专题12数列的建模与探究-原卷版

专题12数列的建模与探究数列在实际生活中很常见,在高考数学应用题中很流行,随着新课程标准的试行,数列应用与数列探究问题将会越来越多地出现在高考数学命题中,由于数列建模需要多方面知识,容易形成卡壳点,因此必须寻找智慧点来排除.一、小船通过小桥受阻的突破问题1:在古运河上建有许多形状相同的抛物线形状的拱桥An(n=0,1,2,⋯),经测量知,相邻两座桥之间的距离an近似满足a(I)要使该船能顺利通过拱桥,试问水面距拱顶的高度至少要几米?(II)已知水面每小时上涨0.15米,船在静水中的速度为0.4米/秒,水流速度为15米/分,若船从A0(III)若船通过An-1桥后,通过二、垃圾处理中环境保护意识问题2:我国城市垃圾平均每年以9%的速度增长,设到A年底堆存的垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,而且还在以每年1亿吨的速度产生着新的垃圾.从资源学的观点看,生活垃圾也是资源.如果用1.4亿吨垃圾发电,可以节约2333万吨煤炭;如果将1.4亿吨垃圾进行处理,再添加粪便和秸秆,每年可生产1.5亿吨有机肥.(I)A-10年时我国城市垃圾大约有多少亿吨?(II)如果从第A+1年起,每年处理上年堆存垃圾的110,并按1:1进行发电和生产有机肥,则A+1、A+2(III)阅读并解决上述问题后,你对所接受的信息有何感想?三、数列某特性是否存在探究存在性探究问题的表征就是问题结论的不确定性,而揭示数列所呈现的规律就是要对这种不确定性实施判断和确定.数列探究题的突破一般从特殊情形开始,运用归纳思想(不完全归纳起步,数学归纳法证明),逐步将规律一点一点地暴露出来.下面以正整数的倒数数列1n为例,解读这一过程.面对数列1n:1,12,13,⋯,问题3:已知Sn是数列1n的前(I)分别计算S2(II)证明:当n⩾1时,S2n-S(IV)是否存在关于正整数n的函数f(n),使得S四、数列不等式的多角度探究对某一数学问题的多角度探究与深度思考是一种有效的教学设计方式,学生可以从整体上理解数学思想方法,不论从数学知识角度还是从数学方法广度的角度都能得到有效的收益,使学生不仅知其然而且能知其所以然.问题4:已知an=3强化练习1.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题,全国9100万亩坡度在25∘以上的坡耕地需要退耕还林,其中西部地区占70%.2000年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12%(I)试问从2000年起,到哪一年西部地区基本解决退耕还林问题?(II)为支持退耕还林工程,国家财政补助农民每亩300斤粮食,每斤粮食按0.70元折算,并且每亩退耕地每年补助20元,试问:到西部地区基本解决退耕还林问题时,国家财政共需支付约多少亿元?（可以使用计算器）(III)阅读并解决上述问题后,你对所获得的信息有何感想?2.某工厂“减员增效”,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资.该工厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获b元收人,从第三年起每人每年的收人可在上一年基础上递增50%.某人分流前工资收人为每年a元,分流后进人新的经济实体,第n年总收人为a(I)求an(II)当b=(III)当b⩾3.在当前市场经济条件下,某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说,这个差距越小越好,而商家则相反,于是就有消费者与商家的“讨价还价”,常见的方法是“对半还价法”,消费者第一次减去定价的一半,商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半,商家第二次讨价,再加上二者差价的一半,如此下去,可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次bc第二次bc第三次bc⋯⋯⋯第n次bc消费者每次的还价bn(k(I)写出此数列的前三项,并猜测通项bn(II)求limn(III)若实际价格b与定出的价格a之比为b:4.学校餐厅每天供应1000名学生用餐,每星期一有两样菜A,B可供选择(每人选一样菜),调查