哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案#/5高等数学期末考试试题(4)一、填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上)1、已知向量a、b满足M+b^Q，\a\=2，网=2,则展B=.S3z2、设z=xln(xy)，贝U = .SxSy23、曲面x2+y2+z=9在点(1,2,4)处的切平面方程为.4、设f(x)是周期为2兀的周期函数，它在［-兀，兀)上的表达式为f(x)=x，则f(x)的傅里叶级数在x=3处收敛于，在x=兀处收敛于.5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则J(x+y)ds=.L※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)2x2+3y2+z2=91、求曲线( 在点M(1,-1,2)处的切线及法平面方程.z2=3x2+y2 02、求由曲面z=2x2+2y2及z=6-x2-y2所围成的立体体积.3、4、判定级数£(-1)nln3、4、n=1x Sz S2z设z=f(盯,y)+SI”，其中于具有二阶连续偏导数'求出’砺♦

5、计算曲面积分11竺,其中£是球面X2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部.z£三、(本题满分9分)抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.四、(本题满分10分)计算曲线积分1(exsiny-m)dx+(excosy一mx)dy,L其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax(a>0).五、(本题满分10分)Exn ,,--的收敛域及和函数.3n•nn=1六、(本题满分10分)六、计算曲面积分I=112x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy,£其中£为曲面z=1-x2-y2(z>0)的上侧.七、(本题满分七、(本题满分6分)设f(x)为连续函数，f(0)=a,F(t)=111[z+f(x2+y2+z2)]dv，其中。t是由曲面z=Jx2+y2Qt. - F(t)与z=tt2-x2-y2所围成的闭区域，求hm -0+t32012高等数学期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准2009年6月一、填空题参考解答与评分标准2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】1、—4;2、1 一——；3、2x+4y+z=14；y24、30； 5、＜12。二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对工求导，得131、解：方程两边对工求导，得13ydy+z生=-2x

dxdxdydzy———z——=—3xdxdxdy从而d二5x4ydz7xdx 4z。【4】该曲线在（该曲线在（1，—1,2）处的切向量为了二0，7,3）=—（8，10，7）-48 8【5】故所求的切线方程为8 10 7。。【6】法平面方程为8(x—1)+10(y+1)+故所求的切线方程为8 10 7。。【6】法平面方程为8(x—1)+10(y+1)+7(z—2)=0即8x+10y+7z=12。。【7】2、解:1z=2x2+2y2nx2+y2=2,该立体Q在xOy面上的投影区域为D:x2+y2<2 【2】z=6—x2—y2 xy故所求的体积为V=J11dv=12nd。卜2pdpj6—p2dz=2兀J-2p(6—3p2)dp=6兀。。⑺002p23、解：由limnu=limnln(1+—)=limln(1+1)n=1>0,知级数£|u发散

n【3】n=1又Iu1=ln(1+—)>ln(1+)=|un+1|,lim|u|=limln（1+L=0.故所给级数收敛且条件收敛.【7】4、解：4、解：g=(ffy+于；y)+°=yf:+2【3】x1 1 x 1x1 1 x 1=f+y[f〃-x+/〃•(一二)]——ff+—"〃・x+/〃.(—二)]=f+xyf〃——1 11 12y2y2 2y2122y2 1 11 y2J.【7】225、解：E的方程为z=aa2—x2—y2,E在xOy面上的投影区域为D={(x,y)|x2+y2<a2—h2}.xy【3】+z2+z2=aUa2—x2—y2，…。【3】JJdS_JJadxdy故za2—xJJdS_JJadxdy故za2—x2—y2 0 0a2—p2S Dxyc1一_2兀a—-ln(a2—p2)"、a2—h2 a_2兀aln 。.【7】h0三、【9分】解:设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点m到原点的距离为d=口2+y2+z2……【1】令L(x,y,z)_x2+y2+z2+九(z-x2—y2)+目(x+y+z-1),L_2x—2九x+目=0xL_2y—2九y+日二0 一y —1±J3L_2z+九+目=0,解得x_y_,z 2z_x2+y2x+y+z_1z=2不.于是得到两个可能极值点,2-⑼，M2(甘-1丁,2+⑼.【7】TOC\o"1-5"\h\z故d_|OM|_J9+573,d_|OM|_J9—573.……【9】max 2 min 1四、【10分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得I_)2 _L+OAQx^siny—m)dx+(excosy—mx)dy_—mJJdoI_)2 _L+OAD【5】 【8】「.J(exsiny—m)dx+(excosy—mx)dy=I—I兀_ma——ma2.1 8【10】五、【10分】解：P_limn【5】 【8】「.J(exsiny—m)dx+(excosy—mx)dy=I—I兀_ma——ma2.1 8【10】五、【10分】解：P_limn一8a—n+1an_lim(n3b _1nR_3，收敛区间为(—3,3) neln+u3n+1 3【2】又当x_3时，级数成为£」,发散；当x_—3时，

nn_1级数成为n_1(-1)nn，收敛 【4】故该幕级数的收敛域为［—3,3) 【5】令s(x"£高n_1(|x|<3)【8】£x(|x|<3)【8】S(x)=乙_-乙(―)n—1_ _ 3n 3 3 31—x/33—xn_1 n_1于是s(x)—J*sf(x)dx—Jx*——ln(3—x)

0 03—xX=ln3-In(3-x),(-3<x<3)0 ，【10】六、【10分】解：取£］为工―0(X2+)2<1)的下侧，记£与£］所围成的空间闭区域为o，则由高斯公式，有乩2x3dydzy2y3dzdx+3(z2—1)dxdy—JJJ6(x2+y2+z)dvS+S1 o【5】—6J2汽deJ1dpJ1-p2(p2+z)ddz—2兀…000而I—JJ2x3dydz+2)3dzdx+3Q2—1)dxdy—JJ3Q2—1)dxdy—3JJdxdy—3兀1£i【9】I—I—I—2兀一3兀=—兀.2 1【10】七、【6分】解:f(t)-J2兀deJ4sin