIDIST(x,自由度)（单尾）返回值、CHIINV(p,自由度)（单尾）返回卡方值t分布：=TDIST(x,自由度,12)（1—单尾，2—双尾）返回概率、=TINV(p,自由度)（p—双尾）返回t值F分布：=FDIST(x,自由度1,自由度2)（单尾）返回值、=FINV(p,自由度1,自由度2)（单尾）返回概率F值《工程数学》教学大纲一、课程的性质、地位和任务工程数学D包括线性代数及复变函数两门数学课程，其课程性质为专业基础课，因此在教学改革中，应该以“学以致用”为基本原则，在强化基本原理和基本知识的同时，重点培养学生的基本技能。这是本课程教学改革的定位点。《线性代数》属于工程数学类基础理论课。由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题。特别是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征向量等已经成为工程技术人员经常遇到的课题，因此该课程所介绍的方法广泛地应用于这些领域的各个学科，这就要求理工科学生必须具备有线性代数基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。《复变函数》是物理与电子信息学类各专业的基础理论课，通过本课程的学习，使学生掌握处理电子信息问题的一些基本数学方法，为进一步学习数字信号处理等后续课程提供必要的数学基础。为学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，并使学生具备一定的解决实际问题的能力。课程的基础性体现在对于计算机专业的学生都要学习和掌握工程数学D的基本原理及应用本课程的数学方法解决实际问题的能力。按照“宽基础、厚知识、强能力、高素质”的人才培养要求，以基础理论教育为主线，以培养学生解决实际问题的能力为核心，建构了以学科建设为支撑、以课程教学改革为依托、以理论学习与实际应用相结合为主体的课程教学新体系。本课程的目的是为了适应计算机维护及计算机应用专业学生培养目标的要求。课程的任务是向学生系统地介绍工程数学D，要求较好地理解线性代数和复变函数的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分柝问题和解决问题的能力.领会其分析与解决问题的基本思路和方法。二、课程的教学目标（一）理论、知识方面本课程的学习旨在使学生掌握学生系统地获得线性代数和复变函数的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。为后继课程的学习奠定良好的数学基础。（二）能力、技能方面通过本课程的教学，除了使学生了解必要的线性代数知识和技能之外，还必须使学生对线性代数基础理论有较深的了解。培养学生的抽象思维的能力。以便融会贯通地运用线性代数的工具去解决理论上和实践中遇到的问题。主要包括以下几个方面：1、理解线性代数和复变函数的基本知识和基本概念；2、掌握线性代数和复变函数的基本知识和必要的基本运算技能；3、掌握运用数学方法分析问题和解决问题的基本方法和技巧，从而为学生学习后续课程及进一步提高打下必要的数学基础。4、培养学生的抽象思维和逻辑思维能力；三、课程教学内容与要求（一）线性代数（28学时）1.教学内容及基本要求教学内容如下：第一章的教学内容有：n阶行列式的性质、行列式计算的主要方法、Cramcr法则及其推论。第二章的教学内容有：矩阵的概念，矩阵的代数运算：加法、数乘、乘法、转置、方阵取行列式、方阵求逆、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩。第三章的教学内容有：n维向量及其线性相关性的概念、判定、主要性质和定理、向量组的最大无关组与秩。第四章的教学内容有：线性方程组的消元解法、线性方程组的解的结构。基本要求如下：第一章行列式（1）掌握行列式的六条主要性质的结论，会运用这些性质进行行列式的简化。（2）理解代数余子式的概念，掌握行列式按行(列)展开从而降阶的方法。（3）对于确定阶数(≤4阶)的行列式，会通过化简为三角形求值，或化简后展开、降阶计算。（4）理解Cramer法则，掌握其关于齐次方程组的推论。第二章矩阵与矩阵的初等变换（1）理解矩阵的概念(包括矩阵的元素、阶数)，掌握矩阵的表示法。了解一些常用的特殊矩阵，如行(列)矩阵、零矩阵、方阵、上(下)三角阵、单位阵等。（2）熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及其运算律，理解矩阵一般不可交换和不可消去的原理；理解线性变换和线性方程组的矩阵形式；理解对称阵的定义及其性质。（3）熟练掌握方阵可逆的定义；掌握用伴随阵求逆阵的方法；掌握用逆阵解线性方程组和简单矩阵方程的方法。（4）了解分块矩阵的概念。（5）理解矩阵的行(列)初等变换及矩阵的等价性概念；熟练掌握矩阵的行初等变换。（6）理解矩阵的秩的定义；熟练掌握用初等变换求秩的方法。（7）理解初等阵的定义及其性质；熟练掌握用初等变换求逆阵的方法。第三章向量的线性相关性（1）理解n维向量的概念；熟练掌握向量的线性运算；（2）理解线性组合、线性表示等概念。理解一组向量线性相关、线性无关的定义和充要条件：熟练掌握判别一组向量线性相关性的基本方法；会用定义和充要条件进行简单的论证判定。（3）理解向量组的最大无关组的定义和性质，理解向量组的秩的定义。会求一组向量组的最大无关组。第四章线性方程组（1）熟练掌握用方程组的增广矩阵(或系数矩阵，对于齐次方程组)作行初等变换解方程组的一般方法。（2）了解齐次方程的解空间的概念；熟练掌握基础解系和通解的求法；会求非齐次方程组的通解。2.重点、难点重点：n阶行列式的性质、行列式计算的主要方法、Cramcr法则及其推论；矩阵的概念，矩阵的代数运算、方阵取行列式、方阵求逆、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩；n维向量及其线性相关性的概念、判定、主要性质和定理、向量组的最大无关组与秩；线性方程组的消元解法、线性方程组的解的结构。难点：n阶行列式的性质及计算的主要方法；矩阵的概念，方阵求逆、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩；n维向量及其线性相关性的概念、判定、主要性质和定理、向量组的最大无关组与秩；线性方程组的解的结构。（二）复变函数（20学时）1.教学内容及基本要求教学内容如下：第一章的教学内容有：复数的概念及各种表示、复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义；复数的指数形式、区域的有关概念及复平面的概念、扩充复平面的概念；用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法、复变函数及映射的概念、复变函数与一对二元实函数的关系；复变函数的极限与连续的概念。第二章的教学内容有：复变函数的导数的定义、求导的方法；解析函数的定义、函数解析的充要条件；指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、及它们的解析性质、运算性质。第三章的教学内容有：复变函数积分的概念、积分的存在性及计算公式、复变函数积分；柯西—古萨基本定理、积分与路径无关的条件、原函数与不定积分的概念；复合闭路定理及柯西积分公式、会计算某些围道的积分；高阶导数公式、会应用高阶导数公式计算某些积分；调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系。基本要求如下：第一章复数与复变函数（1）熟练掌握的概念及各种表示、复数的四则运算及乘方、开方运算，了解复数运算的几何意义。（2）理解复数的指数形式、区域的有关概念及复平面的概念、复连通区域和复球面等概念。（3）掌握一些曲线的复数表达式，了解复变函数及映射的概念、复变函数与一对二元实函数的关系。（4）理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。第二章解析函数（1）了解复变函数的可导的概念。（2）理解掌握解析函数的定义、函数解析的充要条件，掌握判别函数解析性的方法。（3）理解初等复变函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、及它们的解析性质、运算性质。第三章复变函数的积分(1)理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质。(2)掌握复变函数积分的计算方法。(3)掌握Cauchy积分定理及其推论。(4)熟练掌握用Cauchy积分公式及高阶导数公式计算积分。(5)了解调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系。2.重点、难点重点：复数的运算，用复数方程表示曲线；函数解析性的判断，解析函数的充要