第07讲一元一次方程的概念和解法W

第六讲一元一次方程的概念和解法知识方法扫描1、含有未知数的等式叫方程。含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程称为一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的最简形式。2、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式ax=b；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。3、使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫做方程的根。4、最简方程ax=b解的情况：b（1）当a≠0时，方程是一元一次方程，它有唯一解x;a（2）当a=b=0时，方程的解为任意数；（3）当a=0，b≠0时，方程无解。5、含有参变量的方程、含绝对值符号的方程在求解时往往需分类讨论，经典例题解析例1（第12届“迎春杯”数学竞赛试题）解方程0.3x0.80.02x0.310.8x0.40.50.33解:运用分数的基本性质，可得(0.3x0.8)10(0.02x501)1(0.8x0.4)50.5100.350353x8x4x2215将原方程化为515去分母，得9x+24-x-30=4x-2移项，合并得：4x=4,于是，x=1。例2(1991年“缙云杯”数学邀请赛试题)xabxbcxca3，且1110，则x-a-b-c=abc.已知cab解：由已知得(xab1)(xbc1)(xca1)0cabxabcxabcxabc0即cab于是(111)(xabc)0abc1110，故x-a-b-c=0abc因例3（1995年北京市第11届迎春杯数学竞赛试题）3xa15x1有相同的解，那么这个解已知关于的方程3[x2(xa)]4x和3128是。解由方程3xa15x1解得x3[x2(xa)]4x解得x2a.37由方程272a128212a272a,由已知得721所以a，x2a2722727877828例4（1998年第(3a2b)x2axb0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x=.x的一元一次方程，所以3a+2b=0(否则它是二次方程9届“希望杯”数学邀请赛试题）解因为原方程是关于).原方程为ax+b=0.ba,原方程为ax3a0,解得x3.3又x有唯一解，故a≠0,于是222例5.（2004年第18届迎春杯训练题）已知关于x的方程a(3x十2)+b（-2x+3）=5x+12有无穷多个解，那么a=____，b=____．解整理原方程得(3a-2b-5)x=12-2a-3b.因方程有无穷多个解，3a2b50,122a3b0.解得a=3，b=2．例6.（1995年昆明市初中数学竞赛试题）定义a*ba(ab7),则方程3*x2*(8)的解是．解：由定义可知3*x3(3x7),2*(8)2[(2(8)7)]18.所以3(3x7)18,13解这个方程得x3例7（1997年河南省初二数学竞赛试题）xx|1||5|5方程的解是分析解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x-1=0,x-5=0，分别得x=1,x=5.1,5将全部实数分成3段：x1或1x5或然后在每一段上去绝对值符号解x5,方程，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=1，x=5叫做零点.解：若x1,则x10,x50.此时原方程化为1x5x5,x12若1x5,则x10,x50,此时原方程化为x15x5,即-1=0，矛盾，说明1x5时原方程无解若x5,则x10,x50,此时原方程化为x1x55,x512所以2x和x51都是原方程的解。12例8（2006年第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题）满足方程|||x2006|1|8|2006的所有x的和为)．(解||x2006|1|82006.即||x2006|1|1998.(1)(2)因为1|x2006|11998.所以由(2)得|x2006|11998,即|x2006|1999.(4)由(4)得x20061999或20061999,(3)即原方程有两个解，所有解的和是(20061999)(20061999)4012.原版赛题传真同步训练一选择题1．（第18届五羊杯初中数学竞赛初一试题）2006x2008x2010x2012x的解（）关于的一元一次方程2005200720092011（A）是一个大于1000的数（C）是一个大于0且小于2的数（1.C原方程可化为（11x)+（1（B）是一个两位的自然数D）不存在1x)=（11x)+（11x)20102005200720091x1x1x1x即+显然它的解是x=1.2005200720092010=+2．