15第十五章分析静力学课案

第十五章分析静力学

分析静力学主要研究受约束的质点、质点系、刚体、刚体系在力系作用下的平衡规律。是研究平衡问题的最一般的原理。

在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题，称为矢量静力学。

与分析力学的另一个原理，达朗伯原理相结合，就可以将静力学的结论扩展到动力学领域。2023/10/41理论力学CAIW1FW2F

如何确定升降机液压油缸的推力F与载荷的关系？2023/10/42理论力学CAIoF2F1ab虚位移原理的思想：几何静力学的平衡方程2023/10/43理论力学CAIoF2F1ab功能原理的方程利用动能定理得到与几何静力学同样的平衡条件，即用动的方法来处理静的问题。2023/10/44理论力学CAI15.1虚位移和虚速度1.位形空间和约束曲面质点系内各质点的3n个坐标的集合，定义为质点系的位形。建立抽象的3n维正交欧氏空间〔x1,x2,…x3n),称为质点系的位形空间。质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束方程表示，那么称为几何约束或完整约束。约束－物体运动所受到的限制。2023/10/45理论力学CAI

定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：2023/10/46理论力学CAI定常约束——约束条件不随时间改变的约束。x2+y2=l22023/10/47理论力学CAI非定常约束如果转子的转动规律(例如以等角速度旋转)，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：这种约束即为非定常约束。

2023/10/48理论力学CAI双侧约束与单侧约束双侧约束——约束方程可以写成等式的约束。

单侧约束——约束方程写成不等式的约束。2023/10/49理论力学CAIByxO双侧约束与单侧约束ByxO只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。滑块B2023/10/410理论力学CAIyxOAA0lyxOAA0l单摆2023/10/411理论力学CAI完整约束与非完整约束

完整约束——约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束——约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。2023/10/412理论力学CAI圆轮在平面上纯滚动圆轮所受约束为完整约束。COyxC*约束方程2023/10/413理论力学CAI追踪系统OyxvAABxAyAxByB约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。2023/10/414理论力学CAI

对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系统的自由度数。

对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。

在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、双侧、完整约束的情况。2023/10/415理论力学CAI2.可能位移、实位移和虚位移满足约束方程的无限小位移称为质点系的可能位移。质点系实际发生的微小位移称为实位移。

在约束允许条件下，各质点可能发生的与时间变化无关的位移，称为质点系的虚位移。2023/10/416理论力学CAI虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号

表示虚位移。2023/10/417理论力学CAI

实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移那么是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。

实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。实位移和虚位移2023/10/418理论力学CAI在定常约束下，虚位移就是可能位移，就是实位移。而在非定常约束下，虚位移不一定等同与可能位移。2023/10/419理论力学CAI凡约束力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零的约束，称为理想约束。质点系受有理想约束的条件：§15.2虚位移原理1.理想约束2023/10/420理论力学CAI理想约束：1、光滑面约束2、铰链约束3、圆轮在平面上作纯滚动2023/10/421理论力学CAI

2.虚功原理受定常理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件为：系统内所有主动力对质点系的任意虚位移所作的元功之和等于零。2023/10/422理论力学CAI3.虚功率原理

受定常理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件为：系统内所有主动力对质点系的任意虚速度所作的元功率之和等于零。2023/10/423理论力学CAI

虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在主动力作用下的平衡位置；3、求平衡系统的约束反力；4、求平衡结构系统内二力杆的内力。2023/10/424理论力学CAI建立系统主动力之间的关系2023/10/425理论力学CAI例图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力F1和F2作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。2023/10/426理论力学CAI

1.分析法2023/10/427理论力学CAI2.虚功率原理：2023/10/428理论力学CAI机构如图，：OA=O1B=L，O1BOO1，力偶矩M。试用虚位移原理求图示位置平衡时，力F的大小。由虚位移原理有2023/10/429理论力学CAI取A为动点，摆杆为动系2023/10/430理论力学CAI以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。假设系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，那么系统又是理想约束系统，可选为研究对象。应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤1、正确选取研究对象：假设要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。2023/10/431理论力学CAI

2、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。2023/10/432理论力学CAI图示机构在重物W及弹簧约束下处于平衡，杆长L，弹簧系数为

k，原长为b。不计杆重，求平衡条件。2023/10/433理论力学CAI求支座B的约束力

2023/10/434理论力学CAI2023/10/435理论力学CAI2023/10/436理论力学CAI2023/10/437理论力学CAI2023/10/438理论力学CAI求1、2、3杆的内力

