中考数学复习满分突破（全国通用）：专题17 直角三角形翻折模型（原卷版）

专题17直角三角形翻折模型已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5模型一：沿过点A的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，折痕为AD，求线段AD，DC，B’C长度。解法一（勾股定理思路）：由已知条件可知，AB=AB’，BD=B’D∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2设BD=x，则B’D=x，DC=4-x在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+B’C2=DC2即x2+22=（4-x）2解得x=1.5∴B’D=1.5,DC=2.5同理AD=3解法二（相似三角形思路）：由已知条件易证△ABC∽△DB’C则ABBC=DB’B'C则B’D=1.5【模型变形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD为∠BAC的角平分线，求DC长解法（思路）：过点D作DE⊥AC，垂足为点E则△ABD≌△AED(AAS)(证明过程略)∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE剩余步骤参照模型一解法一模型二：沿过点C的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，折痕为CD，求线段AD，DC，AB’长度。解法一（勾股定理思路）：由已知条件可知，BD=B’D，BC=B’C∵∠ABC=90°，BC=4，AC=5∴∠CB’D=90°，B’C=4，AB’=1设BD=x，则B’D=x，AD=3-x在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+AB’2=AD2即x2+12=（3-x）2解得x=4∴B’D=43,AD=在Rt△DCB’中，由勾股定理可Q求得CD长解法二（相似三角形思路）：由已知条件易证△ABC∽△AB’D则ABBC=AB’B'D则B’D=43模型三：沿MN翻折使得点A与点C重合，求线段AN，BM，MN长度。解法一（勾股定理思路）:设BM=x，则MC=AM=4-x，在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+AB2=AM2即x2+32=（4-x）2解得x=7则MC=25在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN=MC2−解法二（相似三角形思路）：由已知条件易证△ABC∽△MNC则ABBC=MNNC,BCAC=NCMC则MN=15模型四:沿斜边中线BE翻折，使得点A落在点F处，连接AF、FC，AF与BE交于点O，求线段AF，FC的长解法(思路)：过点E作DE⊥AB，交AB边于点D由翻折的性质可知，AE=EF,AF⊥BE∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△ABE=12S△A∴S△ABE=12AO•BE=3解得AO=125则AF=24∵∠FEC=2∠EFA,∠EFC=∠ECF在△EFC中根据三角形内角和定理可得∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°∴∠EFA+∠EFC=90°在Rt△AFC中根据勾股定理可知FC=AC2−AF模型五:沿斜边中线BE翻折，使得点C落在点D处，连接AD、CD求线段AD，CD的长解法(思路)：延长BE，交DC边于点F由翻折的性质可知，DE=EC,BF⊥CD∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△BEC=12S△ABC=3∴S△BEC=12FC•BE=3解得FC=125则DC=24∵∠DEA=2∠EDC,∠EAD=∠EDA在△ADE中根据三角形内角和定理可得∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°∴∠EDA+∠EDC=90°在Rt△ADC中根据勾股定理可知AD=AC2−DC模型六：线段AC上有一点D，沿直线BD翻折，使点A落在BC边上点E处，求AD，DC，BD解法(思路)：过点D作DM⊥BC,DN⊥AB，分别与BC、AB交于点M，点N由翻折的性质可知，∠ABD=∠DBC=45°,则DN=DM设DN=x则S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB•DN+12BC•DM=6则x=∴BN=BM=127则AN=97,则AD=157，DC=207(在Rt△BND中根据勾股定理/锐角三角函数可知BD长模型七：点M和点N分别在AC与BC边上，点C沿MN翻折，使点C落在AB边中点D处，DC与MN相交于点O，求MN,CM,CD,CN的长度解法(思路)：由翻折的性质可知，DN=NC，DC⊥MN设BN=x，则DN=4-x在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+BN2=DN2则x=5532所以NC=在Rt△DBC中由勾股定理可得DC=12√73则D在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，从而求出MN的长过点D作DH⊥AC，交AC边于点H∵S△ADC=12S△ABC=3∴S△ADC=12AC•DH=3解得DH=∴AH=910设MC=y，则AM=5-y,HM=在Rt△DHM中由勾股定理求得y值【过关测试】1．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，，，则的周长（

）A． B． C． D．2．（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（

）A． B．1.5 C． D．33．（2020春·陕西铜川·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的F处，连接AF，当为直角三角形时，BD的长为（

）A．1 B．3 C．1或2 D．1或34．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（

）A．6 B． C． D．5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将沿直线EF翻折，使点C落在点P处，结论①：当时，的长为；结论②：点P到AB的距离的最小值是，则关于上述两个结论，下列说法正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①和②都正确 D．①和②都错误6．（2023秋·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）如图，在中，，，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（

）A．2 B．1 C． D．37．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为（

）A．2 B．4 C． D．8．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，在中，点D是边上的中点，连接，把沿若翻折，得到．连接．若，，，则为（

）A． B．2 C．3 D．9．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（

）A．3 B． C． D．10．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O落在边上的点D处，则的长为（

）．A．4 B．3 C．2 D．111．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连结BE，则线段BE的长为（）A．2 B． C． D．12．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）如图，在中，，，点E在边BC上，将沿翻折，点B落在边上的点D处，连结，若．下列结论不正确的是（

）A．垂直平分 B．C．点E是的中点 D．的周长比的周长大513．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（

）A． B． C． D．14．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为（

）A． B． C． D．15．（2021春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）ABC中，，，D、E两点分别在边AB，BC上，将三角形的部分沿直线DE翻折，使点B落到射线BC上的F点，当ADF为直角三角形时，则折痕DE的长为______16．（2022·河南许昌·统考二模）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为___________．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，点在边上．连接，将沿直线翻折，点落在点处，交边于点．已知，，若为直角三角形，则的面积为______．18．（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图①，点D为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这张纸片沿DE翻折成如图②，使BE与AC边相交于点F，若图①中AB＝2，则图②中△CEF的周长为______________．19．（2019·八年级单元测试）如图，将一个等腰直角三角形按照图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的有________.①平分；②BC长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长.20．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，为边上的中线，已知，，．将沿着翻折得到，连接，，则的面积为______．21．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为________．22．（2021·浙江湖州·统考一模）如图，已知在直角三角形纸片中，，点D、E分别是边、上的动点，将沿着翻折，使点A的对应点F落在内（包括边上），连结．（1）如图1，若．①当时，求的度数；②当与相似时，求线段的长．（2）如图2，当时，在点E的运动过程中，若有且只有一个位置使得构成直角三角形，请求出满足条件的的取值范围．23．（2022春·九年级课时练习）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．（1）求证：AM=PN；（2）当点P是边AB的中点时，求证：；（3）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请说明理由．24．（2021·上海·九年级期末）在ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在