材料力学柱的挫曲课件

將討論柱的特性及一些設計柱之方法，本章一開始先概述挫曲的觀念，接著探討讓理想柱(idealcolumn)產生挫曲所需之軸向負載的大小。對柱的彎曲做更詳細地分析。柱之非彈性挫曲也以一特例呈現出。探討一些方法，用來設計那些以一般工程材料製成而承受集中力或偏心負載的柱。將討論柱的特性及一些設計柱之方法，本章一開始先概述挫曲的54013.1臨界負載細長構件若承載一軸向壓力則稱之為柱(column)，而產生之側向撓度稱為挫曲(buckling)。當一柱將產生挫曲之邊緣時所能支撐的最大軸向負載Pcr稱為臨界負載(criticalload)

第13章柱的挫曲54013.1臨界負載細長構件若承載一軸向壓力則稱之540彈簧將產生一回復力F=k

，如插銷的自由體圖13-2(c)所示，而作用力P產生兩個水平分量Px=P

tan

將插銷(和桿子)推離平衡位置。因為

很小，故

=

(L/2)且tan

，因此彈簧的回復力變為F=k

L

/

2，而擾亂力為2Px=2P

。第13章柱的挫曲540彈簧將產生一回復力F=k，如插銷的自由體圖1541k

L

/

2

>

2P

，其中

可互消並解出P值，得穩定平衡

另外，如果k

L

/

2

<

2P

；或k

L

/

2

=

2P

解出的中間P值即為臨界負載，即不穩定平衡

中立平衡

第13章柱的挫曲541kL/2>2P，其中可互消並解出54113.2插銷支承之理想柱考慮此柱為一理想柱，即柱在承載前是直的，並由均質材料所製成，且負載作用通過柱截面之形心。再假設材料呈線彈性行為，而且柱在單一平面上挫曲或彎曲。第13章柱的挫曲54113.2插銷支承之理想柱考慮此柱為一理想柱，即柱在542為了求得柱的臨界負載和挫曲形狀，我們使用式(12-10)；即描述柱中彎矩與撓度曲線關係之方程式，(13-1)回顧此式假設彈性曲線的斜率很小，且撓度僅由彎曲所造成。當柱在圖13-5(a)之撓曲位置時，柱內彎矩可由圖13-5(b)自由體圖中使用截面法求得。彎矩M=

P，故式(13-1)變成(13-2)第13章柱的挫曲542為了求得柱的臨界負載和挫曲形狀，我們使用式(12-1542第13章柱的挫曲542第13章柱的挫曲542通解為在x=0處

=0，求出C2=0，x=L處

=0得如果C2=0則此方程式滿足

=0

(13-3)第13章柱的挫曲542通解為在x=0處=0，求出C2542如果下式成立則滿足另一可能的解答為或(13-4)第13章柱的挫曲542如果下式成立則滿足另一可能的解答為或(13-4)543此負載有時稱為歐拉負載(Eulerload)，是紀念瑞士數學家LeonhardEuler在1757年首先解出此問題。相對之挫曲形狀由下式定義當n=1時得到最小的P值，因此柱之臨界負載為此處常數C1代表最大的撓度

max

第13章柱的挫曲543此負載有時稱為歐拉負載(Eulerload)，是紀543第13章柱的挫曲543第13章柱的挫曲543了解柱會對具有最小慣性矩截面的主軸(最脆弱的軸)產生挫曲是很重要地。例如，像尺之類具矩形截面的柱，將對a-a軸而不是b-b軸產生挫曲。方形管與那些具之形狀也常被用於柱。插銷支承柱的挫曲方程式可重寫為(13-5)式中Pcr=挫曲開始前，柱上的臨界或最大軸向負載。此負載必不可造成柱中應力超過比例限。E=材料的彈性模數。I=柱截面積的最小慣性矩。L=末端為插銷之柱的未支撐長度。第13章柱的挫曲543了解柱會對具有最小慣性矩截面的主軸(最脆弱的軸)544為了設計目的，式(13-5)可以I=Ar2重寫成更有用的形式，其中A為截面積，r為截面積的迴轉半徑，因此第13章柱的挫曲544為了設計目的，式(13-5)可以I=Ar2544式(13-6)中的幾何比例L/r稱為細長比(slendernessrario)，是柱之柔度的標準，用以區分柱為長、中或短之方法(13-6)從式求得之柱的最小迴轉半徑，其中I為柱截面積A的最小慣性矩。r=末端為插銷之柱的未支撐長度。L=材料的彈性模數。E=臨界應力，即柱挫曲前的平均應力。此應力為一彈性應力，因此

cr

Y。

cr=式中第13章柱的挫曲544式(13-6)中的幾何比例L/r稱為細長比544第13章柱的挫曲544第13章柱的挫曲545

柱為承受軸向負載之細長構件。

臨界負載係柱將產生挫曲之邊緣時，所能承受的最大軸向負載。而此負載表示機構是在中立平衡的情況。

理想的柱起始時為完全平直，且由均質材料所製，而所施加的負載會通過其截面的形心位置。

銷接柱會在其最小慣性矩的截面上沿主軸方向產生挫曲。

細長比為L/