2023/10/439理论力学CAI2023/10/440理论力学CAI2023/10/441理论力学CAI求多跨静定梁的A支座约束力BG=GC=CD，AB=DE=2BG2023/10/442理论力学CAI例多跨静定梁，求支座A处反力。2023/10/443理论力学CAI解：将支座A除去，代入相应的约束力F

A。2023/10/444理论力学CAI2023/10/445理论力学CAI匀质圆轮O，半径为R，重W，匀质直杆AB长，重W，不计滑块B重量，试用虚位移原理求解图示系统在力偶M作用下位于图示位置平衡时的铅垂力F。2023/10/446理论力学CAI圆盘重力不做虚功2023/10/447理论力学CAIFExFBD平面平衡结构，力F，平面力偶m，AB＝L，BC＝2L，CD＝ED，BD为水平，不计自重及摩擦。求：〔1〕BD杆内力；〔2〕铰链E处的水平约束力。2023/10/448理论力学CAI解：1、切断BD杆，代之以内力分析力作用点的虚速度之间的关系2023/10/449理论力学CAI2023/10/450理论力学CAI2、解除铰链E处水平约束，代之水平约束力分析力作用点的虚速度之间的关系2023/10/451理论力学CAI图示平面平衡系统，AB＝1.5L，BD＝DE＝L，AB、DE处于水平位置。F作用在DE中点，q为均匀载荷，滑块E与接触面的摩擦系数为0.7，不计所有刚体的重量。求：固定端A处的约束力。2023/10/452理论力学CAI1.解除水平约束，代之水平约束力。分析力作用点的虚速度之间的关系设E点不动，确定B、D点的虚速度2023/10/453理论力学CAI2023/10/454理论力学CAI2.解除垂直约束，代之垂直约束力。分析力作用点的虚速度之间的关系设E点不动，确定B、D点的虚速度2023/10/455理论力学CAI2023/10/456理论力学CAI3.解除转动约束，代之转动约束力偶。分析力作用点的虚速度之间的关系设E点不动，确定B、D点的虚速度2023/10/457理论力学CAI2023/10/458理论力学CAI7.用广义力表示的质点系平衡条件广义坐标

第i个质点的矢径

选择

f个广义坐标q1q2····qf

以确定系统内各个质点的位置。第i个质点的虚位移2023/10/459理论力学CAI主动力的虚功用广义坐标表示为Qj称为与第j个广义坐标qj对应的广义力。2023/10/460理论力学CAI虚位移原理的另一种表达形式虚功形式虚功率形式2023/10/461理论力学CAI用广义力表示的质点系平衡条件为受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。具体计算广义力有三种方法2023/10/462理论力学CAI〔1〕公式法2023/10/463理论力学CAI当时，则广义力为：〔2〕虚功法2023/10/464理论力学CAI当时，则广义力为：虚功率法2023/10/465理论力学CAI系统有几个自由度？2023/10/466理论力学CAI自由度15-13=22023/10/467理论力学CAI2023/10/468理论力学CAI在图示机构中，：匀质细杆AC和BC长均为L，质量均为m。假设在滑块B处作用一水平常力。试用虚位移原理求系统的广义力。2023/10/469理论力学CAI系统自由度为1，取q

为广义坐标。2023/10/470理论力学CAI图示结构位于铅垂面内，由有相同的匀质细杆组成。：杆长均为L，质量均为m，作用两力偶矩均为M的力偶。试用虚位移原理求系统的广义力。2023/10/471理论力学CAI自由度为2，取j

和y

为广义坐标。2023/10/472理论力学CAI2023/10/473理论力学CAI平面机构，在力F、力偶M1、M2作用下，在图示位置平衡，设OA=r，处于垂直，CD与OA平行，不计自重。假设M1，试用虚位移原理求M2与F的大小。2023/10/474理论力学CAI解：1.先使CD杆不动，那么C点的虚速度为零。2023/10/475理论力学CAI

2023/10/476理论力学CAI2.先使OA杆不动，那么A点的虚速度为零。2023/10/477理论力学CAI15.3

势力场中质点系的平衡条件及稳定性如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力，其势能函数可以表示为广义坐标的函数将广义力的表达式写成分量的形式1.势力场中质点系的平衡条件2023/10/478理论力学CAI2023/10/479理论力学CAI势力场中的广义力

势力场中，对应于第

j个广义坐标qj的广义力等于系统势能对这一广义坐标的偏导数的负数。2023/10/480理论力学CAI势力场中质点系平衡的充要条件为：质点系在平衡位置处势能取