医科数学：第二节 定积分

1第三章一元函数积分学第一节不定积分第二节定积分

一、定积分的概念二、定积分的性质三、定积分的计算第三节反常积分第四节定积分的应用2一、定积分的概念1.曲边梯形的面积A由连续曲线y=f(x)≥0与直线x=a、x=b、y=0所围成的平面图形，称为曲边梯形．3一、定积分的概念下面，通过四步来计算曲边梯形的面积：在[a,b]内任意插入个分点将[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为对应得到n个小曲边梯形．(1)分割：4一、定积分的概念(2)近似代替：在每个小区间上任取一点小曲边梯形的面积可近似地用以为底、为高的小矩形面积来代替．即，则5一、定积分的概念(3)求和：将上述n个小矩形面积加起来，即得所求曲边梯形面积的近似值6一、定积分的概念(4)取极限：记，则表示每个小区间长度都趋于零．这时，所求曲边梯形面积的精确值为7一、定积分的概念2.变速直线运动的路程

S设某物体作变速直线运动，已知速度函数v=v(t)≥0是时间间隔[T1,T2]上的连续函数，求这段时间内物体所经过的路程．与前例类似，有：(1)分割：在[T1,T2]内任意插入个分点将[T1,T2]分成n个小区间，每个小区间的长度为对应得到n个小时间段．8一、定积分的概念(2)近似代替：在每一个小时间段任意取一点，以近似代替各时刻的速度，则每小段路程的近似值为(3)求和：将上述n段小路程加起来，即得所求总路程的近似值上上9一、定积分的概念(4)取极限：记，表示每个小区间长度都趋于零．这时，所求总路程的精确值为则10一、定积分的概念3.细菌繁殖总量Q设细菌的繁殖速率为r=r(t)，且r(t)是时间间隔[T1,T2]上的连续函数，求这段时间内的细菌繁殖总量Q．类似可得：细菌繁殖总量的精确值为虽然前面各例所反映的实际意义不同，但都归结为求一个结构相同的和式的极限问题，这个和式的极限即为定积分．11(

)，一、定积分的概念定义3-3设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，取分点将[a,b]分成n个小区间．在每个小区间上，任取一点作和式12一、定积分的概念

如果不论对[a,b]如何划分，如何选取，只要当时，的极限存在，则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（definiteintegral），记为，即前面的实例可用定积分表示为对13一、定积分的概念注意：定积分的值，对定积分补充定义：只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量所用的记号无关，即14一、定积分的概念

定积分的几何意义（曲边梯形的面积）15一、定积分的概念

定积分的几何意义（曲边梯形的面积）

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积．16(2)若f(x)在闭区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积．例如：一、定积分的概念(1)若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.函数f(x)在闭区间[a,b]上可积的充分条件：17一、定积分的概念例1.

用定义计算定积分解：性质18一、定积分的概念或19二、定积分的性质性质1证：20二、定积分的性质性质２证：性质３证：21二、定积分的性质性质422二、定积分的性质性质5若在区间[a,b]上有，则23二、定积分的性质推论１.若在闭区间[a,b]上有f(x)≥0或f(x)≤0，则推论２.若a<b，则证：由可得故24二、定积分的性质推论３.若M、m是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值，则证：由25

若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得二、定积分的性质性质６证：由得积分中值定理26二、定积分的性质称为连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值．其几何意义是：27三、定积分的计算

1.微积分基本定理(1)积分上限函数若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则是[a,b]的一个函数，记为，称为积分上限函数，或变上限函数，或变上限积分．28

(1)积分上限函数定理3-4

设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则积分上限在[a,b]上可导，且即是f(x)的一个原函数．由此可见，任何连续函数都有原函数．函数29(1)积分上限函数（证明）30(1)积分上限函数（推论）推论.若f(t)连续，a(x)、b(x)可导，则特别地：31(1)积分上限函数（推论证明）例题32(1)积分上限函数（推论证明２）33(1)积分上限函数（例题）例1.

例2.例3.例4.医科Ⅱ作业5.习题三:7(2),8(2),9(2),10,12(1),14(2)(3).34(1)积分上限函数（练习题）1.

2.

35练习题1及答案下一题36练习题2及答案下一题37练习题3及答案证明：38二、由定理3-4的条件：f(x)在闭区间[a,b]上连续，和结论:，能够得出什么结论？定积分的问题一、定积分的值与哪些因素有关？是f(x)的一个原函数．2.任何连续函数都有原函数．被积函数和积分区间．39(２)微积分基本定理

我们知道，按照定义计算定积分是很困难的，因此需要寻求定积分的计算方法．牛顿莱布尼兹

牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）把定积分的计算归结为求原函数的运算，得到了微积分基本定理，即牛顿-莱布尼茨公式．它揭示了积分与微分的内在联系，即它们之间的互逆关系，从而，完全解决了连续函数定积分的计算问题．40(２)微积分基本定理定理3-5设f(x)在闭区间[a,b]上连续，F(x)是

f(x)的一个原函数，则证明：记为41(２)微积分基本定理（例题）例1.例2.医科Ⅲ作业4.习题三:7(2),8(2),9(2),10,12(1),14(2)(3),15(1)(4).42(２)微积分基本定理（例题）例3.

解：注意：43(２)微积分基本定理（例题）例4.证明证明：44(２)微积分基本定理（例题）例5.用牛顿-莱布尼茨公式证明积分中值定理.设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，则45练习题1及答案证：1.证明：则类似可证：46练习题2及答案47练习题3及答案482.定积分的换元积分法定理3-6若(1)f(x)在闭区间[a,b]上连续；(2)上单调且有连续导数；(3)对任意则称为定积分的换元积分公式．注意：换元必换限！利用此公式计算定积分的方法，称为定积分的换元积分法．49注意：

2.定积分的换元积分法

注意实际上502.定积分的换元积分法（例题）例1.512.定积分的换元积分法（例题）例2.或522.定积分的换元积分法（例题）例3.已知函数f(x)在闭区间上连续，证明：故证明：因532.定积分的换元积分法（例题）例4.例5.例6.542.定积分的换元积分法（练习题1）1.552.定积分的换元积分法（练习题2）解法一2.562.定积分的换元积分法（练习题2）解法二2.医科Ⅱ作业6.习题三:15(1)(4)(7)(8)(10)(12),16,17,18.572.定积分的换元积分法（练习题3）定积分的分部积分法582.定积分的换元积分法（练习题4）定积分的分部积分法592.定积分的换元积分法（练习题4）定积分的分部积分法60练习题及答案（定积分的换元积分法）设f(x)在上连续，证明：证明：61定积分的方法，称为定积分的分部积分法．3.定积分的分部积分法定理3-7当u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上有连续导数时有因称为定积分的分部积分公式．利用此公式计算故即623.定积分的分部积分法（例题）例1.例2.633.定积分的分部积分法（例题）例3.已知患者服药后从其尿液中排出药物的速率为，求在时间间隔[0,T]内，从患者尿液中排出药物的量解：3.定积分的分部积分法（例题）例4.设求解：653.定积分的分部积分法（练习题）证明：若f(x)为连续函数，则66练习题及答案（定积分的分部积分法）证：积分变量法一医科Ⅲ作业5.习题三:15(7)(8)(10)(12)(14)(19)(20),16,17,18.证明：若f(x)为连续函数，则67练习题及答案（定积分的分部积分法）积分变量证：法二68牛顿(1642–172