解析：2023年天津市高考数学试卷(文科)(解析版)

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2023年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺当

第Ⅰ卷

留意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分共40分。参考公式：

·假如大事A，B互斥，那么PABPAPB=+U.

·圆柱的体积公式VSh=，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高

·棱锥的体积公式1

3

VSh=，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,1,2,3,5A=-，{}2,3,4B=，{|13}CxRx=∈=；331log8log92>的两条渐近线分别交

于点A和点B，且||4||ABOF=（O为原点），则双曲线的离心率为A.

2

B.

3C.2D.

5【答案】D【解析】【分析】

只需把4ABOF=用,,abc表示出来，即可依据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】抛物线2

4yx=的准线l的方程为1x=-，双曲线的渐近线方程为b

yxa

=±，则有(1,),(1,)bbABaa

∴2bABa=，

24b

a

=，2ba=，∴22

5cabea+===。

故选D。

【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。

7.已知函数sin(0,0,||)fxAxAω?ω?π=+>>??剟若关于x的方程14fxxaaR=-+∈恰有两个互异的实数解，则

a的取值范围为

A.59,44??

????

B.59,44??

???

C.59,{1}44??

???

UD.59,{1}44??

????

U

【答案】D【解析】【分析】

画出fx图象及直线1

4

yxa=-+，借助图象分析。

【详解】如图，当直线1

4

yxa=-+位于B点及其上方且位于A点及其下方，

或者直线1

4yxa=-+与曲线1yx

=相切在第一象限时符合要求。

即1124a≤-

+≤，即5944a≤≤，或者2114x-=-，得2x=，12y=，即11

224

a=-?+，得1a=，

所以a的取值范围是{}59,144??????

U。

故选D。

【点睛】依据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特殊是其中一条为直线时常用此法。

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第Ⅱ卷

留意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.i是虚数单位，则

51i

i

-+的值为__________.13【解析】【分析】

先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。

【详解】

5(5)(1)

23131(1)(1)

iiiiiii==-=++-。【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

10.设x∈R，使不等式2320xx+-，0y>，24xy+=，则

(1)(21)

xyxy

++的最小值为__________.

【答案】92

.【解析】【分析】

把分子绽开化为

(1)(21)221255

2xyxyxyxyxyxyxyxy

++++++===+，再利用基本不等式求最值。

【详解】由24xy+=，得2422xyxy+=≥，得2xy≤

(1)(21)22125559

2222

xyxyxyxyxyxyxyxy++++++===+≥+=，

等号当且仅当2xy=，即2,1xy==时成立。故所求的最小值为

9

2

。【点睛】使用基本不等式求最值时肯定要验证等号是否能够成立。

14.在四边形ABCD中，ADBC∥，23AB=，5AD=，30A∠=?，点E在线段CB的延长线上，

且AEBE=，则BDAE?=uuuruuur

__________.

【答案】1-.【解析】【分析】

建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B，535

)2

D。由于AD∥BC，30BAD∠=?，所以150CBA∠=?，由于A

EBE=，所以30BAEABE∠=∠=?，所以直线BE3

323)yx=-，

直线AE的斜率为33-

，其方程为3

3

yx=-。由3

23),3yxyx?=-????=??

得3x1y=-，所以3,1)E-。

所以353,1)12

BDAE=-=-uuuruuurg。

【点睛】平面对量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的

问题中使用坐标方法更为便利。

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.2023年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教育、连续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,ABCDEF.享受状况如下表，其中“d”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工

项目A

BCDEF

子女教育○○×○×○连续教育××○×○○大病医疗

×

××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○

○

×

×

×

○

（i）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；

（ii）设M为大事“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求大事M发生的概率.

【答案】（I）6人，9人，10人；（II）（i）见解析；（ii）11

15

.【解析】【分析】

（I）依据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；

（II）（I）依据6人中随机抽取2人，将全部的

结果一一列出；（ii）依据题意，找出满意条件的基本领件，利用公式求得概率.【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于实行分层抽样的方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.

（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为

{}{}{}{}{},,,,,,,,,ABACADAEAF,{}{}{}{},,,,,,,BCBDBEBF,{}{}{},,,,,CDCECF,

{}{}{},,,,,DEDFEF,共15种；

（ii）由表格知，符合题意的全部可能结果为

{}{}{}{},,,,,,,ABADAEAF,{}{}{},,,,,BDBEBF,{}{},,,CECF,{}{},,,DFEF,共11种，

所以，大事M发生的概率11

15

PM=

.【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机大事所含的基本领件数、古典概型即其概率计算公式等基本学问，考查运用概率学问解决简洁实际问题的力量.

16.在ABC△中，内角ABC，，

所对边分别为,,abc.已知2bca+=，3sin4sincBaC=.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin26Bπ?

?

+???

的值.【答案】(Ⅰ)14

-

；(Ⅱ)357

+

【解析】【分析】

(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,abc的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2,cos2BB的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin26Bπ??

+???

