三重积分的计算方法

三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积z分)和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分z1口F(x,y)db，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Q及在xoy面投D影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”z这一步。Rff(x,y,z)dv=口[ff(x,y,z)dz]db。 Dz1c如果先做二重积分fff(x,y,z)db再做定积分j2F(z)dz，就是“截面法”，也Dc

z 1即“先二后一”。步骤为：确定。位于平面z=%与2=c2之间，即zG[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截Q，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分fff(x,y,z)db，完成了“先二”这一步(二重积分)；Dzc进而计算定积分f2F(z)dz，完成“后一”这一步。c1cffff(x,y,z)dv=f[fff(x,y,z)db]dz。当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y。 ciD无关)，且Dz的面积b(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。z为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域。投影到xoy面，得投影区域。(平面)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当。的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2+y2),f(y)时，可选择柱面坐标系x计算(当。为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3)。是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2+y2+z2)时，可选择球面坐标系计算。对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Q及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一〉Dz是。在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算f。因而。中只要zG[a，气且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。对坐标系的选取，当。为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2+y2)时，可考虑用柱面坐标计算。历年真题1、计算三重积分1=川zdxdydz，其中。为平面x+y+z=1与三个坐标面。x=0,y=0,z=0围成的闭区域。【解析】“投影法”(1)画出。及在xoy面投影域D.(2)“穿线”°-z-1—x—yX型X型(3)1 1(3)1 1-x1-x—yI=JJJzdxdydz=JdxJdyJzdz=1dx1Jx!(1-x-y)2dy=顼^—x)2y-(1-x)y2+^y3]}

0 02 20 312411 1 30^1124=_r（1-x）3dx=—[x_—x2+x3__x4]60 6 2 4“截面法”(1)画出Q。(2)ze[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截Q得Dz。Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x=1-z,y=1-z（3）计算TOC\o"1-5"\h\z1 1 1I=jjjzdxdydz=j[jjzdxdy]dz=jz[jjdxdy]dz=jzS。dz

Q 0 D 0D 0z11一11 1 1 1=jz（_xy）dz=jz（1一z）（1一z）dz=j（z一2z2+z3）dz=-02一02 20 242、计算jjj<x2+y2dv，其中。是x2+y2=z2和z=1围成的闭区域。【解析】“投影法”z=x2+2y2得x2+y2=1艮口D：x2+y得x2+y2=1艮口D：x2+y2<1（2）“穿线”％'x2+y2<z<1，[-1<x<1X型D：{, . 、-J1-x2<y<J1-x2'-1<x<1。:<-侦1-x2<y<J1-x2（3）计算:S1 1:S1 1—xx2+y2dv=jdx j。 Tfl—x21dy j<x2+y2\.«^T7dz=jdxq己T_、1—x2vx2+y2(1-px2+y2)dy=.“截面法”（1）画出Q。 （2）ze[0,1]“截面法”（1）画出Q。 （2）ze[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截Q得Dz:x2+y2<z2「0<0<2兀Dz:二z0<r<z「0<0<2丸用柱坐标计算 Q」0<r<z0<z<1（3）计算12兀 z 1 1 2 1 兀j[jd0jr2dr]dz=j2兀[_r3]gdz=—兀jz3dz=—00 0 0 3 3 0 61jj"'x2+y2dv=j[jjvx2+y2dxdy]dz=Q 0D 00 0 0z3、化三重积分I=jjjf(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中Q:Qz=x2+2y2及z=2—x2所围成的闭区域。【解析】(1)画出Q及在xoy面上的投影域D.z=x2+2y2由z=2-x2 消去z，得x2+y2T即D：x2+y2<1（2）“穿线”x2+2y2<z<2-x2x型d"1M —•、T‘1-x2<y<』-x2-1<x<1O:<-J1-X2<y<J1-x2x2+2y2<z<2-x21 \-1—x2 2—x2(3)计算I=川f(x,y,z)dxdydz=\dx\dy\f(x,y,z)dz。 -1-q-x2 x2+2y24、计算川zdv，其中Q为z=6-x2-y2及z=tx2+y2所围成的闭区域。Q【解析】“投影法”(1)画出。及在xoy面投影域D，用柱坐标计算x=rcos0由<y=rsin0 化。的边界曲面方程为：z=6-r2，z=rz=zz=6-r2" 八〔0<0<2兀⑵解( 得r=2.・.D：r<2即｛z=r 0<r<20<0<2兀“穿线” r<z<6-r2 。」0<r<2TOC\o"1-5"\h\z… 2r<z<6-r2⑶计算6—r2一 2兀 2 6-r2 6—r2Dr2=丸jr[(6-r2)2-r20 0“截面法”jjjzdv=jj[jzdz]rdrd0=jd0jrdrjzdz=2Dr2=丸jr[(6-r2)2-r20 0“截面法”_ 2 92]dr=丸j(36r-13r2+r5)dr=丸。⑴画出。。如图：。由z=6-r2及z=r围成。(2)zg[0,6]=[0,2][2,6]。=。1+。2。1由z=r与z=2围成；zg[0,2],Dz:r<z『0<0<2丸Q1:<0<r<z0<z<2Q2由z=2与z=6-r2围成；ze[2,6],Dz:r<v6-z『0<0<2兀Q2:<0<r<顼6-z2<z<6⑶计算2 6jjjzdv=jjjzdv+jjjzdv=jz[jjrdrd0]dz+jz[jjrdrd0]dz。 。10Dzi2Dz26dz+jzSDz12z22 6r/： 2 6dz=jz[丸(z2)]dz+jz[丸(％.6—z)2]dz=丸jz3dz+丸j(6z—z2)dz=0 2 0 292——丸35、计算JJJ(x2+y2)dv其中。由不等式0<a<匕x2+y2+z25、计算JJJ(x2+y2)dv确定。【解析】x=pcos0sin。用球坐标计算。由<y=psin0sin。得。的边界曲面的z=pcos0球坐标方程：a<p<APe。，连结OP=p，其与z轴正向的夹角为0,OP=p。P在xoy面的投影为P'，连结OP'，其与x轴正向的夹角为0。.•.。:a<p<A,0<0<2,0<0