镜像法的性质与应用

镜像法的性质与应用

图像方法是解决静脉问题的间接方法。巧妙地运用琼斯原理，可以简单地解决一些看似困难的边值问题。很多人都提到了镜头法，但实际的镜头法中几乎没有关于唯一真理的应用。本文主要讨论这方面的内容。1.间接正当程序在静电场中,只有电荷分布具有对称性,或者具有相似对称性的简单问题才可以用直接积分或高斯通量定理求解。实际上,在工程应用中,许多电场问题都是要用间接方法求解的。唯一性定理叙述的就是静电场在什么条件下解是唯一的,或者为了保证解的唯一正确,用不同方法求解场时应保证什么样的充分必要条件。1.1计算三种类型问题的法向导数三类边值问题为:第一类:狄里赫利问题,给定的是边界上的电位函数,即已知φ|Γ=f1(s),S为边界Γ上的点。第二类:纽曼问题,给定的是边界上的电位函数的法向导函数,即已知∂ϕ∂n|Γ=f2(s)。第三类:混合问题,给定的是一部分边界上的电位函数和其余部分边界上的电位函数的法向导数,即Φ|Γ=f1(s)‚∂ϕ∂n|Γ=f2(s)‚Γ=Γ1+Γ2。对于导体边界,第二类问题相当于给出了电荷在导体表面的面分布密度。1.2决策权制在静电场中问题中,满足三类给定边值之一的泊松方程和拉普拉斯的解是唯一的。2.荷的确定应用镜像法求解的关键是必须确定像电荷。根据唯一性定理,像电荷的确定应遵循以下两条原则:(1)所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中。(2)镜像电荷的个数、位置及电荷量由满足场域边界面上的边界条件确定。下面对典型的平面和球面问题进行讨论。2.1关于检察官办公室的倾斜2.1.1点电荷密度a设距无限大导体平面h处有一点电荷,其周围是介电常数为的ε0介质,如图(1)所示。求介质中任一点的场。取直角坐标系,z=0的平面与导体平面重合。并设此面为0电位面,亦即导体平面接地,因此点电荷q与导体平面之间的电位必须满足下列条件:(1)z=0处,φ=0(2)在z>0的空间,除点电荷所在的点外,处处满足∇2ϕ=0设想把无限大导电平板撤去,整个空间充满同一种介质,且在与q成对称的位置上,放一点电荷-q来代替原导电平板上的感应电荷,如图2所示。这样-q与q共同作用必然使它们在对称面(z=0平面)为0电位面,这就保证条件(1)。在z>0空间,由于仍然仅在(0,0,h)点有点电荷,且介电常数ε0也没有变化,故除(0,0,h)外其余所有点必须满足拉普拉斯方程,即在(0,0,h)点,电位函数ϕ满足的是以δ函数表示的泊松方程,∇2ϕ=-qε0δ(x,y,z,-h)这就保证了条件(2)。于是,原问题中z>0空间的点的电位可表示为ϕ=q4πε0(1r1-1r2)=q4πε0{1[x2+y2+(z-h)2]1/2-}{1[x2+y2+(z+h)2]1/2}(1)验证如下:当z=0时,r1=r2即ϕ=q4πε0(1r1-1r2)=0当z>0时,有r2≠0,r1≠0,则∇2(1r2)=0∇2(1r1)=0故当z>0时,r≠0处,∇2ϕ=q4πε0[∇2(1r1)-∇2(1r2)]=0由此验证在z>0空间,式(1)表示的ϕ就是原问题的解。在z<0空间里的导体,由于实际没有场源存在,故其电位为0。导体平板上的感应电荷密度为ρs=-ε0∂ϕ∂n=-ε0∂ϕ∂z|z=0=-qh2π(x2+y2+h2)3/2导体平面上的总感应电荷为qin=∫sρsdS=-qh2π∫∞-∞∫∞-∞dxdy(x2+y2+h2)3/2=-qd2π∫2π0∫∞0ρdρdϕ(ρ2+h2)3/2=-q这恰好为镜像电荷,是符合高斯通量定理的。图(3)为点电荷与导体平面之间的电力线分布,其中实线是实际的电力线,虚线是想象的电力线。如果将平面上方的点电荷换成线电荷,由于线电荷可以看成由许多个连续分布的点电荷组成,因此上述方法仍然适用。但是此时,在z>0的空间里任一点的电位为:ϕ=-ρ12πε01nr1r2(2)此时的镜像电荷和原区域的电荷正好是一对带等量异号线电荷的平行线。2.1.2胶片荷法计算镜像法也可以用来计算两种不同介质分界面附近点电荷或线电荷所产生的电位,在这种情况下,镜像电荷的作用等效欲介质分界面约束电荷对电场的影响。