2021年高考立体几何知识点总结详细

高考立体几何知识点总结一＞空间几何体(-)空间儿何体类型1多面体：由若千个平面多边形囤成几何体。国成多而体各个多边形叫做多而体而，相邻两个而公共边叫做多而体棱，棱与棱公共点叫做多而体顶点。2旋转体：把一种平而图形绕它所在平而内一条宦直线旋转形成了封闭几何体匚其中,这条直线称为旋转体轴。儿种空间儿何体构造特性1、棱柱构造特性1-1棱柱泄义：有两个而互相平行，别的各而都是四边形，并且每相邻两个四边形公共边都互相平行，由这些而所用成几何体叫做棱柱a1.2棱柱分类斜棱柱①棱柱*此他棱柱…棱柱辰：而启UUi力形棱柱辰：而启UUi力形＞四棱柱平行六而体直平行六面体 ►长方体 正四棱柱 ►正方体性质：I、侧而都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等：II、两底而是全等多边形且互相平行;1【1、平行于底面截而和底而全等：1.3棱柱面积和体积公式

S之梭柱刨-ch（c是底周长，％是咼）S直梭柱表面=c•h+2S底V梭柱=S底•h2、棱锥构造特性2.1棱锥定义（1） 棱锥：有一种面是多边形，别的各面是有一种公共顶点三角形，由这些面所围成儿何体叫做棱锥。（2） 正棱锥：如果有一种棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面投影是底面中心，这样棱锥叫做正棱锥。2.2正棱锥构造特性【、平行于底面截面是与底面相似正多边形，相似比等于顶点到截面距离与顶点究竟面距离之比；它们面积比等于截得棱锥高与原棱锥高平方比；截得棱锥体积与原棱锥体积比等于截得棱锥高与原棱锥高立方比；【I、正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等等腰三角形；正四周体:正四周体:对于棱长畑正四周体问题可将它补成-种边长为斗“正方体问题。对棱间距离为织（正方体边长）对棱间距离为织（正方体边长）正四周体高牛（=自正方体体対角线）庁 1正四周体体积为计（V正方体-4匕卜三棱惟=捫正方体）正四周体中心究竞面与顶点距离之比为冒（弓”方体体对諾*方体和线）3.棱台构造特性3.1棱台定义：用一种平行于底面平面去截棱锥，咱们把截面和底面之间某些称为棱台。3.2正棱台构造特性（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等等腰梯形；（2） 正棱台两个底面和平行于底面截面都是正多边形；（3） 正棱台对角面也是等腰梯形；（4） 各侧棱延长线交于一点。4、圆柱构造特性4.1圆柱定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，别的各边旋转而形成曲面所围成儿何体叫圆柱。4.2圆柱性质（1） 上、下底及平行于底面截面都是等圆；（2） 过轴截面（轴截面）是全等矩形。4.3圆柱侧面展开图：圆柱侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边矩形。4.4圆柱面积和体积公式S圖柱伽=2兀•r・h（r为底面半径，h为圆柱高）S何住全=2兀rh+2兀r2V=S =iirh5、圆锥构造特性

5.1圆锥定义：以直角三角形始终角边所在直线为旋转轴，别的各边旋转而形成曲面所圉成儿何体叫做圆锥。5.2圆锥构造特性（1） 平行于底面截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面距离与顶点究竟面距离之比；（2） 轴截面是等腰三角形；（3） 母线平方等于底面半径与高平方和：卩二F+h25.3圆锥侧面展开图：圆锥侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径扇形。6、圆台构造特性6.1圆台定义：用一种平行于底面平面去截圆锥，咱们把截面和底面之间某些称为圆台。6.2圆台构造特性⑴圆台上下底面和平行于底面截面都是圆；⑵圆台截面是等腰梯形;⑶圆台经常补成圆锥，然后运用相似三角形进行研究。6.3圆台面积和体积公式S岡台側=兀•（R+r）•1（r>R为上下底面半径）S閥仃全=兀•F+兀•R，+兀•（R+r）•1V=1/3（71r2+71R2+7UrR）h（h为圆台高）7球构造特性7.1球定义：以半圆直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长点集合叫做球面，球面所圉成儿何体称为球体。7-2球构造特性⑴球心与截面圆心连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心距离平方差：r2=R2-d2★7-3球与其她多面体组合体问题球体与其她多面体组合，涉及内接和外切两种类型，解决此类问题基本思路是：⑴依照题意，拟定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接地方，找出对球适当切割面，然后做出剖面图；⑶将立体问题转化为平面儿何中圆与多边形问题；⑷注意圆与正方体两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体边长。7-4球面积和体积公式S球而=4jiR2（R为球半径）7球=4/3KR3（三）空间儿何体表面积与体积空间几何体表面积棱柱、棱锥表面积：各个面面积之和圆柱表面积：S=2兀H+2耐$圆锥表面积：S二加7+7tr圆台表面积：S=7irl+Tir1+7iRI+7rR2球表面积：S=4nR‘扇形面积公式S^=^^=-lr=-\a\r2（英中/表达弧长，广表达半径，a表达弧度）叽360 2 211空间几何体体积柱体体积：V=S底xh锥体体积：v=-S^xh台体体积：\/=扣|+Js.s卜-+S下）x/7球体体积：V=（四）空间儿何体三视图和直观图正视图：光线从几何体前面向背面正投影，得到投影图。侧视图：光线从儿何体左边向右边正投影，得到投影图。俯视图：光线从儿何体上面向右边正投影，得到投影图。★画三视图原则：正俯长相等、正侧高相似、俯侧宽同样注：球三视图都是圆；长方体三视图都是矩形直观图：斜二测画法斜二测画法环节：（1） 平行于坐标轴线依然平行于坐标轴；（2） 平行于y轴线长度变半，平行于x,z轴线长度不变；（3） 画法要写好用斜二测画法画出长方体环节：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图二、点、直线、平面之间关系（一）、立体儿何网络图:

W丿线线平行判断:W丿线线平行判断:、平行于同始终线两直线平行。、如果一条直线和一种平面平行，通过这条直线平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。、如果两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们交线平行。(12)、垂直于同一平面两直线平行。线线垂直判断：、在平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。、在平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它和这条斜线射影垂直。(10)、若始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中一条垂直，也必垂直平行线中另一条。3、线面平行判断：、如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面(5)、两(5)、两种平面内直个平面平行，其中一线必平行于另一种平allbauanulla(线线平行二＞线面平行)bua

面。鉴定定理:性质定d〃G 理:«卩•=>“//〃（线面平行=>线线平行）aC\fi=b★判断或证明线面平行办法⑴运用定义（反证法）：/na=0,则/〃a（用于判断）；⑵运用鉴定定理：线线平行与线面平行（用于证明）：⑶运用平面平行：面面平行与线面平行（用于证明）：⑷运用垂直于同一条直线直线和平面平行（用于判断）。2线面斜交和线面角：/Cla=A2」直线与平面所成角（简称线面角）：若直线与平面斜交,则平面斜线与该斜线在平面内射影夹角Go2.2线面角范畴:0e[O°,90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，8=0。；当直线垂直于平面时，8=90。4、线面垂直判断：⑼如果始终线和平面内两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。⑴）如果两条平行线中一条垂直于一种平面，那么另一条也垂直于这个平面。Q4）始终线垂直于两个平行平面中一种平面，它也垂直于另一种平面。（⑹如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线直线必垂直于另一个平面。 .a、bua鉴定定理： =Olua=>/丄《（线线垂直=>线面垂直）/丄"/丄b

性质定理：(1)若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即：/丄aeuaal丄a(线面垂直=>线线垂直)(2)垂直于同一平面两直线平行。a丄丄allb★判断或证明线面垂直办法⑴运用定义，用反证法证明。⑵运用鉴定定理证明。⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。⑷一条直线垂直于两平行平面中一种，则也垂直于另一种。⑸如果两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。冈九7斜纱中理★1.5冈九7斜纱中理斜线定理：从平面外一点向这个平面所引所有线段中,斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。如PR二PC0OB二OC：PA>PB^OA>OB图：⑵三垂线定理及其逆定理已知PO丄a,斜线PA在平面a内射影为OA,a是平面a内一条直线。三垂线定理：若a丄OA,则a丄PA。即垂直射影则垂直斜线。三垂线定理逆定理：若a丄PA,则a丄OA。即垂直斜线则垂直射影。

