等式性质与不等式性质课件高一上学期数学人教A版2

必修第一册等式性质与不等式性质01课堂导入上节课，我们从两个实数大小关系的基本事实出发，初步学习了不等式的基础知识，明白不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们也重点强调了运用作差法解不等式的基本步骤。问题1

请回忆一下，等式都有哪些性质？等式具有许多性质，其中：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的仍是等式。那我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？01等式的性质性质1：（对称性）性质2：（传递性）性质3：（可加性）性质4：（可乘性）性质5：追问1

你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？相等关系的自身特征运算中的不变性自身特性和运算中的不变性就是性质。02不等式的性质问题2类比等式的基本性质中的“自身特征”，你能猜想并证明哪些不等式的基本性质？追问2

初中我们通过特殊到一般的思想方法，归纳过一些不等式的性质，那高中我们又将怎么来研究不等式的性质呢？类比等式的性质及蕴含的思想方法。追问1

你打算怎么证明性质1？性质1（自反性）

如果a＞b，那么b＜a；

如果b＜a，那么a＞b。

即:a＞b⟺b＜a利用作差法。02不等式的性质证明：追问2

此性质与等式性质有何异同？追问3

类比等式性质2，能得出什么结论？追问4

如何利用作差法证明性质2？不等号具有方向性性质2（传递性）

如果a＞b，b＞c，那么a＞c；

即：a＞b，b＞c⟹a＞c。02不等式的性质追问1

如何用文字语言表达性质3？追问2

我们知道两个实数的大小关系可以形象的在数轴上表示，你能从几何意义的角度对其加以解释吗？问题3“以运算中的不变性”为指导，类比等式基本性质3和4，你能猜想并证明哪些不等式的基本性质？性质3（可加性）

如果a＞b，那么a+c＞b+c。不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.“+c”的意义：把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，但左右位置关系不变。不等式的性质02性质3（可加性）

如果a＞b，那么a+c＞b+c。追问3

你能从性质3中得到什么推论？a+b＞c⟹a+b+(-b)＞c+(-b)⟹a＞c-b这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.不等式的性质02性质4（可乘性）

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc;

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc。问题4不等式的两边同乘一个符号为什么要分类讨论？要判断ac与bc的大小关系，即要判断ac-bc=(a-b)c与0的大小关系，由a-b＞0，(a-b)c的正负由c的正负决定，所以要分类讨论。不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。追问1你能试着用文字语言描述性质4的特征吗？不等式的性质02问题5由性质3，若不等式两边同时加不同的实数，我们还能得到相同的不等关系吗？对加的两个不同的实数有什么限制条件？追问1你能想出几种证明方法？①由a＞b和性质3，得a+c＞b+c;

由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.

再根据性质2，得a+c＞b+d.②利用作差法性质5（同向可加性）

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d。不等式的性质02问题6在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数，如果乘不同的实数，你有何结论？追问1在不等式的基本性质中，两边同乘一个数不具有保号的性质，我们要如何修改使其正确？

如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd？性质6（同向同正可乘性）

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd。追问2如果性质6中，a=c，b=d，会有什么结论？

如果a＞b＞0，那么a2＞b2。不等式的性质02

问题7由a＞b＞0，那么a2＞b2，你能推广得到什么结论？性质7（乘方法则）如果a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N,n≥2)

问题8通过对比等式与不等式的性质，你能发现其中的共性和差异吗？等式与不等式都具有自身特性以及运算中的不变性和规律性，不等式的性质是通过类比等式的性质得到的，但不等号具有方向性，在自反性和同乘负数时需要进行变号。不等式的性质02

通过类比和推广我们得到不等式的性质如下：性质1（自反性）

a＞b⟺b＜a性质2（传递性）

a＞b，b＞c⟹a＞c。性质3（可加性）

如果a＞b，那么a+c＞b+c。性质4（可乘性）

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc;

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc。性质5（同向可加性）

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d。性质6（同向同正可乘性）

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd。性质7（乘方法则）如果a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N,n≥2)类型一

利用不等式性质证明不等式类型一

利用不等式性质证明不等式③

××√××练习类型一

利用不等式性质证明不等式类型一

利用不等式性质证明不等式类型二

利用不等式性质求取值范围类型二

利用不等式性质求取值范围

设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是(

)A．x2＜ax＜a2

B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞axB【解