北师大数学总复习第10章第3课时变量间的相关关系、统计案例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．(2013·高考湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o（y，\s\up10（^）)＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up10（^))＝－3.476x＋5.648;③y与x正相关且eq\o(y，\s\up10（^))＝5.437x＋8。493；④y与x正相关且eq\o(y，\s\up10（^)）＝－4。326x－4。578.其中一定不正确的结论的序号是（)A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：根据正负相关性的定义作出判断．由正负相关性的定义知①④一定不正确．答案：D2．已知回归直线斜率的估计值为1。23，样本点的中心为点（4，5),则回归直线的方程为（)A．y＝1.23x＋4 B．y＝1。23x＋5C．y＝1。23x＋0.08 D．y＝0。08x＋1.23解析：回归直线必过点(4,5）,故其方程为y－5＝1.23（x－4），即y＝1。23x＋0。08。答案:C3．大学生和研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：学士硕士总计男16227189女1438151总计30535n＝340根据以上数据,则可以判定（）A．获取学位类别与性别有关B．获取学位类别与性别无关C．性别决定获取学位的类别D．以上都是错误的解析：2＝eq\f(340×162×8－27×1432，189×151×305×35）≈7。343＞6.635。故有99%的把握认为获取学位类别与性别有关．答案：A4．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过（2,3）点,则这条回归直线的方程为________．解析：由题意知eq\x\to(x)＝2，eq\x\to（y)＝3，b＝6.5,所以a＝eq\x\to(y)－eq\x\to（x)＝3－6。5×2＝－10,即回归直线的方程为y＝－10＋2x。答案：y＝－10＋2x5．研究某新药的疗效，给50个患者服用此药,跟踪调查后得如下表的数据．设H0：服用此药的效果与患者的性别无关:则2＝________，从而得出结论________。无效有效总计男性患者153550女性患者54651总计2081101解析：由公式得2≈6。485，因为3。841＜6.485＜6.635，所以说我们有95％的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关．答案：6。485有95％的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨)与相应生产能耗y（吨)的几组对照数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程eq\o（y，\s\up10(∧）)＝0。7x＋0。35,则表中t的值为________．解析：∵eq\x\to(x）＝eq\f(3＋4＋5＋6,4）＝4。5,eq\x\to（y)＝eq\f（2。5＋t＋4＋4.5,4）＝eq\f(t＋11，4），又点（eq\x\to（x)，eq\x\to（y)）在eq\o（y，\s\up10（∧））＝0。7x＋0。35上，∴eq\f（t＋11，4)＝0.7×4。5＋0。35，解得t＝3.答案：37．（2014·南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据.房屋面积x/m211511080135105销售价格y/万元24。821.618。429.222（1)求线性回归方程；（2)据(1）的结果估计当房屋面积为150m2解：（1）eq\x\to(x)＝eq\f（1,5）×（115＋110＋80＋135＋105)＝109,eq\x\to（y）＝eq\f（1,5）×(24。8＋21。6＋18。4＋29。2＋22）＝23.2.设所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o（b，\s\up10(^）)x＋eq\o（a，\s\up10（^))，则eq\o(b，\s\up10(^）)＝eq\f（\i\su（i＝1,5，)xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\i\su(i＝1,5,）xi－\x\to（x)2)＝eq\f（308,1570)≈0。1962，∴eq\o（a，\s\up10(^)）＝eq\o(y,\s\up10(－）)－eq\o（b，\s\up10（^）)eq\o(x,\s\up10(－））＝23.2－109×eq\f（308，1570)≈1.8166。∴所求回归直线方程为eq\o(y，\s\up10(^)）＝0。1962x＋1。8166.(2)由第(1）问可知,当x＝150m2时，销售价格的估计值为eq\o（y，\s\up10(^)）＝0.1962×150＋1。8166＝31。2466(万元）．8．炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据,如下表所示：x(0。01%)104180190177147134150191204121y(分钟）100200210185155135170205235125（1)画出散点图；(2）计算相关系数,并利用其检验两个变量是否有相关关系；（3)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；（4）预测当钢水含碳量为160个0。01％时,应冶炼多少分钟?解：(1)画出的散点图如图所示．（2)由已知条件制成下表:i12345xi104180190177147yi100200210185155xiyi1040036000399003274522785i678910xi134150191204121yi135170205235125xiyi1809025500391554794015125∴eq\x\to（x）＝159。8，eq\x\to（y)＝172，eq\i\su(i＝1,10，x)eq\o\al（2，i)＝265448，eq\i\su(i＝1，10,y）eq\o\al(2，i)＝312350，eq\i\su(i＝1,10，x)iyi＝287640.将上述数据代入r＝eq\f(\i\su(i＝1,10，x)iyi－10\x\to(x)\x\to（y），\r（\i\su(i＝1,10,x）\o\al（2，i)－10\x\to（x）2\i\su(i＝1,10,y）\o\al（2，i）－10\x\to（y)2）)得r≈0.990602,显然y与x之间存在显著的相关关系．(3）由(2）中数据可得b＝eq\f（\i\su(i＝1,10，x）iyi－10\x\to(x）\x\to(y),\i\su（i＝1,10,x）\o\al(2,i）－10\x\to(x）2）≈1.267,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x）≈－30.47.所求回归直线方程为y＝1.267x－30。47,(4）当x＝160时，y＝1.267×160－30。47≈172(分钟)．即大约冶炼172分钟．【B级】能力提升1．（2013·高考福建卷)已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为eq\o（y,\s\up10(^））＝eq\o(b,\s\up10（^）)x＋eq\o(a,\s\up10（^）)。