⑶三垂线定理及其逆定理重要应用证明异面直线垂直；作出和证明二面角平面角；作点到线垂线段。5、 面面平行判断：⑷一种平面内两条相交直线分别平行于另一种平面，这两个平面平行。(13)垂直于同一条直线两个平面平行。6、 面面垂直判断：(15)—种平面通过另一种平面垂线，这两个平面互相垂直。鉴定定丄“(线面垂直=＞面面垂直)理："丄0性质定理:若两面垂直，则这两个平面二面角平面角为90°a丄0//Q/?=AR' a丄0(面面垂直二＞线面垂直);guaG丄(2)AgaAeaa丄尸、

a丄/AgaAeaa丄尸、

a丄/(4)冈?-IOrfiiftiffi自忡飯?（二）、其她定理: （二）、其她定理: ®7-11rftirtia&WWJS3（1） 拟定平面条件：①不公线三点;②直线和直线外一点;③相交直线;（2） 直线与直线位置关系：相交;平行;异面;直线与平而位宜关系：在平而内：平行:相交（垂直是它特殊状况）：平面与平面位置关系：相交;；平行;（3） 等角定理：如果两个角两边分别平行且方向相似，那么这两个角相等；如果两条相交直线和此外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等；（4） 射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引垂线段和斜线段中，射影相等两条斜线段相等；射影较长斜线段也较长；反之，斜线段相等射影相等；斜线段较长射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。（5） 最小角定理：斜线与平面内所有直线所成角中最小是与它在平面内射影所成角。（6） 异面直线鉴定：反证法；过平面外一点与平面内一点直线，和平面内但是该点直线是异面直线。（7） 过已知点与一条直线垂直直线都在过这点与这条直线垂直平面内。（8） 如果一直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面交线。（三八唯一性定理:（1）过已知点，有且只能作始终线和已知平面垂直。（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）过两条异面直线中一条能且只能作一平面与另一条平行。四、 空间角求法:（所有角问题最后都要转化为解三角形问题，特别是直角三角形）（1） 异面直线所成角：通过直线平移，把异面直线所成角转化为平面内相交直线所成角。异面直线所成角范畴：0"va<90。；（2） 线面所成角：①线面平行或直线在平面内：线面所成角为0";②线面垂直：线面所成角为90。；斜线与平面所成角：范畴0。vav9（T；即也就是斜线与它在平面内射影所成角。线面所成角范畴（mo“（3）二面角：核心是找出二面角平面角。办法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；二面角平面角范畴：（TSavl80"；五、 距离求法：（1） 点点、点线、点面距离：点与点之间距离就是两点之间线段长、点与线、面间距离是点到线、面垂足间线段长。求它们一方面要找到表达距离线段，然后再计算。注意：求点到面距离办法：直接法：直接拟定点到平面垂线段长（垂线段普通在二面角所在平面上）；转移法：转化为另一点到该平面距离（运用线面平行性质）；体积法：运用三棱锥体积公式。（2） 线线距离：关于异面直线距离，惯用办法有：定义法，核心是拟定出公垂线段;转化为线面距离，即转化为“与过方而平行于"平面之间距离，核心是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离经常互相转化；六、惯用结论：（1） 若直线/在平面戊内射影是直线直线加是平面。内通过/斜足一条直线，/与/'所成角为q,/'与加所成角为E，/与加所成角为e，则这三个角之间关系是COS&=COS&iCOS^2；（2） 如何拟定点在平面射影位置：①I、如果一种角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上射影在这个角平分线上；II、通过一种角顶角引这个角所在平面斜线，如果斜线和这个角两边夹角相等，那么斜线上点在平面上射影在这个角平分线所在直线上；【II、如果平面外一点到平面上两点距离相等，则这一点在平面上射影在以这两点为端点线段垂直平分线上。垂线法：如果过平面外一点斜线与平面内一条直线垂直，那么这一点在这平面上射影在过斜足且垂直于平面内直线直线上（三垂线定理和逆定理）；垂面法：如果两平面互相垂直，那么一种平面内任一点在另一平面上射影在这两面交线上（面面垂直性质