关于电通量的讨论

关于电通量的讨论

高思定理是静电学的基本原则。这不仅是学生应该掌握的教育资源之一。但在几十年的教学实践中,笔者深刻感受到对此定理感到费解、认识模糊、缺乏深入透彻全面理解的学生乃至青年教师大有人在,深感有必要在此介绍自己的理解和体会。1理解1.1场强叠加原理和多量待考高斯定理是关于通过电场中任一闭合面的电通量等于多少的定理。通量概念具有普遍性,适用于任意矢量场A(x,y,z)。通过场中任一面元dS的A通量定义为dΦA=A·dS将此定义具体用于电场,则通过电场中任一面元dS的电通量可定义为dΦE=E·dS(1)则通过以点电荷q为球心,r为半径的球面S的电通量为Φ=∯SE⋅dS(2)在真空中,依据库仑定律可得E=q4πε0r2r0r0为单位矢量,代入式(2)加以整理可得ΦE=q4πε0r2∯Sr0⋅endS=q4πε0r2×4πr2=qε0(3)en是dS的正法线方向单位矢量。此式虽然是依据特例推导而得,但对被包围在任意闭合面内处于任意位置的点电荷都是成立的,可以说是点电荷的高斯定理。之所以能推导出式(3),完全依赖于库仑定律中场强与距离r成平方反比规律,否则是不可能的。假设库仑定律不遵从平方反比规律,而是遵从r的一次方反比,三次方反比或其它规律,那其结果只能是ΦE=q4πε0r×4πr2=qrε0和ΦE=q4πε0r3×4πr2=qε0r或其它形式,高斯定理就不成立。为把高斯定理推广到任意带电体系,我们假设闭合面内包围着点荷系。这时闭合面上的场强必定是各点电荷产生场强Ei的叠加,即总场强E为E=E1+E2+……EnΦE=∯SE⋅dS=∯SE1⋅dS+∯SE2⋅dS+⋯⋯∯SEn⋅dS=1ε0nΣi=1qi(4)此式表明通过闭合面的总电通量等于闭合面内所有点电荷的代数和除以εo。任何连续分布的带电体系,均可分解成许许多多的点电荷,因此推想可知式(4)对任何带电体系都是成立的。由上述讨论可知,高斯定理的普遍性依赖于场强叠加原理。下面讨论两种电通量的统一问题。在物理学教科书中电通量常有两种定义:一种是依据电场强度概念下的定义,那就是式(1),是电通量的本质反映,为便于讨论可暂且称为场强通量。另一种是依据电场线概念下的定义:通过任意给定面积的电场线数称为通过该面积的电通量。为区别于场强通量,暂且称为场线通量。在没有界定电场线密度与场强的关系之前,通过一面积的电场线条数是可以随意作的,因而场线通量是不确定的。为此可作一般性规定:通过电场中任一面元dS的电场线条数dN与该面元上的场强E成正比。这样通过dS的场线通量为dΦN=dN=kE·dS=kEdS⊥(5)式中k为比例常数。dS⊥=dScosθθ是场强E与dS的法线之间小于π的夹角。dS⊥就是dS在垂直场强的平面上的投影。由式(5)可知电场线密度为dΦΝdS⊥=kE(6)依据式(5)可得通过闭合面S的场线通量为ΦΝ=∯SdΦΝ=k∯SE⋅dS=kε0nΣi=1qi(7)此式表明,即使对同一闭合面,场线通量与场强通量不相等,前者是后者的k倍,高斯定理对前者不成立。为使场线通量也能遵从高斯定理,唯有使k=1。这实质上表明,电场中某处场强数值是多少,过该处与场线垂直的单位面积只能作多少条电场线。这样两种方法定义的电通量才等同,电场线才能从方向和通量两个方面形象地描述电场,从实质上表征电场。只有在此情况下,起始或终止于电量Q上的总电场线数才完全确定,而且恒等于Q/ε0。上述讨论表明,高斯定理源于库仑定律,依赖于场强叠加原理,只有当电场线密度等于场强大小时场线通量才能与场强通量等同,并统一遵从高斯定理。