第十六节 含参不等式之整参问题-解析版

第十六节含参不等式之整参问题知识与方法本书在前面小节中已经阐述过含参不等式的临界相切这种模型，如果这一模型中的临界状态无法求出，那么参数的准确范围也就求不出来，此时题干往往会限定参数为整数，可求出整参的最小值或最大值.这类问题的处理，除了有参变分离、带参讨论等含参不等式问题的解题通法可以采用之外，还有筛选排查法可以选用.典型例题【例题】已知函数（1）求的极值；（2）若，且存在使，求k的最小值.【解析】（1）由题意，，令得：，所以，从而，，故，，所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值，无极大值.（2）解法1：即为，所以问题等价于存在使，令，，则，①当时，，所以在上单调递增，结合知恒成立，不合题意；②当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，若存在使，则，即，令，则，所以在上单调递减,又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，当时，，结合k为整数知使成立的k的最小值为4，综上所述，整数k的最小值为4.解法2：即为，也即令，则问题等价于，，令，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一零点，且，当时，，所以，当时，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故①又，所以，代入式①得：，所以，结合和知k的最小值为4.解法3：即为，问题等价于存在使，①当时，，令，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以，故不存在使，不合题意；②当时，，取知，所以存在使，满足题意；综上所述，整数k的最小值为4.【反思】含参不等式的整参问题，除了含参不等式的参变分离、带参讨论这些通法之外，还可以使用筛选排查法.强化训练1.已知函数（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求整数k的最大值.【解析】（1）由题意，，且，令，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，从而，故的减区间为，，无增区间.（2）解法1：即为，也即，令，则，且恒成立，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以等价于，令，则，所以在上单调递减，又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，当时，，结合k为整数知k的最大值为3.解法2：即为，也即，令，则令，，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，所以，当时，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以，从而，因为，所以，因为恒成立，所以，故整数k的最大值为3.解法3：即为，也即，设，则恒成立，①当时，，，所以，从而，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意；②当时，，所以在上不能恒成立，不合题意；综上所述，整数k的最大值为3.2．设函数（1）求的极值；（2）若曲线在点处的切线与x轴平行，且当时，恒成立，求整数k的最大值.【解析】（1）由题意，，，当时，，所以在R上单调递减，从而无极值；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值，无极大值.（2）解法1：由题意，，解得：，所以，，从而不等式即为，也即，令，则，且恒成立，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而，故恒成立等价于，设，则，所以在上单调递减，又，，所以在上有唯一的零点且，当时，；当时，，结合k为整数知满足的k的最大值为2.解法2：由题意，，故，所以，，不等式即为，也即，令，则，令，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，从而，当时，，从而，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因为，所以，故，由可得，因为恒成立，所以，结合k为整数知k的最大值为2.解法3：由题意，，所以，故，，从而不等式即为，也即，设，，则恒成立，①当时，，，所以，，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故恒成立，满足题意；②当时，，所以不能恒成立，不合题意，综上所述，整数k的最大值为2.3．已知函数（1）求在上的最小值；（2）当时，恒成立，求正整数k的最大值.【解析】（1）由题意，，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，所以.（2）解法1：当时，等价于，设，则，令，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一零点，且，当时，，所以，当时，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故①又，所以，代入①知化简得：结合可得，因为恒成立，所以，结合k为整数知k的最大值为2.解法2