中考数学复习满分突破（全国通用）：专题07 不等式（组）（原卷版）

专题07不等式（组）【热考题型】【知识要点】知识点一不等式的有关概念和性质不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。【注意】1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。3）在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左边，b叫做不等式的右边。4）在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即

若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即

若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）

基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）若a>b,c<0，则ac<bc（或ac基本性质4：若a>b，则b<a。基本性质5：若a>b>c，则a>c。基本性质6：如果，，那么.【注意】1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。不同点：1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。【总结】等式的性质不等式的性质对称性：若a=b，则b=a反对称性：若a>b，则b<a传递性：若a=b，b=c，则a=c传递性：若a>b，b>c，则a>c性质1：若a=b，则a±c=b±c性质1：若a>b，则a±c>b±c性质2：若a=b，c≠0，则ac=bc，性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，考查题型一不等式的性质题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（

）A．m−2<n−2 B．−1C．n−m>0 D．1−2m<1−2n题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（

）A．a+2>b+2 B．−3a>−3b C．a4<b题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（

）A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2x−1解：22x−14x−2>9x−6−6第二步4x−9x>−6−6+2第三步−5x>−10第四步x>2第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．易错点总结：知识点二解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤：去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。考查题型二求一元一次不等式解集题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（

）A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（A．m<14 B．m≤14 C．题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−xA．k<2 B．k<2且k≠0C．k>−1 D．k>−1且k≠0题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（

）A． B．C． D．题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m(1)当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值易错点总结：考查题型三在数轴上表示不等式的解集题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A． B．C． D．题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−3A． B．C． D．题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13易错点总结：考查题型四用一元一次不等式解决实际问题题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/辆）运往B地的成本（元/辆）甲种161200900乙种121000750(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．①写出w与t之间的函数解析式；②当t为何值时，w最小？最小值是多少？题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．(1)求两次购买龙眼各是多少吨？(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？题型4-6（2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？知识点三解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。不等式组解集的确定方法（a）b）：不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：【注意】1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。解一元一次不等式组的一般步骤：求出不等式组中各不等式的解集。将各不等式的解决在数轴上表示出来。在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。考查题型五解一元一次不等式组题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（

）A．题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（

）A．x<1x<−1 B．x<1x>−1 C．x>1x<−1题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（

A． B．C． D．题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是(

)A．−12<m<0 B．m>−12 题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23A．3 B．4 C．5 D．6题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．易错点总结：考查题型六由一元一次不等式解集求参数题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5易错点总结：知识点四一元一次不等式（组）的实际应用一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：1）类型一：一元一次不等式的解集问题；2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。考查题型七用一元一次不等式组解决实际问题题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．(1)求购进A、B两种纪念品的单价；(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：水果品种梨子菠萝苹果车厘子批发价格（元/kg）45640零售价格（元/kg）56850请解答下列问题：(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费