江西省上饶市2022-2023学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

上饶市20222023学年度下学期期末教学质量测试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，与在本试卷上无效.3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的概念，即可求得答案.【详解】因为与互为共轭复数，所以，，所以，故选：C.2.已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.【详解】由已知得，.故选：D.3.设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】由平行于同一直线的两平面的位置关系判定；由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析；由直线与平面垂直的性质判断；由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析．【详解】解：若，，则或与相交，故错误；若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误；若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故正确；若，，则或，故错误．故选：．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．【详解】因为，平方得，又故，则．故选：B.5.双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则五桂塔的高度是（）A.10米 B.17米 C.25米 D.34米【答案】B【解析】【分析】设，进而可得，，由余弦定理得：，可求．【详解】设米，在中，，，则，在中，，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故选：B.6.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称【答案】A【解析】【分析】根据图象，求出函数的周期，即可得出，结合函数过点，即可得出的值从而得出，根据正弦函数的性质依次判断选项即可.【详解】由已知图象可得，所以，，由图象过点，由“五点法”可得，，所以，.因为，所以，，故B项错误；，故A项正确；因为，所以点不是函数的对称中心，故C项错误；对于D项，当时，，故D项错误.故选：A7.如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】点形成图形是棱、、在平面上的射影线段构成的，所以、、在平面上的射影线段长度分别等于、、在平面上的射影线段长度，可证得平面，则即为所求.【详解】点形成图形是棱、、在平面上的射影线段构成的，所以、、在平面上的射影线段长度分别等于、、在平面上的射影线段长度.∵正方体棱长为，∴是边长为2的等边三角形，∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，同理，∵，平面，∴平面．设平面，∴、、在平面上的射影分别为，∵，∴，是的中心,∴.故选：C.8.已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围，依题意只需考虑存在，使得，即可求出的取值范围，即可判断.【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时，，得，则由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，因此只需考虑存在，使得，则取非负整数，且，，所以的取值区间是，选项中只有适合.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合余弦函数的单调性求出的范围，从而得到，根据正弦函数的周期性及最大值，从而求出的取值范围.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（）A. B.C.的虚部为2 D.在复平面内对应点位于第一象限【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的性质进行计算和推理即可．【详解】对于A，，A正确；对于B，虚数可以相等，但不能用大于小于联系，B错误；对于C，的虚部为2，C正确；对于D，在复平面内对应点为，位于第一象限，D正确．故选：ACD.10.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（）A.∥ B.∥面C.∥面 D.三棱锥的体积不变【答案】BCD【解析】【分析】对于AB，由面面平行的性质分析判断，对于C，由线面平行的判定结合正方体的性质分析判断，对于D，由和∥分析判断.【详解】对于A，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，所以当为的中点时，才有∥，所以A错误，对于B，因为平面∥平面，平面，所以∥面，所以B正确，对于C，由选项A同理可得∥，因为平面，平面，所以∥面，所以C正确，对于D，因为由选项C可知∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以点到平面为常数，因为三角形的面积为常数，所以为定值，因为，所以三棱锥的体积不变，所以D正确，故选：BCD.11.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据三角函数平移变换可得，由奇偶性可知，，求得后即可对照选项得到结果.【详解】由已知得，又函数为偶函数，则，，所以，，当时，CD正确，故选：CD.12.在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（）A.的取值范围是B.当时，在方向上的投影数量的取值范围是C.的最大值是D.若，且，则最大值为2【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的坐标运算与余弦函数的性质可判断A；根据投影数量的概念与三角恒等变换、正弦型三角函数的性质结合即可得取值范围，可判断B；由向量的三角不等式可判断C；根据向量的三角不等式与均值不等式即可求最值可判断D.详解】，A正确；当时，在方向上投影数量为：其中，所以，又或，所以，B错误；由于，当，向量反向共线时等号成立，C正确；因为，所以，当且仅当同向共线且时等号成立，D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为______.【答案】【解析】【分析】由直观图与平面图形的关系还原即可.【详解】由直观图可得如图所示的平面图，该平面图形是直角梯形，其高为.故答案为：.14.已知，，则______.【答案】【解析】分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．【详解】由得，，，又，则则，，所以.故答案为：．15.如图，长方体中，，则四面体的外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】四面体的外接球与长方体的外接球是同一个球，可求出外接球的半径，进而得体积.【详解】，，，四面体的外接球与长方体的外接球是同一个球，其半径为，其体积为.故答案为：.16.已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，画出轨迹图，利用弧长公式计算即可得解.【详解】如图，顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，其路径长度为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐标公式列方程求解即可；（2）利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可.【小问1详解】由已知得，，∵，∴，∴.【小问2详解】由已知得，，，∵，∴，∴.18.设的内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角；（2）已知，，点是边上的点，求线段的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由两角和的正弦，余弦公式，结合正弦定理求解；（2）由已知及余弦定理可得，为锐角三角形，利用面积法求的最小值.【小问1详解】由得，，∵，∴，∴，又由正弦定理，得，即，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】由已知及余弦定理可得，，.∵边为最大边，∴角为最大角，而，∴角为锐角，为锐角三角形，∴最小时为边上的高，∵，∴，∴，∴的最小值为.19.如图，正四棱台中，，，.（1）证明：平面；（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意得，则四边形为平行四边形，，从而平面，又平面，得平面平面，由面面平行的性质可得结论；（2）在等腰梯形中作交于点，由（1）知，则，所以就是异面直线与所成的角，利用余弦定理求解即可.【小问1详解】∵正四棱台中，，，∴，又∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.【小问2详解】在等腰梯形中作交于点，由（1）知，，∴，∴就是异面直线与所成的角，∵，，∴中，，，∴，∴异面直线与所成的角的余弦值为.20.如图四棱锥中，平面，为平行四边形，且，，，是棱上的一点，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证平面，得到，再证，即可证明平面；（2）直接将转化为，再按照体积公式求解即可.【小问1详解】连接交于点，取中点，连接，平面，平面，，∵四边形是菱形，，又，、平面，平面，，，，，，且为中点，为中点，，、平面，，平面；【小问2详解】．21.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.（1）求函数的表达式；（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到小时）【答案】（1）（2）20秒，5秒（3）【解析】【分析】（1）求出，根据盛水筒运动的角速度写出秒后盛水筒转过的角度，从而得出函数的解析式；（2）计算第一筒水到达最高位置时第一次取得最大值对应的值，以及相邻两个盛水筒倾倒的时间差；（3）计算完成该稻田的浇灌需倾倒的筒数，再求所需时间即可．【小问1详解】由已知可得，∵盛水筒运动的角速度，∴秒后盛水筒转过的角度为，此时可得以为终边角∴【小问2详解】当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），【小问3详解】完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，所需时间为秒，约为小时.所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约小时可完成该稻田的浇灌.22.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；（3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值.【答案】（1）（2）（3），，或，【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；（2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案；（3）将原题意转化为，令，则，再分类讨论进行取舍即可