向量代数和空间解析几何

一一1一一一1一向量代数和空间解析几何选择题.设矢量a,b为非零矢量，且a±b，则必有()(A)|a+b=|al+Ibl；(B)|a-b'|a|-Ibl;(C)(A)|a+b=|al+Ibl；(B)|a-b'|a|-Ibl;(C)a+b=TOC\o"1-5"\h\z.设矢量a,b的模分别为1al=T,b=J2，且a与b的夹角为。=舟，则a+b=()一 一一一1 T _ 一4_ _(A)1;(B)l+v;2；(C)2;(D)<5.—► 一 —►3.设矢量a,b为非零矢量「且满足a+b=a二b，则必有()一(A)a-b=0；(B)a+b=0；(C)a•b=0；(D)axb=0.4.设三矢量a,b,c满足关系式a•b三a•飞，则(一)4.(A)必有z=0或b=c；7B)必有aj-c=0；(0当a孝0时必有b=c；(D)必有al^b-c).5.设矢量a,b为非零矢量，且Ga-5b)l(a+3b)，Qa-2b)±Ca-4b)，则a与b的夹角°二()5.TOC\o"1-5"\h\zff 一 f f f f f(A)0；(B)|；(C)g；(D) . _ _ _ _2 3 36.过A(4,0,-2)、B(5,1,7)且平行于x轴的平面法矢量n=()(A){1,1,9}x{0,a,b}；(B){1,1,9}x{0,a,a}；(C){1,1,9卜(a,0,0}；(D){1,1,9}x{a,0,0}.7.8.9.两平行平面19x-4y7.8.9.两平行平面19x-4y+8z+21=0和19x-4y+8z+42=0间的距离为()(A)1；(B)；；(C)2；(D)21.、Jx-y+z+5=0直线(5x-8y+4z+36=0的标准方程为(xy-4z+1xy-4(A丁丁；；⑻丁丁；(C)(D)直线L:1的关系是((D)(D)L1〃L2.TOC\o"1-5"\h\z(A)LlL；(B)L与L相交但不一定垂直;(C)l与L为异面直线;1 2 1 2 1 210.直线L:±1-匚5-2与L:[x-y-6的夹角为( )1 -2 1 22x+z-3(A)g (B)g； (C)g； (D)g6 4 3 2二.填空题.已知矢量a,b,c两两互相垂直，且同二1胴-2，同-3，则p-a+b+c的长度是 .已知矢量a,b,c，其中cla,clba，由a与方的夹角为g，且\a\=6,b-c\=3，则Ixb>)c=xy+7z-3TOC\o"1-5"\h\z3.直线7-上丁-—r上与点(3,2,6)的距离最近的点是 ；1 2 —1x--1+2入. ..x-3y-2 ,4.已知直线L过点”(0,-3,-2)且与两条直线L:(y-5-4入、L:——= -z-1都垂直，则1z-2+3入 2 3直线L的方程是 ——#5.与直线＜y=-1+1及z-2+1三.判断题

都平行且过原点的平面方程为1.C是三个向量，则.设a、b、c是三个向量，若a•c-b•c，则a-b。.由于方程3-口二三1以0做除数，故它不表示任何空间曲线。100.方程f(x,y2+z2)-0表示旋转曲面，其旋转轴为x轴。()()()()5.单叶双曲面x2+上-z2-1用垂直于x轴的平面来截，截痕都是以x轴为实轴的双曲线。 ()a2b2c2四.解答题.求二平面x—2y+2z+21-0、7x+24z—5-0间的两面角的平分面方程。「2y+3z-5.已知直线L：| ，求①直线L在xoy平面上的投影方程；②直线L在平面[x—2y—z--7兀：x-y+3z+8-0上的投影方程。3.4.一动点与尸(1,2,3)的距离是它到平面x-3的距离的43倍，试求动点的轨迹方程，并求该轨迹曲面。在曲面3x2+y2+z2=16上求一点，使曲面在此点的切平面与两条直线L1：x—3

