湖南省常德市2023年中考数学试卷

湖南省常德市2023年中考数学试卷一、单选题1．3的相反数是（）A．3 B．−3 C．13 D．2．下面算法正确的是()A．(−5)+9=−(9−5) B．7−(−10)=7−10C．(−5)+0=−5 D．(−8)+(−4)=8+43．不等式组x−3<23x+1≥2xA．x<5 B．1≤x<5 C．−1≤x<5 D．x≤−14．我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为()A．12 B．13 C．145．若a2+3a−4=0，则A．5 B．1 C．−1 D．06．下列命题正确的是()A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形7．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC=15°，则A．80° B．90° C．105° D．115° 第7题图 第8题表8．观察数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a行b列，则a－bA．2003 B．2004 C．2022 D．2023二、填空题9．计算：（a2b）3=．10．分解因式：a3+211．要使二次根式x−4有意义，则x应满足的条件是．12．联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为．13．若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是14．我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．则张华同学撰实心球成绩的众数是．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为 第15题图 第16题图16．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2，∠AOB=90°三、解答题17．计算：1−(12)−1⋅19．先化简，再求值：x+3x2−420．如图所示，一次函数y1=−x+m与反比例函数y2（1）求m的值和反比例函数解析式；（2）当y121．党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：请根据图中信息回答下列问题：（1）该种粮大户2022年早稻产量是吨；（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是，平均数是；（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？22．“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？23．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin6524．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC=6，AC=8，求CE，25．如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1，0)，B(5，（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．26．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB，（1）求证：△BAE≌△CAE；（2）在如图1中，若AE=AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求证：①AF⋅MH=AM⋅AE；②GF=GD．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得3的相反数是-3，

故答案为：B

【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。2．【答案】C【解析】【解答】解：

A、(−5)+9=(9−5)，A不符合题意；

B、7−(−10)=7+10，B不符合题意；

C、(−5)+0=−5，C符合题意；

D、(−8)+(−4)=-8+4，D不符合题意；

故答案为：C

3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得x−3<2①3x+1≥2x②，

解①得x＜5，

解②得x≥-1，

∴不等式组的解集为−1≤x<5，

故答案为：C

【分析】根据题意分别解出不等式①和②4．【答案】B【解析】【解答】解：列出可能的情况如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）∴一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，

∴甲、乙两人同时被选中的概率为26=13，5．【答案】A【解析】【解答】解：∵a2+3a−4=0，

∴a2+3a=4，

∴2a2+6a−3=8-3=56．【答案】A【解析】【解答】解：

A、正方形的对角线相等且互相平分，原命题正确，A符合题意；

B、对角相等的四边形是平行四边形，原命题错误，B不符合题意；

C、菱形的对角线互相垂直，原命题错误，C不符合题意；

D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，D不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意对选项逐一分析即可求解。7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，

∵EF∥AD，

∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，

∴∠FE0=∠EFO，

∴FO=EO，

∴△EOD≌△FOA（SAS），

∴∠EDO=∠FAC=15°，

∴∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-45°-30°=105°，

故答案为：C

【分析】先根据正方形的性质即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠FE0=∠EFO，再运用等腰三角形的判定结合三角形全等的判定与性质即可得到∠EDO=∠FAC=15°，进而得到∠EDA=30°，然后根据三角形内角和定理即可求解。8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得位于第几列，分子就为几，且只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，

∴b=20，

∴向前推算到第一列分式时20-192023+19=12042，

∴a=2042，

∴a−b=2022，9．【答案】a6b3【解析】【解答】根据积的乘方运算法则可得（a2b）3=a6b3.

【分析】积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可.10．【答案】a【解析】【解答】解：由题意得a3+2a2b+ab11．【答案】x≥4【解析】【解答】解：

∵要使二次根式x−4有意义，

∴x-4≥0，

∴x≥4，

故答案为：x≥4

【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。12．【答案】8×1【解析】【解答】解：8000000000用科学记数法表示为8×109，

故答案为：8×113．【答案】k＜1【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2∴△=4−4k>0，∴k<1.故答案为：k＜1.【分析】由于一元二次方程x214．【答案】8.5【解析】【解答】解：由题意得8.5出现的次数最多，

∴张华同学撰实心球成绩的众数是8.5，

故答案为：8.5

【分析】根据众数的定义结合题意即可求解。15．【答案】4【解析】【解答】解：由勾股定理得AC=62+82=10，

∵DE∥BC，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴EACA=DABA，

∴BACA=DAEA，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴16．【答案】0.1【解析】【解答】解：∵OA=2，∠AOB=90°，

