向量三点共线定理及其延伸应用汇总

O#TOC\o"1-5"\h\z例3（06年江西高考题）已知等差数列｛a｝的前n项和为S,若诙=aOA+a限，且A、B、n n 1 200C三点共线，（设直线不过点O），则S=200A．100 B．101 C．200 D．201° 200（a+a）…解：易知@+@=1,...S= 1--200-二100，故选A。1 200 200 222B.(—3,3)13C,(—4,422B.(—3,3)13C,(—4,4)13A.(―,)4417D.(—―,—)55解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论我们不难判定方=xOA+yOB中的线性组合系数对（x,y）应满足0<x+y<1,且x<0,y>0。从而应选C。例5（梅涅劳斯定理）若直线l不经过AABC的顶点，并且与AABC的三边8&CA、AB或它们的BPCQAR延长线分别交于P、Q、R则瓦•9•RB证：如图，设P、Q、Rm点分有向线段BC、CA、AB,BPCQAR所成的比分别为九,九,九，则五• ,石3=1O|九|」九|•|九|二123PCQARB1 2 3因而只需证明九•九・九=T。123的向量公式得123点0 ,则由定比分点任取一又P、Q、因而只需证明九•九・九=T。123的向量公式得123点0 ,则由定比分点任取一而―访+~祝诙=反十九2砺）二次+九3历1+九" 1+九, 1+九123卜2，卜3・・・P、Q、R三点共线，，由推论4知存在全不为卜2，卜3一OB+XOC、一

k(—L-)+k一OB+XOC、一

k(—L-)+k(

11+九 21k+k+k=0123 武一)+k( -3——)=01+九3、 1+九)九kk九kk即(22+—31+九1+九2-)OC=0,2Qkk-Akk-)OC=0,2-)OA+(—+——h—)OB+(—i—i-+——2. 1+九1+九1+九1+九3 31 1/九kk、/九kk且/九kk、/九kk且(2c2+—3^)+(33+——1—1+九1+九1+九1+九23 31）+（1次+1+T）=0,而A、B、C三点不共线,由推论5得九kk九kk九kk中+3-=寸+v=寸+2—=0,・・九•九•九=—1，原命题得证。1+九1+九1+九1+九1+九1+九 123

例6（塞瓦定理）若P、Q、R分别是AABC的BC、CA、AB边上的点，则，AP、BQ、CR三线共点的充要条件是BPCQAR - • PCQARB充要条件是证：必要性：如图,设P、Q、R分有向线段BC、CA、AB所成的比分别为仆九，九则BP•CQ•AR-1。小九」1.PCQARB123,0)1=k(M+(l-k)OP=kOA+(l-k)--kOA+1OBIOC1同理存在实数k2,与使。”=►1-k一

0M=—~^0A+1+九3，OB+kOC,1-k八一1—k —>①-②得：(k——^2•九)(2A+(-—^-fc)0B+(11+九2 1+t2211—k、

——狂人,0)1=k(M+(l-k)OP=kOA+(l-k)--kOA+1OBIOC1同理存在实数k2,与使。”=►1-k一

0M=—~^0A+1+九3，OB+kOC,1-k八一1—k —>①-②得：(k——^2•九)(2A+(-—^-fc)0B+(11+九2 1+t2211—k、

——狂人1+九111-k—►--^)OC=0；1+九2..1—k、..

①-③得：(k—aoA+(

11+九31—k1—k /丁胃九)。8+(1+九3iZt11—k. ►一―^九-k)oc=o.1+九1 31又・・・A、B、C三点不共线，且（k11—k1—k1—k1—k—日九)+(—消—k)+(—清九——-^)-0,1十九2 1+九 2 1+九11+九2 1 1 21—k及(k- 3)+(11+九31—kc:―廿九—k）=。，，由推论5得1+九1 3111—k%k— T人―11+九221—k心——廿—k1+九211—k1—k 廿九— 卢—1十九11+九1211—kk———卢11+九31—k

- -41—k -41—k% 1 -人—k1+九111 1—kyJk---六大1 1+九221k--3九.九.九1+九1 2 33二k九九九•.九•九•一二1,1123 1 2 3BPCQAR即」• -1PCQ