1.2e外参与叠加在用高斯定理求解场强时所作的适当的闭合面通常称为高斯面。高斯面上的实际场强必然是其周围各种电荷所产生的场强叠加而成的总场强E。将高斯面内电荷产生的场强记作E内,而将高斯面外电荷产生的场强记作E外,高斯面上总场强为E=E内+E外代入高斯定理可得∯SE⋅dS=∯SE内·dS+∯SE外·dS=∯SE内·dS=1ε0nΣi=1qi(8)式中∯SE外·dS=0,是因为高斯面S外面的电荷产生的电场线从一些面元进去,必定等量地从另一些面元出来,故E外通过整个高斯面的总电通量必然为0,从而得出式(8)。高斯面上的场强E肯定是其内外电荷产生的场强E内、E外之叠加,而叠加的结果又没有改变通过高斯面的总电通量,那么E外参与叠加产生了什么影响呢?其影响就是改变高斯面上场强的分布。如图1所示,是无限大均匀带电平面。若只考虑高斯面内的电荷产生的场强E内,而不考虑高斯面外带电平面上其余电荷产生的场强E外的影响,则高斯面上场强E内(电场线)的分布如图1(a)所示,各个面元上都有电场线穿出来。一旦考虑到高斯面外带电平面上其余电荷产生的场强E外叠加到E内上,则使高斯面上总场强E的分布发生改变,如图1(b)所示。这时,只有垂直两端面向外的合场强E(电场线),而侧面已无电场线进或出,但由高斯面内正电荷发出的通过高斯面的电场线总数不变。这相当于E外将E内调整为图1(b)所示分布。如果再有一电荷或带电体系置于带电平面之外,必将再产生场强E′外叠加到高斯面上,这样高斯面上各点的场强变为E=E内+E外+E′外使高斯面的场强(电场线)不再是图1(b)所示的分布。分析使人明白,高斯面上的实际场强是其内外所有电荷产生的场强叠加而成的合场强。但利用高斯面所求得的场强则仅仅是分析高斯面上场强分布时所涉及的电荷在高斯面上产生的合场强,而不包含未涉及的电荷所产生的场强。2利用高斯定理求解场强的技术措施求解电场强度E可用库仑定律,也可用高斯定理。利用库仑定律连同场强叠加原理对点电荷、点电荷系的场强一般都可求解;对连续分布带电体系的场强原则上也可求解,但对具体问题必须知道电荷的连续分布函数才能求解。利用高斯定理求解场强有一定局限性,一般只能对具有某种对称性分布的场强可求解。利用高斯定理求解场强必须遵从两个步骤:其一,必须对所涉及的带电体系产生的场强进行定性分析,明确场强方向和大小的分布规律;其二,依据场强分布规律,判断能否用高斯定理求解,能则构建适当的高斯面进行求解。构建高斯面必须满足两个条件:其一,所求场强之点必须在高斯面上;其二,高斯面上各点或某部分各点场强大小相等。在此基础上,高斯面的形状大小原则上可任意选取,使待求场强E都可移到高斯定理的积分号外而求出所涉及的带电体系在待求点产生的场强。当然,在求解具体问题时应选择使求解最简便的高斯面。2.1亚甲基对均匀带的反演为叙述方便,把包围整个带电体系的高斯面称为体系高斯面。例如,求解无限长均匀带电细直捧,无限大均匀带电平面和均匀带电球面外的场强时,经分析可知这些带电体系所产生的场强分布各自都具有一定的对称性,可构建形状适当的体系高斯面求解。对无限长均匀带电细直棒,可构建以此细棒为轴线,过所求场强之点的无限长圆柱面为高斯面。对无限大均匀带电平面,可在其两侧各作一个与其平行的无限大平面,构成高斯面。对均匀带电球面,可构建一个与带电球面同心并过待求场强点的球面作高斯面。利用这些高斯面可分别求出相应带电体系产生的合场强。2.2局部高斯面求解为区别于体系高斯面,可把只包围带电体系中部分电荷的高斯面称为局部高斯面。既然带电体系周围空间各点的场强都是带电体系各电荷产生的合场强,利用体系高斯面能正确求解,那利用局部高斯面也一定能正确求解。