贵州省2023届高三数学上学期3+3+3高考备考诊断性联考一文试题含解析

贵州省2023届高三数学上学期3+3+3高考备考诊断性联考（一）（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数值域得，再根据交集的含义即可得到答案.【详解】根据指数函数值域可知，表示的集合为，故选：C.2.复数，则（）A. B. C.2 D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数运算规则计算即可.【详解】，；故选：C.3.某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，据统计该公司销售收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A.该地区2021年的销售收入是2019年的4倍B.该地区2021年的医疗产品收入比2019年和2020年的医疗产品收入总和还要多C.该地区2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍D.该地区2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍【答案】D【解析】【分析】设该地区2019年销售收入为，则由销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，所以该地区2020年销售收入为，该地区2021年销售收入为，然后逐项分析即可.【详解】设该地区2019年销售收入为，则由销售收入（包含医疗产品收人和其他收入）逐年翻一番，所以该地区2020年销售收入为，该地区2021年销售收入为，选项A：该地区2021年的销售收入是2019年的4倍，故选项A正确；选项B：由图可得该地区2021年的医疗产品收入为，该地区2019年的医疗产品收入为，该地区2020年的医疗产品收入为，由，故选项B正确；选项C：该地区2021年的其他收入为，2020年的其他收入为，所以该地区2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍，故选项C正确；选项D：该地区2021年的其他收入为，2019年其他收入为，所以该地区2021年的其他收入是2019年的其他收人的12倍，故选项D不正确.故选：D.4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先还原几何体，并得到最长侧棱，根据线面角的定义，求线面角的正切值.【详解】如下图，还原几何体，其中平面，底面为矩形，，，，侧棱，，,，所以最长的侧棱是,与底面所成的角是，故选：C5.已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，若该双曲线过点，则它的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据渐近线设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，该双曲线过点，则，故双曲线方程为，故选：A6.若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则实数m的值为（）A1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域,利用三角形面积公式，选择同一条边为底，高为一半即可.【详解】如图所示，不等式组所表示的平面区域为，为的中点，解得：、、、，此直线过定点.只要直线过点，就可以将分成面积相等的两部分.设直线的斜率为，则，即，解得.故选：A.7.已知直线与圆，则下列说法错误的是（）A.对，直线恒过一定点B.，使直线与圆相切C.对，直线与圆一定相交D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为【答案】B【解析】【分析】首先求出直线过定点，则可判断A，求出圆心，，则，根据点在圆内，则直线与圆一定相交，故可判断B,C，对D选项，分析出时弦长最短，则，代入数据计算即可.【详解】直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A正确；圆，即圆，圆心，半径，则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，故C正确，当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确，故选：B.8.以下关于的命题，正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.直线是函数图象一条对称轴C.点是函数图象的一个对称中心D.将函数图象向左平移个单位，可得到的图象【答案】D【解析】【分析】根据三角函数恒等变换化简为，计算出，根据正弦函数的单调性，可判断A;采用代入验证的方法可判断;根据三角函数的平移变换可得平移后的函数解析式，判断D.【详解】由题意得，当时，，由于函数在不单调，故函数在区间上不是单调递增函数，A错误；当时，，故直线不是函数图象的对称轴，B错误；当时，，故点不是函数图象的对称中心，C错误；将函数图象向左平移个单位，可得到的图象，D正确，故选：D9.在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A10.小明家订了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之间把牛奶送到小明家，小明出门去上学的时间在早上6：50~7：10之间，则小明在离开家之前能得到牛奶的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设送奶人到达时间为，小明出门去上学的时间为，则可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得结果.【详解】设送奶人到达时间为，小明出门去上学的时间为，记小明在离开家之前能得到牛奶为事件，以横坐标表示送奶人到达时间，以纵坐标表示小明出门去上学的时间，建立平面直角坐标系，小明在离开家之前能得到牛奶的事件构成的区域如图所示：由于随机试验落在长方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明在离开家之前能得到牛奶，即事件发生，所以，故选：.11.已知符号函数，函数满足，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到A错误，根据周期计算得到B错误，根据定义计算C正确，取，得到D不正确，得到答案.