医学统计学 第五章

第五章正态分布

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zhimaobai@163.com5.1随机变量的概率分布个体间的变异总是客观存在的，且受事物内部客观因素的支配，因此，尽管个体变量值具有随机性，但其变量值的分布是有一定规律的随机变量随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量取不同随机变量值的概率按随机变量值的分布称为随机变量的概率分布

概率分布是统计学赖以发展的理论基础分布函数和密度函数1.分布函数F(X)

即总体中个体值小于或等于X的观察值所占的比例2.密度函数f(X)

5.2正态分布(高斯分布)频数分布曲线频率分布曲线由于频率的总和等于100％或1，故横轴上曲线下的面积等于100％或1正态分布又称Gauss分布(Gaussiandistribution)，是一种最重要的连续型分布，很多医学现象服从或近似服从正态分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大，这个指标服从正态分布。5.2.1正态分布的定义若随机变量的密度函数是：

则称随机变量X服从正态分布，X为正态变量。式中右侧μ为随机变量X的总体均数，σ为标准差，μ和σ是正态分布的两个参数；π为圆周率，e为自然对数的底。π和e均为常量，仅X为变量。若X服从均数为μ，方差为σ2的正态分布，则简记为

总体均值为零，标准差为1的正态分布称为标准正态分布，记作5.2.2正态分布的性质

正态分布只有一个高峰，高峰位置在X=μ

正态分布以均数为中心，左右对称正态分布的两个参数μ和σ决定了分布的位置和形状。其中μ是位置参数，当σ恒定时，μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。σ是变异度参数，当μ恒定时，σ越大，表示数据越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，表示数据越集中，曲线越“瘦高”。服从标准正态分布不同均数时的正态分布示意图不同标准差时的正态分布示意图5.2.3正态曲线下面积的分布规律估计当资料服从正态分布时，某区间的例数占总例数的百分数，或变量值落在某区间的概率F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度自-∞到X的面积Φ(u)为标准正态变量u的累计分布函数例5.1求标准正态分布曲线下区间(-∞,1.96)的面积例5.2求标准正态分布曲线下区间的面积与区间的面积。例5.3求标准正态分布曲线下区间的面积例5.4求正态分布N(119.41,4.382)曲线下区间（110.83，127.99）内的面积。5.2.4正态分布的应用概括估计变量值的频数分布

某些医学现象服从正态分布或近似服从正态分布如同性别、同年龄儿童的身高，同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白量、脉搏数等，以及实验中的随机误差对正态分布的资料，只要求得均数和标准差，便可以就其频数分布做出大概估计例5.5在例1.1中，某地120名7岁男童的身高，已知均数=119.41cm，标准差s=4.38cm，试(1)估计该地7岁男童身高在110cm以下者占该地7岁男童总数的百分数。(2)分别求=±1s，±1.96s，±2.58s范围7岁男童人数占该组儿童总数的实际百分数，说明与理论百分数是否相近。很多医学资料是呈偏态分布的，有的经过变量变换可转换为正态分布如环境中某些有害物质的浓度，食品中某些药物的残留量，某些临床检验结果，某些疾病的潜伏期以及医院病人住院天数等，都呈偏态分布，不便作统计处理，常在施以变换后，如果能转换为正态分布，亦可按正态分布规律处理。2.制定参考值(正常值)范围

参考值范围(referenceranges)，又称正常值范围(normalranges)，是指绝大多数正常人的某指标范围。它来源于临床上对疾病诊断和治疗的实际需要，系指正常人的解剖、生理、生化等各项指标观察值的波动范围。

现代医学对正常值的概念有了较大的发展：如卫生学上对食品、空气、水、化妆品等的卫生标准的制订；流行病学中某传染病隔离期限的确定；在儿少卫生中不同性别、年龄儿童的各项生长发育指标的等级标准的确定；动物实验中标准动物的确定等等；确定正常值范围的一般原则和步骤

（1）抽取足够例数的正常人样本

正常人：并不是指机体的任何器官、组织的形态和机能都是正常的人，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的人（2）对选定的正常人进行准确而统一的测定

保证原始资料可靠，是确定正常值范围的前提

（3）决定取单侧范围值还是双侧范围值正常值范围是取单侧还是双侧需根据指标的实际用途来确定

（4）选定适当的百分范围绝大多数，习惯上指正常人的80％，90％，95％（最常用）或99％等。例如，根据正常人样本确定了血清谷草转氨酶正常值单侧95％上限为37U/L。即容许有5％的正常人被判为异常，称为假阳性（5）估计界值即根据资料的分布类型，样本含量的多少及研究者的要求，选用适当的方法，确定正常值范围的界值。

（2）制定参考值范围的方法正态分布法:

用本法的条件是资料服从正态分布，样本均数和标准差趋于稳定，样本含量不少于50为宜。亦可用于经变量变换后服从正态分布的资料，如对数正态分布