在构建高斯面必须满足的两个条件的前提下,局部高斯面的大小形状还有一定任意性,但应该构建对于解题最简便的高斯面。例如,求解均匀带电球面产生的场强,可构建以带电球面的球心为顶点,母线沿球的半径,且大于球的半径,底面是以母线为半径的球面的一部份,并过求场强之点的圆锥形高斯面。求解无限大均匀带电平面的场强,可构建两端面平行于带电平面,并各在带电平面一侧的垂直于带电平面的圆柱面作高斯面。求解其它带电体系的问题,也可以此类似作局部高斯面求解。有些问题的场强分布,整体而言无求解所必需的规律性,但局部看来则有之。对这样的问题,就只能构建局部高斯面求解。例如,要求解外表面不规则的金属体静电平衡时表面一点的场强,就只能构建垂直带电体表面的柱面高斯面,且柱面必须足够短,两端面必须足够小,才能正确求解。2.3双面冲击下的场强由多个带电体系产生的电场,其场强分布具有某种对称性时,一般可用高斯定理求解。多个带电体系都在周围空间产生电场,所构建的任一高斯面上的实际场强都是所有带电体系产生的场强的矢量和。但应该注意,解题中定性分析场强分布时,涉及到哪些带电体系,所求出的场强就只是这些带电体系产生的合场强,不包括未涉及的带电体系所产生的场强。下面举例说明。例:如图2所示,A、B、C为三个互相平行均匀带电无限大平面,其面电荷密度均为+σ。试求:1)A平面,2)A、B平面,3)A、B、C平面,所带电荷在A平面两侧产生的合场强。求解:1)求A平面所带电荷在A平面两侧产生的场强。定性分析可知,其场强均匀分布在A平面两侧,垂直A平面向外,可构建如图2(a)所示高斯面,是一个两端面平行于A平面,轴垂直于A平面的圆柱面。依据高斯定理可求得A平面两侧的场强E=σ2ε02)求A、B平面所带电荷在A平面两侧产生的场强。定性分析可知,AB两平面上的电荷各自产生均匀向外的场强,在A平面左侧等值同向,而在AB平面之间则等值反向,叠加结果如图2(b)所示。高斯面左端面上场强大小为E,而右端面上场强为0。依据高斯定理可求得AB平面间场强为0,而A平面左侧的场强E=σε03)求A、B、C平面上电荷在A平面两侧产生的场强。定性分析可知,A、B、C三平面上的电荷各自产生的场强,在A平面左侧都等值且垂直A平面向外。在右侧都等值且垂直A平面,A平面产生的场强向右,而B、C平面产生的场强向左。这些场强在高斯面上叠加的结果如图2(c)所示,左端面上场强为E,向外,而右端面上场强为E′=-E/3,向内。依据高斯定理可求得A平面左侧的场强为E=3σ2ε0而AB平面之间的场强为E′=σ2ε0此例证明,高斯面上的实际场强是其周围空间所有电荷产生的合场强,但利用高斯定理所能求出的场强则只能是决定高斯面上场强分布规律的那些电荷产生的合场强。对同一高斯面,考虑不同带电体系产生的电场在其上叠加时,可有不同的合场强分布,利用高斯定理求出的场强也就不同。3场强在高斯面的各点分布以高斯定理求解场强的前提条依据高斯定理所求出的局部高斯面上的场强,只能是为高斯面上场强按某一特定规律分布作出贡献的,处于高斯面内外的那些电荷产生的合场强。通过高斯面的电通量恒等于高斯面内电荷总量除以电场所在空间介质的介电常数。这是静电场无旋性——有势性所决定的,是静电场本质的必然体现。这使利用高斯定理求解场强成为可能。但高斯定理只把握住通过高斯面电通量的数值,而未能把握住场强在高斯面上各点的分布,亦即未能把握住高斯面各面元上电通量的分布。因此高斯定理仅仅是求解场强的必要条件,而非充分条件。充分条件就是能使高斯定理对场强的积分得以实