不等式的解集（原卷版）

TOC\o"13"\h\z\u题型1一元一次不等式(组）的解法 ③.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.（1）数轴上两点之间的距离公式∶数轴上两点A（a），B（b）之间的距离AB=|ab|（2）数轴上两点的中点坐标公式∶数轴上两点A（a），B（b）的中点坐标x=绝对值不等式的几何意义.不等式（m>0）解集的几何意义|x|<m数轴上与原点的距离小于m的所有数的集合|x|>m数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合|xb|<m数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合|xb|>m数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合解集的几何意义（4）本质∶就是表示未知量到数轴上某点处的距离.（5）应用∶利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题.思考注意：数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算。题型1一元一次不等式(组）的解法【方法总结】解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（或等）的形式（其中）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．◆类型1一元一次不等式【例题11】（2021秋·海南·高一海南二中校考阶段练习）不等式x-2<1的解集是（

）A．x|x<3 B．x|x<-1C．x|x>3 D．x|x>2【变式11】1.（2022秋·全国·高一专题练习）不等式-3x+2>0的解集为（

）A．{xx<1或x>2} B．C．xx<2【变式11】2.（2021·高一课时练习）不等式1-2x<5-1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式11】3.（2022秋·全国·高一专题练习）关于x的不等式2x2<(x3)(5x)的解集是.◆类型2一元一次不等式组【例题12】（2023·高一课时练习）设不等式组3x-2>x2-x<1-x3的解集为SA．-∞,1 B．1,+∞ C．52,+∞【变式12】1.（2022·全国·高一专题练习）不等式组-x<1x-2≤1的整数解共有【变式12】2.（2020秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）解不等式组12(x-1)≤11-x<2【变式12】3.（2023·高一课时练习）解不等式组1-x+1【变式12】4.（2020·高一课时练习）不等式组{x-1>0A． B．C． D．题型2含参一元一次不等式(组）的解法【方法总结】求解含参不等式的问题，一定要讨论x的系数的取值范围◆类型1含参一元一次不等式【例题21】（2023·高一课时练习）关于x的不等式ax<1的解集，下列说法不正确的是（

）A．可能为∅ B．可能为R C．可能为1a,+【变式21】1.（2022秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）设a、b∈R，解关于xA．该不等式的解集为ba,+∞；C．该不等式的解集可能为∅； D．该不等式的解集不可能为∅.【变式21】2.（2021·全国·高一专题练习）不等式组x-1>aA．-1<a<3 B．a<-1或a>3C．-3<a<1 D．a<-3或a>1【变式21】3.（2022秋·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式m(x+2)<x+m.【变式21】4.（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知a∈R，解关于x的不等式组【变式21】5.（2022秋·全国·高一专题练习）求关于x的不等式1<ax<3-2x的解集.◆类型2已知解集取值（范围问题）【例题22】（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）若关于x的不等式a+bx+b-2a<0解集为1,+∞，则关于x的不等式【变式22】1.（2021秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知a，b为常数，若ax-b<0的解集是-∞,2，则bx+a>0的解集是【变式22】2.2022秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）若关于x的不等式mx+1>0的解集是-∞,15，则关于x的不等式A．-∞,-23 B．-23【变式22】3.（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组x+a>1,2x-b<2解为-2<x<3，则a-b2022的值为【变式22】4.（2022秋·全国·高一专题练习）若1是关于x的不等式ax+1>2a-x的解，则实数a的取值范围是.【变式22】5.（2021·高一单元测试）不等式组{x+5<5x+1x-m>1的解集是A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0【变式22】6.（2019·高一课时练习）若关于x的不等式组x-43+1≥3x-46,A．a≥-2 B．a>-2 C．a≤-2 D．a<-2◆类型3有解问题【例题23】（2023·高一课时练习）若不等式组1+x<ax+92+1≥A．a<-36 B．a≤-36C．a>-36 D．a≥-36【变式23】1.（2022秋·上海奉贤·高一校考期中）关于x的不等式组ax>1x-a>0的解集不是空集，则实数a【变式23】2.（2022秋·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习）若不等式组x>a2x<3a-2A．1<a<2 B．a<1或a>2 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2◆类型4无解问题【例题24】（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式a2-1x≤a-1的解集为∅，则a=【变式24】1.（2022秋·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于x的不等式组3x-a≤0,2x≥6的解集是∅，则aA．a<9 B．a>9 C．a≥9 D．a≤9【变式24】2.（2019·高一课时练习）若不等式x<m,x-2<3x-6无解，则实数mA．-∞,2 B．2,+∞ C．-∞,2 D．2,+∞【变式24】3.（2021·高一课时练习）已知关于x的不等式ax<b，若解集为∅，则a，b满足的条件是；若解集为1,+∞，则a，b满足的条件是.【变式24】4.（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式组m-2x<（1）当m=-11时，求不等式组的解集；（2）当m∅?◆类型5解集为R问题【例题25】（2022秋·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax<1的解集为R，则（

