专题30抛物线的标准方程及几何性质

专题30抛物线的标准方程及几何性质№专题30抛物线的标准方程及几何性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题30抛物线的标准方程及几何性质命题解读命题预测复习建议抛物线的标准方程及其几何性质是高考考查知识点之一，对于抛物线作为圆锥曲线的一个重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及几何性质，在选择、填空和解答中都有可能出现，主要是考查学生的运算能力和数形结合能力。预计2024年的高考抛物线的考查还是以常考查的知识点为主，不会变化很大，主要还是抛物线的方程和几何性质，注重数形结合和分析能力的考查。集合复习策略：1.理解抛物线的定义以及椭圆抛物线的标准方程的形式，准线等；2.掌握椭抛物线的简单几何性质。→➊考点精析←一、抛物线的定义及标准方程1.满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:(1)在平面内;(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;

(3)定点不在定直线上.

2.抛物线的标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离二、椭圆的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点FpF-F0F0离心率e=1准线方程x=px=py=py=p范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下→➋真题精讲←1.（2023全国Ⅱ卷10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.2.（2023北京卷6）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.3.（2023全国乙卷13）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.4.（2023全国甲卷20）已知直线与抛物线交于两点，且．（1）求；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，所以，即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.5.（2023全国Ⅰ卷22）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【小问1详解】设,则，两边同平方化简得，故.【小问2详解】法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则,令，同理令，且，则，设矩形周长为,由对称性不妨设，，则.，易知则令,令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则，故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证.法二：不妨设在上，且，依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得，，则则，同理，令，则，设，则，令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则，，但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.设,根据对称性不妨设.则,由于,则.由于,且介于之间,则.令,,则,从而故①当时,②当时,由于,从而,从而又,故,由此，当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于..【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.→➌模拟精练←1．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（

）A．若过点，则的准线方程为 B．若过点，则C．若，则 D．若，则点的坐标为【答案】D【分析】根据直线与横轴的交点坐标、抛物线的定义，结合平面向量数量积的运算性质、根的一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可.【详解】设，对于A项，若过点，则点的坐标为，所以，故的准线方程为，故A项正确；对于B项，由A可得的方程为，与的方程联立，消去并整理，得，则，，根据抛物线的定义，可得，，．所以，所以，故B项正确；对于C项，将的方程与的方程联立，得，所以，．设，则，所以，即，由得，即，所以，所以，故C正确；对于D项，由C知，，所以焦点，故D错误．故选：D【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.2．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（

