勾股定理的证明-北京习题集-教师版

第第#页（共17页）第第13页(共17页)正方形ABCD的面积为5n.nnnn故答案为：5n.【点评】此题是勾股定理的证明，主要考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，此题难度不大.(2017•平谷区二模)中国数学史上有许多著名的数学家，很多理论都是由他们的名字命名的.如图1就是著名的“赵爽弦图”，它是由公元3世纪三国时期的赵爽为证明某个定理而创设的一副“弦c的等式表示定理的内容a2+b2=c的等式表示定理的内容a2+b2=c2图”，图2由"弦图”变化得到，请用含未n六S02【分析】根据大正方形的面积的两种求法，列出等式，化简整理即可解决问题.【解答】解：图2中，大正方形的边长为(a+b)，大正方形的面积二(a+b)2二4xa2+2ab+b2=2ab+c2，a2+b2=c2.故答案为a2+b2=c2.【点评】本题考查正方形的面积公式、直角三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求正方形的面积，属于中考常考题型.三.解答题(共5小题)(2019秋•北京期末)通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2给予解释.图乙中的AABC是一个直角三角形，ZC=90。，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2的关系.图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，求出(a+b)2的值.

八7八7LW图曰图乙图曰图乙【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b即可求解.【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积是：診X4=13-1=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25.故（a+b）2的值为25.【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键.（2018秋•怀柔区期末）如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整:S=4，S=，S=123S+SS+S=S.123即2+2=2.【分析】根据勾股定理解答即可.【解答】解：•••S=4，S=9，S=13，123S+S=S.123即AC2+BC2=AB2.故答案为：4,9，13，AC，BC，AB.【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是根据勾股定理的证明过程解答.（2018•大兴区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如方形MNKT的面积分别为S，S，图1）.图2方形MNKT的面积分别为S，S，S，若S+S+S二10，求S的值•以下是求S的值的解题过程，请你根据3图形补充完整.圏1C圏1C解：设每个直角三角形的面积为SS-S=_4S_（用含S的代数式表示）①12S-S=（用含S的代数式表示）②23由①，②得，S+S=因为S+S+S=10,13123所以2S+S=10•22所以S所以S2103【分析】殳每个直角三角形的面积为S，根据图形的特征得出S-S=4S，S-S=4S，两者相减得到S+S=2S，1223132再代入S+S+S=10即可求解.123【解答】解：设每个直角三角形的面积为S,S-S=4S（用含S的代数式表示）①12S-S=4S（用含S的代数式表示）②23由①，②得，S+S=2S，因为S+S+S=10，132123所以2S+S=10•22所以S所以S210故答案为：4S；4S；2S•2【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，图形面积关系，根据已知得出S+S=2S，再利用S+S+S=10求出132123是解决问题的关键.（2017春•北京期中）阅读:小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题:如图AABC第15页（共17页）中，ZC=90。,M是CB的中点，MD丄AB于D，请说明三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形.【分析】连结AM，设AD=a,BD=b,AC=c,BM=x，根据中点的定义可得CM=x，在RtABMD中，MD2=BM2-BD2=x2-b2，在RtAAMD中，MD2=AM2-AD2=AM2-a2，在RtAACM中，AM2=AC2+CM2=c2+x2，可得a2=c2+b2，根据勾股定理的逆定理可得三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形.【解答】证明：连结AM，设AD=a，BD=b，AC=c，BM=x，•••M是CB的中点，/.CM=x，在RtABMD中,MD2=BM2-BD2=x2-b，在RtAAMD中，MD2=AM2-AD2=AM2-a2，消去MD，得x2-b2=AM2-a2，从而AM2=x2+a2-b2，又因为在RtAACM中，AM2=AC2+CM2=c2+x2，消去AM得c2+x2=x2+a2-b2，消去x，所以c2=a2-b2，即a2=c2+b2.所以，三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形.【点评】考查了勾股定理的证明，可见计算在几何证明中也是很重要的.小明正是利用代数中计算、消元等手段，结合相关定理来论证了几何问题.（2017春•西城区校级期中）阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5.”.上述记载表明了：在RtAABC中，如果ZC=90。，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：—a2+b=c2—.（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明.参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：第第17页(共17页)第第17页(共17页)证明：•••S=1ab,S=c2,SAABC2正方形ABDE正方形MNPQ(a+b)2=4x—ab+c2,2整理得a2+2ab+b=2ab+c2,【分析】(1)根据勾股定理解答即可；(2)根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可.【解答】解：(1)在RtAABC中，ZC=90。，BC=a，AC=b，AB=c,由勾股定理得，a2+b2=c2，故答案为：a2+b2=c2；(2)•••S=1,S=c2,AABC2正方形ABCDS=(a+b)2；正方形MNPQ又正方形的面积=四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AE