若某同学根据上表中的前两组数据(1，0）和(2，2）求得的直线方程为y＝b′x＋a′,则以下结论正确的是（）A。eq\o(b，\s\up10(^））＞b′,eq\o(a，\s\up10(^)）＞a′ B．eq\o（b,\s\up10（^))＞b′,eq\o（a,\s\up10(^））＜a′C。eq\o(b，\s\up10(^)）＜b′，eq\o(a,\s\up10(^)）＞a′ D．eq\o(b,\s\up10(^））＜b′，eq\o（a，\s\up10(^))＜a′解析：根据所给数据求出直线方程y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小．由（1，0），(2,2)，求b′，a′.b′＝eq\f（2－0,2－1）＝2,a′＝0－2×1＝－2。求eq\o(b，\s\up10（^）)，eq\o(a,\s\up10(^）)时，eq\i\su(i＝1,6，x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\x\to(x)＝3.5,eq\x\to（y）＝eq\f（13,6），eq\i\su（i＝1,6，x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴eq\o（b，\s\up10（^）)＝eq\f（58－6×3。5×\f(13，6）,91－6×3。52)＝eq\f（5,7),eq\o(a,\s\up10(^)）＝eq\f（13，6）－eq\f(5,7）×3.5＝eq\f(13，6)－eq\f(5,2)＝－eq\f（1,3）,∴eq\o(b，\s\up10（^））＜b′,eq\o（a,\s\up10(^))＞a′。答案:C2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程eq\o(y，\s\up10（∧）)＝bx＋a必过(）A．点（2,2） B．点（1。5，0)C．点(1，2) D．点（1.5,4)解析：解法一：回归方程y＝bx＋a必过（eq\x\to（x），eq\x\to(y)），检验即可．eq\x\to(x）＝eq\f（0＋1＋2＋3,4)＝1.5,eq\x\to（y）＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4解法二:回归方程即为y＝2x＋1,代入这些点即可．答案：D3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up10（∧))＝eq\o(b,\s\up10(∧))x＋eq\o（a，\s\up10(∧))中的eq\o(b，\s\up10（∧）)为9。4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(）A．63.6万元 B．65。5万元C．67。7万元 D．72.0万元解析：eq\x\to(x)＝eq\f（4＋2＋3＋5，4)＝3。5,eq\x\to(y）＝eq\f（49＋26＋39＋54，4)＝42，∴eq\o（a,\s\up10(∧））＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up10(∧)）eq\x\to(x）＝42－9。4×3。5＝9.1,∴回归方程为eq\o（y，\s\up10（∧））＝9。4x＋9.1，∴当x＝6时，eq\o（y，\s\up10（∧）)＝9。4×6＋9.1＝65。5，故选B。答案：B4．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11。512.11313.315支出Y6.88.89。81012根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．解析：居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次为：11.5、12。1、13、13。3、15，由中位数定义知年平均收入的中位数是13.画出散点图(图略),由图可知家庭年平均收入与年平均支出具有正线性相关关系．答案：13正5．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm。解析：由题设知：设解释变量为x，预报变量为y，它们对应的取值如下表所示x173170176y170176182于是有eq\x\to（x)＝173，eq\x\to（y)＝176，eq\o(b,\s\up10（∧））＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6，02＋－32＋32）＝1，eq\o(a，\s\up10(∧））＝176－173×1＝3,得回归方程为eq\o(y,\s\up10（∧))＝x＋3，所以当x＝182时,eq\o(y，\s\up10(∧）)＝185。答案：1856．(2014·襄州模拟)给出下列四个命题:①∀x∈R，cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6)））一定不成立;②今年初某医疗研究所为了检验“达菲(药物）”对甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者数据库中的500名使用达菲的人与另外500名未用达菲的人一段时间内患甲型H1N1流感的疗效记录作比较，提出假设H0：“达菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒的作用"，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3。841）≈0.05,说明达菲抑制甲型H1N1流感病毒的有效率为95%；③|a·b｜＝｜a｜|b|是|λa＋μb｜＝｜λ||a|＋｜μ||b｜成立的充要条件;④如图的茎叶图是某班在一次测验时的成绩,可断定：女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生．其中真命题的序号是________．（填上所有真命题的序号)解析：对于①，等式展开后可化简为asinx＋bcosx＝0的形式，可知一定有解；对于②，正确解释是：有95%的把握认为“达菲对甲型H1N1流感病毒有抑制作用"；对于③，由向量模的性质知不正确．答案：④7．（创新题)（2013·高考重庆卷）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元)的数据资料，算得eq\o(,\s\up10（10）,\s\do4（i＝1))xi＝80,eq\o（，\s\up10（10)，\s\do4（i＝1））yi＝20，eq\o(，\s\up10（10),\s\do4（i＝1）)xiyi＝184，eq\o（,\s\up10（10），\s\do4(i＝1)）xeq\o\al（2，i)＝720。（1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；（2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3）若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝eq\f（\o(，\s\up10(n），\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up10(－））\o（y,\s\up10(－）），\o(，\s\up10（n)，\s\do4(i＝1）)x\o\al（2，i)－n\o(x,\s\up10(－))2）,a＝eq\o(y，\s