由勾股定理得AB=22，

∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，

∴点O位于CD的延长线上，且OC=12AB=2，

∴CD=2-2，

∴s=AB+CD2OA=3，l=90×2×2π17．【答案】解：原式=1−2⋅=1−=0．【解析】【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。18．【答案】解：将①×2得：2x−4y=2③②+③得：x=5将x=5代入①得：y=2所以x=5y=2【解析】【分析】运用加减消元法解二元一次方程即可求解。19．【答案】解：原式===1当x=5时，原式=【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。20．【答案】（1）解：将点B(3，−1)代入y解得：m=2将B(3，−1)代入y∴y（2）解：由y1=y2所以A，B由图形可得：当x<−1或0<x<3时，y【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；

（2）先求出两个函数的交点坐标，再结合题意观察图像即可求解。21．【答案】（1）9.2（2）160吨；172吨（3）解：(230−200)÷200×100%=15%230×(1+15%)=264.∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．【解析】【解答】解：（1）由题意得1-75%-21%×230=9.2（吨），

故答案为：9.2

（2）将数据由小到大排列得2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；

平均数是120+150+160+300+2305=172（吨），

故答案为：160吨；172吨

【分析】（1）直接根据题意结合已知信息即可求解；

22．【答案】（1）解：设A型玩具的单价为x元/件．由题意得：1200x解得：x=10经检验，x=10是原方程的解B型玩具的单价为10×1.∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．（2）解：设购进A型玩具m个．(12−10)m+(20−15)(75−m)≥300解得：m≤25∴最多可购进A型玩具25个．【解析】【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件，根据“用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍”即可列出分式方程，进而即可求解；

（2）设购进A型玩具m个，根据题意即可列出不等式，进而即可求解。23．【答案】解：方法一：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=114.∴∠FCQ=∠CBH=180°−114.∵FC=57∴FQ=FC⋅sin过点A作AP⊥MN于点P，由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，∴∠ANP=∠FCQ=65.又∵AN=43，∴AP=AN⋅sin过C作CH⊥AB于点H，∵BC=CE，EB=16.∴BH=8.∴CH=BH⋅tan∴靠背顶端F点距地面(MN)高度为FQ+AP−HC=57sin方法二：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，延长AB交FQ于点S，∵BC=CE，EB=16.∴BH=8.又∵AB∥CD，∴∠FCQ=∠HBC=180°−114.∴BC=BH∴FS=FB⋅sin过A作AP⊥MN于P，由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，∴∠ANP=∠FCQ=65.又∵AN=43，∴AP=AN⋅sin∴靠背顶端F点距地面(MN)高度为FS+AP=37sin【解析】【分析】方法一：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到FQ=FC⋅sin∠FCQ=57⋅sin65.8°，过点A作AP⊥MN于点P，进而得到FC∥AN，进而根据平行线的性质即可得到∠ANP=∠FCQ=65.8°，进而得到AP=AN⋅sin∠ANP=43⋅sin65.8°，过C作CH⊥AB于点H，再结合题意运用解直角三角形即可求解；

方法二：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，延长AB交24．【答案】（1）证明：连接OC∵C为BD的中点，∴CD=BC，∴∠1=∠2，又∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AE∥OC，又∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，OC为半径，∴CE为⊙O的切线，（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6，∴AB=10，又∵∠1=∠2，∠AEC=∠ACB=90°，∴△AEC∽△ACB，∴ECCB=AC∴EC=24∵CD=∴CD=BC=6，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE=C【解析】【分析】（1）连接OC，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质即可得到∠1=∠2，∠1=∠3，进而得到AE∥OC，再根据平行线的判定与性质即可得到CE⊥OC，进而运用切线的判定即可求解；

（2）先根据圆周角定理即可得到∠ACB=90°，进而运用勾股定理即可求出AB的长，再根据相似三角形的判定与性质证明△AEC∽△ACB，进而得到EC=2425．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A(−1，∴设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x−5)∵AO=1，tan∴OC=5，即C的坐标为(0则5=a(0+1)(0−5)，得a=−1∴二次函数的表达式为y=−(x+1)(x−5)；（2）解：y=−(x+1)(x−5)=−∴顶点的坐标为(2过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，四边形ACDB的面积==1（3）解：如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO=∠PBC时，连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，∵OC=OB=5，则△OCB为等腰直角三角形，∠OCB=45°．由勾股定理得：CB=52∵∠ACO=∠PBC，∴tan∠ACO=即15∴CE=由CH⊥BC，得∠BCE=90°，∴∠ECF=180°−∠BCE−∠OCB=180°−90°−45°=45°．∴△EFC是等腰直角三角形∴FC=FE=1∴E的坐标为(1所以过B、E的直线的解析式为y=−令y=−解得x=5y=0，或所以BE直线与抛物线的两个交点为B(5即所求P的坐标为P(【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴的交点即可设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x−5)，进而根据题意即可求出点C的坐标，进而代入即可求解；

（2）先将二次函数的解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标，过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，根据四边形ACDB的面积=S△AOC+S矩形OMDN−S△CDM+S△DNB即可求解；

（3）当∠ACO=∠PBC时，连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E26．【