《应用数学基础》课件第七章　典型习题解答与提示

第七章空间图形典型习题解答与提示习题7-11．（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）×；（7）√；（8）√；（9）√。2．设直线和两条平行线，分别相交于A、B两点，则A、B在由、所确定的平面内，于是也在这个平面内，三条直线共面。习题7-21．（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√；（10）√；（11）×；（12）×。2．设直线∥平面，过做一平面和平面相交于直线，则∥，在上任取两点A、B，过A、B在平面内做两条平行线交于C、D两点，则四边形ABCD为平行四边形，所以AC＝BD（图7-18）。图图7-19题4图形图图7-18题2图形3．略4．设角的顶点是O，点P上斜线上某一点，过P分别做角两边的垂线，垂足为A和B，显然，则PA＝PB，OA＝OB。设P在角所在平面上的射影点为C，显然AC＝BC，于是，则（图7-19）。图7-20题图7-20题6图形6．设正六边形某边两端点为A、B，则OA＝2，于是。设E为AB中点，则，则（图7-20）。7．。8．设点，过A做直线∥，则图7-21题8图形和所确定的平面∥图7-21题8图形过B做直线∥，则和所确定的平面∥，因为与相交，所以，∥（图7-21）。9．略。图7-22题图7-22题11图形11．设已知点为A，它在棱上的射影点为B，它在另一平面上射影点为C，则为一直角三角形，AB为斜边，AC为一直角边，易得二面角为（图7-22）。图图7-23题12图形止，设B在坡脚水平线上射影点为C，在地平面上射影点为D，则为二面角的平面角，，，所以。图图7-24题14图形14．如图7-24所示，设点、是从棱出发的一个半平面内任两点，它们在二面角的两个面上的射影点分别为B、C和、，则，所以。15．，，所以是二面角的平面角。已知二面角为直二面角，故。由已知得，，且，，。又为等边三角形，所以。16．如图7-25所示，设、为异面直线，、是公垂线在异面直线上的垂足，、是满足题设条件的点，过做∥，图7-25题16图形图7-25题16图形为直角三角形，且。为的三角形，且，，因而，可算得，。若在的另一侧，同理可得习题7-3图7-25题4图7-25题4图形2．。3．略4．如图7-26所示，设平行六面体的高为，底面对角线长为和，则，故侧5．提示：设三棱长比值为，则三棱长为、2、3。6．三棱柱侧面被截出三个部分：一个长方形，其高为，长为，面积为。两个全等的平行四边形，其高为，底为，面积为。所以截出的总面积为。7．（1）略；（2）。8．侧面高；二面角。9．设棱锥高为，，解得，或（舍去）。10．略。11．约。12．棱锥侧面高，S侧面13．显然，题设是一个正棱锥，现就一个侧面来证。设底面边长为，斜高为，它在底面上的射影为，则该侧面在底面上的射影部分的面积侧。14．。15．设棱台高，原棱锥高，则，解得或（舍去，因为应有）。16．略。17．。18．设上底边长为，下底边长为，上底面面积为，下底面面积为，，侧面面积为，则，解得。19．侧面积，过相对侧截面面积。20．。21．设原棱锥高为，截得棱锥高为。，解得。22．截得小棱锥侧高及侧面三角形底边与原棱锥侧高及侧面三角形底边之比都为1：2，所以小棱锥侧面积与原棱锥侧面积之比为1：4。故截得两部分的侧面积比为1：3。23．设棱台高为，则，解得。习题7-41．。2．略。3．设圆台高，母线长，上下底半径分别为、、、，，解得，则，，。4．设圆锥截面积为，则，，于是所求截面面积5．。6．圆心角，侧面面积7．提示：的弧度数为。8．设北纬圈半径为，，所以甲、乙两地之间纬线长。9．A、B两点径度相差，所以它们间的球面距离的海里数（nmile）。10．。11．。12．，。13．提示：截下部分的横截面面积。14．，，，15．设圆台上、下底面半径为、，母线为，高为，，由S侧面，得，则，代入圆台体积公式解得。16．圆孔分三部分：两头是两个相同的球缺，中间是一个圆柱。圆柱体积。球缺高。两个球缺的体积＋圆柱体积。所剩部分体积球体积－圆孔体积。17．利用相似形，求得。球重水下球缺体积水相对密度。复习题七略。（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×。设点P在平面上的射影点为E，在AC、BC上射影点分别为F、G，点E在C平分线上，四边形EFCG是一个正方形有。，，则，显然，PCE＝。设点A在某边上射影点有B，。，。所以，。。由相似形可知，长为的直角边在斜边上的射影长为，长为的直角边在斜边上的射影长为。将直角三角形折成直二面角后，原直角三角形的两个锐角顶点间连线的平方为，由余弦定理，。得（为题目所指的角）。显然AC＝5，设B、D在AC上的射影点分别为点E、F，由相似形，CE，EF，BEDF，于是B与D的距离为。若A、B在两侧，则A、B连线与的交点即为所求点C。若A、B在同侧，则做A关于的对称点D，B与D连线与的交点即为所求点C。10．平面与截面的交线即为的一个高，且与BD成角。所以。11．与底面垂直的侧面的一个锐角是角度为的二面角的平面角。由此，设棱锥高为，则。12．设上、下底边长分别为、，，得，。13．略。14．设内接正方体棱长为，，解得，。15．设圆台上、下底面半径分别为、，。设圆台所对应的圆锥的高为，。设圆台上面的圆锥的高为，则。因为，，故。16．北纬纬圆半径，甲、乙两地纬度圈上的弧所对圆心角，也就是说甲乙两地间直线距离等于纬圆的直径R。因此，它们之间的球面距离是。17．。。18．设题给平行六面体中，，，，底面面积。在底面上射影E恰在相应的角平分线上，设在棱AB上的射影点为F，连接EF，，，。。所以，。19．由于上、下面半径比为2：5，且母线长为5cm，所以侧面展开的环扇形的小半径，大半径。又圆心角为，则小扇形面积为，大扇形面积为，由此得到侧面面积为。20．直角三角形斜边上的高为12cm，这个旋转体是由两个圆锥体组成：一个高9cm，底面半径12cm，另一个高16cm，底面半径12cm，所以，旋转体体积。21．设球半径为R，正方体的棱长为，球体积解得。22．由题设，A绕圆锥一周到B的连线在圆锥侧面展开图中应为直线段。设其长为，，则。23．过顶点做PO垂直于底面，O是垂足，则O是的中心，连接CO，并延长交AB于D，则CDAB。连接PD，则PDAB，所以PDC是侧面PAB的和底面CAB所成二面角的平面角，即PDC＝。在直角POD中，。在中，。在直角中，。所以，正三棱锥的全面积。24．所需铁皮面积为。25．做轴截面，得正三角形，其高为H，设圆锥底面半径为R，母线长为L，则所以圆锥的体积和全面积分别是，。2