的值.【详解】(Ⅰ)在ABC△中，由正弦定理

sin

sinbc

BC

=得sinsinbCcB=，又由3sin4sincBaC=，得3sin4sinbCaC=，即34ba=.又由于2bca+=，得到43ba=

，23

ca=.由余弦定理可得2

2

2

cos2acbBac+-=

222

416

1992423

aaaaa+-==-??.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得215sin1cos4

BB=-=

，从而15sin22sincosBBB==-

，22

7cos2cossin8BBB=-=-.

故15371357

sin2sin2coscos2sin66682BBBπππ+?

?

+

=+=-?-?=-?

?

?.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基础学问.考查计算求解力量.

17.如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD为平行四边形，PCDV为等边三角形，平面PAC⊥平面

PCD，PACD⊥，2CD=，3AD=，

（Ⅰ）设GH，

分别为PBAC，的中点，求证：GH∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；

（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）3

.【解析】【分析】

（I）连接BD，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GHPDP，利用线面平行的判定定理证得结果；

（II）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DNPA⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（III）利用线面角的平面角的定义得到DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得结果.

【详解】（I）证明：连接BD，易知ACBDH=I，BHDH=，

又由BG=PG，故GHPDP，

又由于GH?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH∥平面PAD.

（II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC⊥，又由于平面PAC⊥平面PCD，平面PACI平面PCDPC=，所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，故DNPA⊥，又已知PACD⊥，CDDND=I，所以PA⊥平面PCD.

（III）解：连接AN，由（II）中DN⊥平面PAC，可知DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角.

由于PCD?为等边三角形，2CD=且N为PC的中点，

所以3DN=DNAN⊥，

在RtAND?中，3

sin3

DNDANAD∠=

=

，所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为

3

3

.【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础学问，考查空间想象力量和推理力量.

18.设{}na是等差数列，{}nb是等比数列，公比大于0，已知113ab==，23ba=，3243ba=+.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}nc满意2

1,,

,nnncb

n??

=???为奇数为偶数求*

112222nn

acacacnN+++∈L.

【答案】（I）3nan=，3n

nb=；

（II）22(21)3692

nnnnN+*-++∈

【解析】【分析】

（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，依据题意，列出方程组，求得3

3

dq=??=?，进而求得等差数

列和等比数列的通项公式；（II）依据题中所给

nc所满意的条件，将112222nnacacac+++L表示出来，之后应用分组求和法，结合

等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最终求得结果.

【详解】（I）解：设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q，

依题意，得23323154qdqd=+??=+?，解得33dq=??=?

，

故33(1)3nann=+-=，1333nn

nb-=?=，

所以，{}na的通项公式为3nan=，{}nb的通项公式为3n

nb=；

（II）112222nnacacac+++L

135212142632nnnaaaaabababab-=+++++++++LL

123(1)

[36](6312318363)2

nnnnn-=?+

?+?+?+?++?L21236(13233)nnn=+??+?++?L，

记1213233n

nTn=?+?++?L①则231

313233nnTn+=?+?++?L②

②-①得，2

3

1

233333

n

nnTn+=+?L11

3(13)(21)333132

nnnnn++--+=-+?=

-，所以12

2

112222(21)33

36332

nnnnnacacacnTn+-++++=+=+?L

22(21)3692

nnnnN+*-++=∈.

【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础学问，考查数列求和的基本方法和运算求解力量，属于中档题目.

19.设椭圆22

221(0)xyabab

+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.3|2||OAOB=（O为

原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为

3

4

的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OCAP∥，求椭圆的方程.【答案】（I）12；（II）22

11612

xy+=.

【解析】【分析】

（I32ab=，结合椭圆中,,abc的关系，得到22

23)ac=+，化简得出12ca=，从而

求得其离心率；

（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程22

22143xycc

+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐

标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c=，从而得到椭圆的方程.【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为c32ab=，

又由222abc=+，消去b得22

23)2

aac=+，解得12ca=，

所以，椭圆的离心率为

1

2

.（II）解：由（I）知，2,3acbc==，故椭圆方程为22

22143xycc

+=，

由题意，(,0)Fc-，则直线l的方程为3

4

yxc=

+，点P的坐标满意22

2

214334xycc

yxc?+=????=+??

，消去y并化简，得到2276130xcxc+-=，

解得1213,7

c

xcx==-

，代入到l的方程，解得1239

,214

ycyc=

=-，由于点P在x轴的上方，所以3

(,)2

Pcc，

由圆心在直线4x=上，可设(4,)Ct，由于OCAP∥，

且由（I）知(2,0)Ac-，故3242c

tcc

=

+，解得2t=，由于圆C与x轴相切，所以圆的半径为2，

又由圆C与l2

3

(4)24

231

4

c+-=+，解得2c=，

所以椭圆的方程为：22

11612

xy+=.

【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础学问，考查用代数方法讨论圆锥曲线的性质，考查运算求解力量，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的力量.

20.设函数ln(1)xfxxaxe=--，其中aR∈.（Ⅰ）若0a≤，争论fx的单调性；（Ⅱ）若10ae

，证明0132xx->.【答案】（I）fx在(0,)+∞内单调递增.；（II）（i）见解析；（ii）见解