【详解】对选项A：，错误；对选项B：，函数周期为，，错误；对选项C：，正确；对选项D：取，，，不正确.故选：C12.已知直线l与曲线相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若的面积为，则点P的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，写出切线方程，求出点A，B的坐标，表示的面积函数，求面积函数与直线有几个交点.【详解】设直线l与曲线相切于，又，所以直线l的斜率为，方程为，令，；令，,即，.所以.设，则.由，解得或；由，解得.所以在，上单调递增，在上单调递减.，，，，且恒有成立，如图，函数与直线有3个交点.所以点P的个数为3.故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，若，则___________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示可求出结果.【详解】因为，所以，，因为，所以，解得.故答案为：.14.153与119的最大公约数为__________．【答案】17【解析】【详解】因为，所以153与119的最大公约数为17.答案：1715.若，则a的值为___________．【答案】1【解析】【分析】利用对数的运算性质分别对分子分母化简即可得到结果.【详解】原式.故答案为：116.如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意找出点Q的轨迹围成图形为正六边形即可求解.【详解】如图，取的中点分别为，则点Q的轨迹围成图形为正六边形，且边长为面对角线的一半，即，所以点Q的轨迹围成图形的面积为，故答案为:.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．组别分组频数频率第1组140.14第2组m第3组360.36第4组0.16第5组4n合计（1）求m，n，x，y的值；（2）求中位数；（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布表可求得，根据频率分布直方图中的含义即可求得其值；（2）根据频率分布直方图，利用中位数的估计方法，可计算得答案；（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，确定每组中的人数，列举从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动的所有基本事件，列举出抽到的2人均来自第四组的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知,第四组的人数为，故，；又内的频率为，∴；∵内的频率为，∴.【小问2详解】由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，前三组频率之和为，故中位数为：.【小问3详解】由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，设第4组的4人分别为，第5组的1人分别为A,则从中任取2人，所有基本事件为：共10个，又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，故抽到的2人均来自第四组的的概率为.18.已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．【答案】（1）（）（2）5【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.【小问1详解】因为是与的等比中项，所以，则由题意得：，即，解得：或，因为数列是递增的等比数列，所以，即，，所以，故数列的通项公式为（）.【小问2详解】由（1）得：（），则，①即，②则得：即（），所以（），设，则（），因为在上单调递减，所以是单调递减数列，又有，，所以当且时，成立，故使成立的最大正整数的值为.19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求点D到的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直及面面垂直的判定定理可得结果；（2）根据等体积法即可求得点到平面的距离.【小问1详解】在中,，，∴，∵平面,平面，∴.又∵,平面，∴平面，又，∴平面，又平面，所以平面平面【小问2详解】由（1）知平面，，，∴为二面角的平面角，∴.在中,，所以，，设点D到的距离,由，有，即，解得.即点D到的距离为20.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求【小问1详解】由条件可知，，解得：，，所以椭圆C的方程是；【小问2详解】假设在轴上存在点，使且，联立，设，，方程整理为，，解得：或，，，则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，即中点坐标，，则，即，化简为，①又,则，，整理为，，化简为②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.当时，，当时，，满足，所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.21.已经函数．（1）求函数的单调性；（2）若，求当时，a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据两种情况讨论.(2)求出，首先证明只需要求即可.【小问1详解】(1)时，，所以在单调递增.(2)时，时，时所以在单调递减，在单调递增.综上：时在单调递增时在单调递减，在单调递增小问2详解】，要求，即求设，则，当，所以在上单调递增，在单调递减，所以即设，，，所以在单调递减，在单调递增，故当且仅当时成立.所以当且仅当即当且仅当时等号成立，，又因为所以，所以.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂題题目的题号一致，在答题卡选答区城指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值．【答案】（1）直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和，可得直线的直角坐标方程；（2）设射线方程为（），将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，并将代入可得，将代入可得，再利用辅助角公式可求出的最大值.【小问1详解】由，得，即,所以曲线的直角坐标方程为：.由，得，得，即，将