）A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、B．抛物线C在点处的切线方程为C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2【答案】ABD【分析】根据抛物线定义判断A，利用导函数与切线的关系求解B，设点，根据点在抛物线上即可求解C，利用抛物线定义结合图形分析得到直线GH与抛物线C相切时t取最大值，即可求解.【详解】A选项：由抛物线C的定义知，解得代入可得，所以P的坐标为、，故A正确；B选项：由得，，切线方抛物线C在点处的切线斜率为，所以切线方程为，故B正确；C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，设正三角形的边长为，则根据对称性可得且点在抛物线上，所以，解得，所以这个正三角形的边长为，故C错误；D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，如图，由抛物线的定义知，当t取最大值时，取最小值，即直线GH与抛物线C相切.设直线HG的方程为，由得，所以，解得，此时，即，所以，故，所以，故D正确.故选:ABD.3．（2023·江苏常州·校考二模）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题知，，设直线为，联立方程，消去得，，然后根据直线与抛物线位置关系，焦点弦性质，韦达定理，求导逐个计算即可.【详解】由题知，，设直线为，联立方程，消去得，所以，由抛物线的定义知，因为，所以，故A错误；又所以，故B正确；又，由上述知，当时等号成立，所以，故C正确；又，由上述知，所以，所以，其中，令，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，故D错误；故选：BC4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为B．的最小值为C．点在抛物线上，且满足，则D．过作两条直线分别交抛物线（异于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为【答案】ACD【分析】对于A：由焦半径公式求出,即可求出C的方程；对于B：设，表示出，利用基本不等式求出的最小值为；对于C：利用几何法求出直线PQ的斜率，得到直线PQ的方程，与抛物线联立后，利用“设而不求法”求出；对于D：设，证明出、满足方程，即可判断.【详解】对于A：设,则,当且仅当时取等号,故,故,故C的方程为,故A正确；对于B：由C的方程为可得：.设.由抛物线定义可得：.而，所以.当时，；当时，（当且仅当，即时等号成立.）所以的最小值为.故B错误；于C：不妨设PQ的斜率为正，如图示：分别过P、Q作PC,QB垂直准线于C、B,过Q作于D.由抛物线定义可得：.因为，不妨设，则.所以在直角三角形中，.由勾股定理得：.所以直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为.与抛物线联立，消去x得：，即.由焦点弦的弦长公式可得：.故C正确；对于D：设，则直线于是，整理得：.又，故有，即,故满足方程.同理可得：也满足方程,所以直线MN的方程为.故D正确.故选：ACD【点睛】解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；（3）巧用定义，简化运算.5．（2023·江苏·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________.【答案】【分析】根据已知条件设出过点P且与抛物线C的相切的方程，联立切线方程与抛物线方程，利用直线与抛物线相切的关系及韦达定理，得出过点的动直线，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】由，得，解得，所以抛物线C：的焦点为.设，过点P作抛物线C的切线方程为，由，消去，得，因为与抛物线C相切，所以，即，设，是方程的两根，则，因为，所以，即，所以所以点在直线上运动，设到直线的距离为d，则，当时，取得的最小值即为点到直线的距离，所以到直线的距离的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出过点的动直线，进而将所求问题转化为点到直线的距离问题，结合点到直线的距离公式求解即可.6．（2023·江苏南通·二模）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.【答案】【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.【详解】如下图所示：不妨设点在第一象限，联立可得，即点易知轴，则轴，则，所以，直线的倾斜角为，易知点，所以，，整理可得，且有，故，等式两边平方可得，即，解得（6舍去）故答案为：.7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）抛物线的焦点坐标是______.【答案】【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为：.8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为_________.【答案】【分析】由抛物线的定义得出是等边三角形，再由定义得出点坐标，进而由距离公式求解.【详解】不妨设点在第二象限，由抛物线定义可得，又，所以是等边三角形．所以，则，则，，则.故答案为：9．（2023·江苏南京·统考二模）已知拋物线和圆．(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到，再根据重要不等式计算可得；（2）设，，，即可得到、的方程，由点到直线的距离公式得到、为方程的两根，即可得到，由可得，由斜率之积为，求出，即可得解.【详解】（1）拋物线的焦点为，准线为，则，设方程为，，，由，消去整理得，所以，，所以，，则，当且仅当时取等号，即的最小值为.（2）设，，，则，，圆的圆心为，半径，所以，则，同理可得，所以、为方程的两根，所以，又，所以，所以，即，解得，所以点坐标为或.→➍专题训练←1．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，所以，，的面积，所以的方程为.故选：A.2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【详解】不妨设，由题可得无解，否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，故，解得.由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.令，不妨，则，又点到直线的距离为，则，解得（舍去）.故选：B3．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为(

).A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，设直线的方程为，.由得，，故，，.，以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，圆心到轴的距离为，故.设的内切圆半径为，由的面积公式得，，即，故.令，则且，所以，因为，所以在上单调递增；当时，.因此的内切圆直径最小值为.故选：B4．（多选）（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（

）A．的准线方程为 B．C．直线的斜率为 D．【答案】CD【详解】由题意可知，，得，则抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故A错误；抛物线的焦点，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，，，则，故B错误，C正确；，得或，当时，，当时，，即，，，故D正确.故选：CD5．（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线的斜率为B．C．的面积不小于的面积D．【答案】ACD【详解】由抛物线，得，准线为.设直线的方程为，即，设，，联立，整理得，则，，所以，.对于A，因为，所以，即，联立，解得，所以直线的方程为，即，即直线的斜率为，故A正确；对于B，由，，所以，则，代入抛物线，得，即，则，，所以，故B错误；对于C，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则，，因为函数在上单调递增，且，所以，故C正确；对于D，，即，即，即，而，即，所以，故D正确.故选：ACD.6．（2023·吉林·统考三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)36【详解】（1）法一：设点，则．由题意知，即，整理得：，则曲线C的方程为．法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，则曲线C的方程为.（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．又OA所在直线为，联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，所以．同理可得，四边形的面积,令，,则,因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．即当时，四边形面积的最小值为36法二：设方程为，由,得．由,得,∴,同理可得：．令,则在上单调递增．∴，当即时，四边形面积的最小值为36即四边形面积的最小值为36．7．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.(1)求的标准方程；(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，点，直线的方