如图3所示,介电常数分别为ε1和ε2的两种不同介质,各均匀充满半个无限大空间,其分界面是一无限大平面,在介质1中距离有一个点电荷q,距分界面为h,求介质中任一点的电场。在点电荷q的电场作用下,电介质产生极化,在介质分界面形成极化电荷,此时空间任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。依据镜像法的基本思想,在计算电介质1中的电位时,用位于介质2中的镜像q′电荷来代替分界面上的极化电荷,并把整个空间看作充满介电常数ε1的均匀介质,如图(4)所示。同样地,求介质2中的场时,镜像电荷q″应放在z>0的区域(0,0,h)点处(即原点电荷处),整个空间充满介质ε2,如图(5)所示。于是介质1和介质2中的电位分别为ϕ1=q4πε1r1+q´4πε2r2=q4πε1[x2+y2+(z-h)2]1/2-q´4πε1[x2+y2+(z+h)2]1/2(3)ϕ2=q˝4πε2r2=q˝4πε2[x2+y2+(z-h)2]1/2(4)在介质分界平面z=0处,电位应满足边界条件:{ϕ1|z=0=ϕ2|z=0ε1=∂ϕ1∂z|z=0=ε2∂ϕ2∂z|z=0(5)将式(3)和式(4)代入式(5),可得到{1ε1(q+q´)=1ε2(q+q˝)q-q´=q˝解此联立方程得q´=ε1-ε2ε1+ε2q‚q˝=2ε2ε1+ε2q(6)可见,镜像电荷q″总是与q同性,而q′则取决于两介质的介电常数。如果以密度为ρl的线电荷代替点电荷,其它条件不变,则对于两种介质中的电场,可以用完全相同的方法解。同样对于磁导率分别为u1和u2的均匀磁介质也类似。只是此时的镜像电荷和镜像电流分别为:pl´=ε1-ε2ε1+ε2ρl‚ρ1˝=2ε2ε1+ε2ρl(7)Ι´=u1-u2u1+u2‚Ι˝=2u2u1+u2Ι(8)2.2磁共振球面镜2.2.1b导电球接地设半径为a的接地导体球外与球心相距d1的p1点有一个点电荷q,如图(7)所示,求球外的电位函数。由于点电荷q的存在,在接地导体球表面将感应出负电荷。球外任一点的电位应等于这些感应负电荷与原来点电荷q产生的电位之和。设想把导体球移去,用一个镜像电荷代替球面上的感应负电荷。设镜像电荷为q′,位于离球心为d2的p2点上,如图(8)所示,由于导体球接地,球面上任一点P的电位为0,即ϕ=q4πε0r1+q´4πε0r2(9)式中,r1、r2分别为场点到原电荷q和镜像q′电荷的距离。由余弦定理得:r12=a2+d12-2ad1cosθ,r22=a2+d22-2ad2cosθ代入式(9)解得q´=-ad1q‚d2=a2d1(10)和q′=-q,d2=d1(无意义,舍去)根据唯一性定理,得到球外的电位函数为ϕ=q4πε0r1+q´4πε0r2(1r1-ad1r2)(11)采用球坐标系,则对任一点,有:r1=(r2+d12-2d1rcosθ)1/2,r2=(r2+d22-2d2rcosθ)1/2利用式(11)可求得导体球面上的感应电荷密度ρs为ρs=ε0En=-ε0∂ϕ∂r|r=a=--q(d12-a2)4πa(d12+a2-2ad1cosθ)3/2导体球面上的总感应电荷为qin=∫sρsdS=-q(d12-a2)4πa∫02π∫0πa2sinθdθdϕ(d12+a2-2ad1cosθ)3/2=-ad1q可见,导体球面上的总感应电荷与所设置的镜像电荷相等。2.2.2压力值d当导体球不带电,这时q在导体球感应的正负两部分电荷的作用都需考虑,若负感应电荷的作用仍用q′代替,则正感应电荷的作用用q″来代替,它应满足下面的条件:(1)、导体球面是一个等位面,即ϕ(a)=const(2)、导体球面上的净电荷为0,即ε∫∫s∂ϕ∂n=q´+q˝=0由前面2.2.1得q´=【math27z】q‚偏心距d2=a2d1q˝=ad1q‚位于球心这样的场满足原来的方程和边界条件。但是q″必需位于球心,否则导体表面轮廓处不是等位面。此时球外任一点P的电位如图(10)所示,是这三个点电荷所产生的电位之和ϕ=q4πε0r1+q´4πε0r1+q˝4πε0r=q4πε0(1r1-ad