上半格偏序总则的偏序刻画

上半格偏序总则的偏序刻画

1上半格偏序正则半群半组迭代理论是计算机、信息安全、自动化控制等重要的代数学分支。经过一个多世纪的发展，半组迭代理论非常丰富，尤其是正式半组的理论相对成熟。半组的特殊情况，如反半组、纯半组和完全正半组的研究，在半组迭代理论的研究中发挥着非常重要的作用。半组迭代理论仍然是最活跃的代数学研究领域之一。著名的代数学家d.b.mcaliser在文献中推广了这一观点，并给出了反演半组（左、右）中的非单位因素序列定义，并进行了深入研究，获得了良好的结果。假设（s、、、）是正半部分的正半部分，如果它是自然因素的ue02c扩展，（s）是反半部分。此外，如果是半部分的半部分，（s，）是半部分。设S为半群,若∀a∈S,∃x∈S,使得axa=a,则称a为S的正则元.若半群S的每一个元均是正则的,则称S为正则半群.设S为正则半群,如果∀a∈S,∃x∈S,使得axa=a和xax=x成立,那么称x为a的逆元.若∀a∈S,在S中有且仅有a的一个逆元,记a的逆元为a-1,则称S为逆半群.由文献知,已知正则半群S是逆半群当且仅当S的幂等元集合E(S)是S的子半格,亦即,当且仅当∀e,f∈E(S)有ef=fe∈E(S).设(S,·)为逆半群,若∀a∈S都有aa-1=a-1a成立,则称S为Clifford半群.设S为半群,若S上存在偏序关系≤,使得∀a,b∈S和c∈S1,a≤b⇒ca≤cb,ac≤bc,则称(S,·,≤)为偏序半群.例1设S为正则半群,E(S)为S的幂等元集.定义S上的二元关系ue02c为∀a,b∈S,aue02cb⇔∃e,f∈E(S),a=be=fb.由文献引理Ⅱ.4.1知ue02c是S上的自然偏序.若S为逆半群,则显然有(S,·,ue02c)是偏序半群.设(S,·,≤)是偏序半群,若(1)∀a,b,c∈S,a与b在偏序≤下的最小上界存在,并记为a∨b;(2)S满足分配律∀a,b,c∈S,a(b∨c)=ab∨ac,(a∨b)c=ac∨bc,则称(S,∨,·,≤)为上半格偏序半群.显然,分配格就是典型的上半格偏序半群.2bfeesb的相关定义定义1设(S,·)是正则半群.若(S,∨,·,≤)在给定的偏序≤下为上半格偏序半群,则称(S,∨,·,≤)是上半格偏序正则半群.定理1设(S,∨,·,≤)是上半格偏序正则半群.若偏序≤是自然偏序ue02c的扩张,则(S,·)是逆半群.证明要证明(S,·)是逆半群,只需证明(E(S),·)为半格,即∀e,f∈E(S)有ef=fe∈E(S).首先证明∀e,f∈E(S),e∨f∈E(S).因为(S,∨,·,≤)是上半格偏序半群,所以∀e,f∈E(S),有(e∨f)(e∨f)=(e∨f)e∨(e∨f)f=e∨fe∨ef∨f=(e∨ef)∨(fe∨f).(1)由(S,∨,·,≤)是上半格偏序半群可得(e∨ef)(e∨ef)=(e∨ef)e∨(e∨ef)ef=(e∨efe)∨(e∨efe)f.(2)由自然偏序ue02c的定义知,∀e,f∈E(S),efeue02ce,即有efe∨e=e.将此式代入式(2),可得(e∨ef)(e∨ef)=e∨ef,故e∨ef∈E(S).同理,由(S,∨,·)是上半格偏序半群可得(f∨fe)(f∨fe)=(f∨fe)f∨(f∨fe)fe=(f∨fef)∨(f∨fef)e.(3)显然,由自然偏序ue02c的定义知fefue02cf,故fef∨f=f.从而,将此式代入式(3),可得(f∨fe)(f∨fe)=f∨fe,即有f∨fe∈E(S).