~T~L：x-y-z平行。2「10x+2y—2z-27.过直线L:\ 做曲面3x2+y2-z2-27的切平面，求此切平面方程。[x+y-z=0x-t-7.求点(2,3,1)在直线|y-2t-2上的投影。、z-3t-2x-1y-2z-3x+2y-1z.已知直线L：--=^，L：--二.二不，求过L且平行于L的平面方程。1 1 0 -1 2 2 1 1 1 2yz x-1y-2z-3.设直线L通过点M(1,1,1)，并且与直线L1：x-2-3相交，与直线L2：-二上二=__垂直，求直线L的方程。「3x-z+1-0.考察直线L：1 八与平面兀：2x-y-z+1-0的关系，若平行，求其距离；若相交，求出交[x+y-4-0点。.点M的原来位置为M0(5,-1,2)，它沿着平行于y轴的方向移动，求它与平面x-2y-3z+7-0的交点。多元函数及其微分学1..选择题x设f(xy,-)=(x+y)2,则f(x,y)=()y1(A)x2(y+—)21..选择题x设f(xy,-)=(x+y)2,则f(x,y)=()y1(A)x2(y+—)2；y(B)x1—(1+y)；(C)y2(x+-)2；①)y(1+y)22..(1)lim1—-x2x+y=((A)e-1；(B)e；(C)1；①)0.3.设函数f(x,y)=〈xy2x2+y20,(A)极限limf(x,y)存在，xT0yT0(B)极限limf(x,y)存在xT0yT0■, (x,y)丰(0,0)皿，则()(x,y)=(0,0)但f(x,y)在点(0,0)处不连续;且f(x,y)在点(0,0)处连续;4.(C)极限limf(x,y)不存在，故f(x,y)在点(0,0)处不连续；xT0yT0(D)极限limf(x,y)不存在，但f(x,y)在点(0,0)处连续;.xT0yT0函数f(x,y)在点(x,y)偏导数存在是f(x,y)在该点连续的()00(A)充分条件，但不是必要条件;(B)必要条件，但不是充分条件；(C)充分必要条件;(D)既不是充分条件，也不是必要条件.5.=0，fx=x Sy0y=y0 y=y0(A)连续且可微;(B)连续但不一定可微;(C)可微但不一定连续;(D)不一定连续也不一定可微.=0，则f(x,y)在(x,y)是()0 0x=x06.设u=u(x,y)为可微分函数，且当J=x2时，有u(x,y)=su1及—=x，则U当y=x2(x丰0)时Sx7.8.Su =(Sy)。11(A)2;(B)—2;(C)0;①)1.设z=z(x,y)是由方程F(x-az,y-bz)=0所定义的隐函数，数，a,b为常数，则必有()其中F(u,v)是变量u,v的任意可微函szsz szsz szsz(A)bSx+aSy=1；⑻aSx+bSy=©bSx一°Sy:①)已知函数u=f(t,x,y),x=5(s,t),y=。(s,t)均有一阶连续偏导数& 7sz1a一b=1.sx sysu那么至二()(A)f5+f弧(B)f+f5+f。；(C)f2+f。；(D)f+f9+fe.xtyttxtyttt9.曲线r:Ix2+y2+z29.曲线r:在点M(1,—2,1)的切线一定平行于()x+y+z=0(A)xoy面；(B)yoz面;(C)zox面；(D)平面x+y+z=0.10.曲面e.—z+xy=3在点(2,1,0)的切平面方程为()(A)2x+y—4=0；(B)2x+y—z—4=0；(C)x+2y—4=0；(D)2x+y—5=0. / ' C- .A111\一一一 11.平面2x+3y—z='是曲面与z= / ' C- .A111\一一一 11.平面2x+3y—z='是曲面与z=2x2+3/在点-,-,-处的切平面，则九的值是()V222J(A)4；(B)5；(C)2;①)2..设函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，且f(x,y)=f(x,y)=0,则f(x,y)在点(x,y)()00 x00y00 00(A)必有极值，可能是极大，也可能是极小;(B)可能有极值，也可能没有极值;(C)必有极大值;(D)必有极小值.一 , (x,y)丰(0,0).二元函数f(x,y)=<x2+y2 在(0,0)处()0, (x,y)=(0,0)(A)连续且偏导数存在;(B)连续且偏导数不存在;(C)不连续且偏导数存在;(D)不连续且偏导数不存在；填空题设z=x+y+f(x-y)，且当y=0时z=x2，则函数f为；z=;i■ xdy设ln、,;x2+y2=arctan-，则丁= ；ydx设z=z(x,y)由方程e-xy—2z+e=0确定，于是z关于x的二阶偏导数为;设z=xyf(y)，f(u)可导，则xz'+yz'=；x xy设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f(0,1,—1)=；x判断题.若从(x,y)对无穷多种方式趋于(x0,y0)时，函数f(x,y)都无限接近于A，则m f(x,y)=A。()(x,y)—(x0,y0).二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)处偏导数都存在，则f(x,y)在P0(x0,y0)处连续。 ().二元函数f(x,y)在P(x,y)处二阶偏导数都连续，则f(x,y)在P(x,y)处可微。 ().光滑曲面z=f(x,y)在任意点的法向量为f(x,y),f(x,y),J。 ()xy.一元复合函数具有一阶微分形式的不变性，二元和多元函数则没有。 ( )解答题1.2.设f(x,y,z)=x3y2z2，其中z=z(x,y)为由x3+y3+z3—3xyz=0确定的隐函数，试求f(—1,0,1)。xCS① du2,ey,z)=0，y=Sinx，其中f,①都具有一阶连续偏导数，且二。。，求〃。Sz dx3.S2zS2z设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程+3^=e2zz，求f(u)。Sx2 Sy24.设f(x,y)=fxye-t2dt，求0SxSyxSy25.设z=f(x,y,x+y+z)确定了z=z(x,y)，求dz。6... _r zz、设函数z=z(x,y)由方程Fx+—,y+-xJ二0确定，F(u,v)的偏导数存在，计算x盘+y标。7.S2u设函数z=u(x,y)eaac+by且SxSy试确定常数a,b，使函数z=z(x,y)能满足方程:8.设中,。都具有连续的二阶导数，z=S2zSzSz ————+z=0SxSySxSy2中(y+ax)+中(y-ax)+-1Jy+a