）A．a>0 B．a=0 C．a<0 D．a不存在◆类型6整数解问题【例题26】（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）若关于x的不等式a-2<2a-x<12只有一个整数解2，则实数【变式26】1.（2022·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组2x+a>03x-6a<0的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是【变式26】2.（2023·高一课时练习）如果关于x的不等式组3x-a≥02x-b≤0题型3绝对值不等式【方法总结】含有绝对值不等式的解法（1）|x|<a(a>0);|x|<a(a>0)的口诀：小于取中间大于取两边.（3）形如|a|<|b|的绝对值不等式的常用方法：两边平方.（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.（三角不等式）（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.◆类型1小于取中间大于取两边【例题31】（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式x-1<2A．x-1<x<3 B．C．xx<-1或x>3 D．xx<1【变式31】1.（2022秋·北京·高一校考期中）不等式3x-1≥1【变式31】2.（2019·天津·高考真题）设x∈R，则“0<x<5”是“x-1<1A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式31】3.（2022春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题A:x-2≤3，命题B:A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【变式31】4.（2019·高一课时练习）不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为()A．x-7C．x-7【变式31】5.（2021秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考开学考试）不等式1≤|x＋1|＜3的解集为◆类型2零点分段法【例题32】（2023·高一课时练习）求下列不等式的解集：（1）|x-1|+|x-2|<5（2）|x-1|+|x-2|≥3（3）|x-1|+|x-2|>（4）|x-1|+|x-2|<1【变式32】1.（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（

）A．0 B．－1C．1 D．2【变式32】2.（2022秋·全国·高一专题练习）不等式1≤2x-1A．x-12<x<0或1≤x≤C．x-12<x≤0且1<x≤【变式32】3.（2023·上海松江·校考模拟预测）已知x∈R，则“|x+1|+|x-1|≤2”是“1A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．【变式32】4.（2021秋·高一课时练习）不等式x+1<2x-1◆类型3平方法【例题33】（2023·全国·高一课时练习）不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为A．(-∞,32)B．(-∞【变式33】1.不等式的解集为【变式33】2.解下列不等式：．题型4距离问题与中点问题◆类型1距离问题【例题41】（2023·全国·高一课时练习）在数轴上，已知Aa-1，B1-A．a<1 B．a≥1 C．AB=0【变式41】1.（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上A，B两点的坐标分别为13，-13，则ABA．0 B．-23 C．2【变式41】2.（2023·全国·高一课时练习）数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，1，5，则MPPN等于（

）A．4 B．4 C．12 D．12◆类型2中点问题【例题42】（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点Aa，Bb，则在数轴上满足条件PA=PB的点P的坐标为（A．b-a2 B．a-【变式42】（2023·全国·高一课时练习）已知数轴上不同的两点A，B，若点B的坐标为3，且AB=5，则线段AB的中点M的坐标为（

）.A．112 B．12 C．4 D．1◆类型3取值范围问题【例题43】（2022·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．【变式43】1.（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上三点P-8，Qm（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；（2）若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围.【变式43】2.（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，A(-（1）若A与C关于点B对称，求x的值；（2）若线段AB的中点到C的距离小于5，求x的取值范围．题型5含参绝对值不等式◆类型1已知解集问题【例题51】（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式m-|x|≥0的解集是[-1,1]，则实数m的取值集合为（

）A．{1} B．(1,+∞) C．[1,+【变式51】1.（2020秋·江苏南京·高一校考阶段练习）关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为x∣-56<x<【变式51】2.（2019·高一课时练习）若关于x的不等式ax-2<3的解集为x-5【变式51】3.（2019·高一课时练习）关于x的不等式x-a<1的解集为1,3，则实数a=【变式51】4.（2020·高一课时练习）已知2x-3≤1的解集为[m,n]（1）求m+n的值；（2）若x-a<m，求证：x◆类型2充分（必要）结合问题【例题52】（2021秋·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式x-a<1成立的充分非必要条件是13<x<A．-12,43 B．【变式52】1.（2021秋·江西宜春·高二校考阶段练习）已知条件p:x+1>2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数A．1,+∞ B．-1,+∞ C．-∞,1 D．-∞,3【变式52】2.（2023·高一课时练习）如果12<x<32是不等式A．12,C．-∞,12◆类型3恒成立问题【例题53】（2020·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是．【变式53】1.（2021秋·高一课时练习）关于x的不等式|x+1|-|ax-1|>0对任意x∈(0,1)恒成立，求a的取值范围.【变式53】2.（2019·高一课时练习）若不等式2x-a≤x+3对任意x∈0,2恒成立，则实数A．-1,3 B．-1,3 C．1,3 D．1,3【变式53】3.（2022秋·浙江嘉兴·高