由(S,∨,·)是上半格偏序半群可知eue02ce∨ef,fue02cfe∨f.于是,根据自然偏序ue02c的定义有e=e(e∨ef)=e∨ef,f=f(fe∨f)=fe∨f.将此式代入式(1)可得(e∨f)(e∨f)=e∨ef∨fe∨f=e∨f,故e∨f∈E(S).由此证得e∨ef∈E(S)和f∨fe∈E(S)成立.其次证明(E(S),·)为半格.由(S,∨,·)是上半格偏序半群可得eue02ce∨f,于是有e=e(e∨f)=e∨ef,e=(e∨f)e=e∨fe,故efue02ce,feue02ce.从而,可得ef=efe,fe=efe,于是有ef=fe,故(E(S),·)为半格.综上所述可知(S,·)为逆半群.文献给出了正则半群上的amenable偏序的概念.定义2设S是正则半群,≤是S上的偏序关系,若≤满足(1)≤与S中的乘法运算相容;(2)≤与自然偏序ue02c在幂等元集上的限制是一致的,即≤|E(S)=ue02c|E(S);(3)∀a,b∈S,a≤b⇒a∈bS∩Sb,则称≤是S上的amenable偏序.半群上的偏序问题是代数学中的一个重要问题.对于逆半群上的自然偏序,著名的代数学者D.B.McAlister在文献中对其进行了推广,给出逆半群上的(左、右)amenable偏序的定义,并对其进行了深入研究,得到很好的结果.设(S,·,≤)是偏序逆半群.如果ue02c⊆≤并且∀a,b∈S,a≤b⇒a-1aue02cb-1b(aa-1ue02cbb-1),那么称≤为S上的左(右)amenable偏序.若≤既是左amenable偏序又是右amenable偏序,则称≤为S上的amenable偏序.设S是Clifford半群,则∀a∈S都有aa-1=a-1a.因此,由逆半群上的amenable偏序的定义知,如果≤是S的左amenable偏序,那么≤一定是右amenable偏序,也就是说Clifford半群上的左amenable偏序和amenable偏序是一致的.设(S,∨,·,≤)是上半格偏序逆半群.若≤是(左,右)amenable偏序,则称(S,∨,·,≤)为上半格(左,右)amenable偏序逆半群.文献研究了上半格amenable偏序广义逆群,得到了一些很有意义的结果.本文中,由定理1可得如下结论.定理2设(S,∨,·,≤)是上半格偏序正则半群.若≤是自然偏序ue02c的扩张,则(S,·)是逆半群.进一步地,若≤是amenable偏序,则可以得到(S,·)是Clifford半群.由定理1,得到如下命题:命题1设(S,∨,·,≤)是上半格偏序正则半群.若偏序≤是amenable偏序,则(S,·)是Clifford半群.证明由定理1可知(S,·)是逆半群.故要证(S,·)是Clifford半群,只需证明∀a∈S,有a-1a=aa-1成立即可.用L表示半群(S,·)中的Green-L关系.∀a∈S,显然有aLa-1a,由文献中的定理3.1可得aL(a∨a-1a)La-1a.由≤是上半格偏序得a≤a∨a-1a.又由于≤是左amenable偏序,根据文献中引理2.1可得(a∨a-1a)(a∨a-1a)-1ue02caa-1,再由a≤a∨a-1a和≤是右amenable偏序可得aa-1ue02c(a∨a-1a)(a∨a-1a)-1.因此aa-1=(a∨a-1a)(a∨a-1a)-1.由≤是上半格偏序得a-1a≤a∨a-1a.又由于≤是左amenable偏序,根据文献中引理2.1可得(a∨a-1a)(a∨a-1a)-1ue02ca-1a(a-1a)-1=a-1a,再由a-1a≤a∨a-1a和≤是右ame