（2004年第2届创新杯数学邀请赛试题）x的方程,下列说法a、b为有理数,解下列关于(1)ax+b=bx+a的解为x=1(2)ax+b2=a2-bx的解为x=a-b(3)a2x+b=a+b2x(a≠b)的解为x=a1bb(4)a2x=b-x的解为x=a21中,错误的个数是().(A)0个(B)2个(C)3个(D)4个2．C说法中，（1）（2）（3）不解；对于（2）当a+b=0时，任何数都是它的解。（4）是，因为方程可化为(a2+1)x=b,而a2+1>0,所以解为四个正确。对于（1），当a=b时，任何数都是它的都是它的解；对于（3），当a=b时，任何数正确的bx=a213.(2004年杭州市“思维数学x的方程,则常数ax1xa无解(B)–1(C)±1”夏令营竞赛试题a的值应取(D)0)要使关于(A)13．A4．（1998年第9届“希望杯”数学邀请赛试题）已知关于x的一次方程3a8bx70无解，则ab是（）(A)正数(B)非正数(C)负数(D)非负数5．（2000年第n是不为O的整数．并且关于x的方程3值共有()11届“希望杯”全国数学邀请赛）已知ax2a5a4有整数根，则a的(A)1个；(B)3个；(C)6个；(D)9个．5.C方程两边除以a,得x2a254是整数,于是a是4的约数，可取±1，±2，a±4这6个值。二填空题6．（1996年第7届“希望杯”全国数学邀请赛）7x110.2x5x1的解是方程。0.0240.0180.01256．2597x110.2x5x1原方程化为，432去分母，得3(7x1)4(10.2x)6(5x1).5解之，得x。259（2003年第1届创新杯数学邀请赛试题）7．111x29753方程4681的解是.7．x=111x21x2461,,…，x=1.4175353（2004年第2届创新杯数学邀请赛试题）8．a3xa15x1有相同的解,那么这个解x的方程3[x-(2x-)]=4x和312已知关于8是________.278．353[x(2xa)]4x273从方程组中消去a,解得x=3xa15x1351289．(第12届“迎春杯”数学竞赛试题)关于x的方程xx1x4(a3x)2x23213的解是最小值质数的倒数，a=9．25161最小质数的倒数为2化简原方程，得63xx112xx8a24x,即711x8a,711x14112x,于是a816114112516代人2x=,得a1610．(2001年北京市初中数学竞赛试题)（2kx3)15(2x3)有无数个解，那么k=如果关于x的一元一次方程.326510．2化简原方程，去分母4(kx3)35(2x3),经去括号、移项、合并后得(4k10)x0.5因为已知方程有无数个解，则4k100,∴k2三解答题xaxbxc3xbccaababc11.若a,b,c均大于0，解方程：11．(bxac1)(cxab1)(xc1)abc3,3xabxabcxbcaxcab3(xabc),abcbccaabxabcxabcxabc3(xabc)0,bccaababc)0.1113(xabc)(bccaababca0,b0.c0,111111,,ababcbcabccaabc1abbccaabc1abbccaabc1131130,1即113abbccaabc0.xabc0,xabc.12．（1994年天津市初二数学竞赛决赛）解方程|x-|3x+1||=4。12.当x1时，原方程可化为|x-3x-1|=4，即|2x+1|=43所以2x+1=±4.解得x3或x5，只有x是符合x1的解3；2223当x1时，原方程化为|x+3x+1|=4，即|4x+1|=4.3所以4x+1=±4。解得x或x5，只有x5是符合x1的解。3444313．（重庆市初中数学竞赛试题）|a|1已知关于x的方程xa(x6)，326（1）当a取什么值时，方程（2）当a取什么值时，方程有无穷多解？（3）当a取3时，方程的解是多少？（4）若方程是-2，那么a的值是多少？无解？的解13．将原方程整理，得(|a|1)x2(a1).(1)当|a|10且a10,即a1时，原方程为0x0，此时，方程的解为任意实数．(2)当|a|10且a10,即a1时，原方程为0x2(11),此时，显然方程无解．a3时，原方程为(|3|1)x2(31),(3)当x2.解得x2时，则(|a|1)(2)2(a1).(4)当aa2,a1.||整理，得综上所述，当a1时方程无解；当a1时，方程有无穷多a3时，x2;个解；当当x2时，a114．（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解解当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，当-3≤x＜1时，|x+3|=x+3,|x-1|=1-x,故方程化为x=1不满足-3≤x＜1，故原方程在-3≤x＜1上无解。当x≥1时，|x+3|=x+3,|x-1|=x-1,故方程化为x+3-(x-1)=x+1，∴x=3，.-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x+3+x-1=x+1，∴x=1，x=3满足x≥1,故是原方程的