高中数学人教A版（2019+）选择性必修第二册知识点总结

数学选择性必修第二册人教版A版第四章数列4.1数列的概念4.2等差数列4.3等比数列4.4数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.2导数的运算5.3导数在研究函数中的应用第四章数列4.1数列的概念一、数列1.数列：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。（1）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）首项：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）。（3）记法：排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，….简记为{an}。({}此时表示数列，而不是集合)2.数列的分类（1）按照数列的项数分：①有穷数列：项数有限的数列②无穷数列：项数无限的数列（2）按照数列的变化趋势分：①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。③常数列：各项都相等的数列。④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。3.数列与数集：数列是按照一定顺序排列的一列数。数集则是无序的。4.通项公式（1）数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数an=f(x)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)（i=1,2,3,…）有意义，那么我们可以得到一个数列nf(n)1a12a23a3nf(n)1a12a23a3······nan······数列是特殊的函数（离散函数）（2）如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。5.递推法：如果已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。用递推公式给出数列的方法叫做递推法。6.数列的表示方法：图像、列表、公式、递推公式4.2等差数列一、等差数列1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。（后项-前项）（1）这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项。（1）求等差中项：d=an-an-1或d=an+1-an（2）a，A，b为等差数列，则有2A=a+b，得A=a+b23.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd(类似一元一次方程)（1）推导：一般地，如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得到a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，所以有a2=a1+d，a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，……由此，得出等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd4.关于等差数列的公式（1）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（2）若m+n=2p，则am+an=2ap（3）若an=a1+(n-1)d，则an=am+(n-m)d（4）d=a（5）若{an}为等差数列，公差为d，则数列ak，ak+m，ak+2m，…，公差为md5已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n＞1)求差，得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p，它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列。二、等差数列{an}的前n项和：1.数列{an}的前n项和：一般地，我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+…+an。2.等差数列{an}的前n项和（1）推导：对于公差为d的等差数列，倒序相加求和Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]①(第1项+…+第n项)Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]②(第n项+…+第1项)由①+②，得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)，由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn=n(a1+an代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以表示用首项a1与公差d表示，即Sn=na1+n(n−1)d23.在等差数列{an}中。前n项和Sn的性质（1）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列，公差为m2d（2）等差数列{Snn}，即数列Sm−1（3）ambm=S2m−1T4.裂项求和：设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n项和。5.常见的裂项公式：（1）1n(n+1)=1n（2）1n(n+k)=1k(1（3）1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1（4）1n+k+n=1k(n+k（5）1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)6.在等差数列{a2n}中，所有奇数项和为S奇=(a1+nd)(n+1)推导：S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2n+1①=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+(a1+2nd-2d)+(a1+2nd)S奇=a2n+1+a2n-1+…+a3+a1②=(a1+2nd)+(a1+2nd-2d)+…+(a1+2d)+a1①+②得，2S奇=(2a1+2nd)(n+1)所以S奇=(a1+nd)(n+1)4.2等比数列一、等比数列1.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列。（1）这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。（2）等比中项：若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。则有Ga=bG，G2=ab（a2.等比数列{an}的通项公式：an=a1qn-I（q≠0）推导：an=amqn-m,公比为q=ana3.已知Sn和an的关系，在n≥2时，往往得到an与an-1的关系4.M=ab,是a，M，b为等比数列的5.证明数列为等比数列常用的方法：（1）定义法：an+1an=（2）等比中项法：an+12=an·an+2（an≠0，n∈N*）（3）通项法：an=a1qn-16.等比数列性质：（1）若m+n=q+p，则am·an=ap·aq（2）若m，n，p，为等差数列，则am、an、ap为等比数列。（3）若a1、a2、…、an-1、an为等比数列，则a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…（4）若{an}是公比为q的等比数列，则{λan}（λ为常数）、{｜an｜}、an仍为等比数列，公比分别为q、｜q｜、q（5）若{an}、{bn}是公比分别为p、q的项数相同的等比数列，则{an·bn}、{anbn}仍为等比数列，公比分别为pq、p（6）若{an}是公比为q的等比数列，且an＞0，则{logcan}是以logcq为公差的等差数列。（7）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{Can}是公比为Cd7.关于等比数列{an}的单调性：（1）单调递增：①a1＞0，q＞1时②a1＜0，0＜q＜1时（2）单调递减：①a1＞0，0＜q＜1时②a1＜0，q＞0时（3）常数列：q=1时（4）摆动数列：q＜0时8.求等比数列时的设项方法：（1）三个数：aq、a、aq公比为（2）四个数：aq3、aq、aq、aq39.求等差数列时的设项方法：（1）三个数：a-d、a、a+d公差为d（2）四个数：a-3d、a-d、a+d、a+3d公差为2d二、等比数列的前n项和1.公式的推理：数列{an}的前n项和：一般地，对于等比数列a1，a2，a3，…，an，的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an，根据等比数列的通项公式，得错位相减法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①，如果用公比q乘①的两边，可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②，用①-②得：(1-q)Sn=a1-a1qn所以，得Sn=a1(1−2.等比数列的前n项和的公式：（代入通项公式）Sn=a1(1−qn)1−q=a1−aSn=na1（q=1）3.性质：（1）Sn，S2n–Sn，S3n–S2n为等比数列，那么公比为qn。（2）等比数列{an}项数为2n，则S偶S奇=证明：当q≠1时，S偶=a2+a4+…+a2n=a2[1−(qS奇=a1+a3+…+a2n-1=a1[1−(q2)n]1−q2当q=1时，显然成立。（3）若{an}为等比数列，则Sn=Aqn+B，且A+B=0证明：Sn=a1(1−qn)1−q=a11−q(1−qn)=a11−q-a11−q三、数列求和的常用方法1.错位相减法：等比数列（形如an=bn·Cn，且{bn}为等差数列，{Cn}为等比数列。）2.倒序相加法：等差数列3.并项求和法：（摆动数列）4.裂项相消法：（把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消，剩下首尾若干项。）（形如：1n(n+1)=1n-5.分组求和法：（形如：an=bn+Cn，{bn}、{Cn}同为等差数列或等比数列。）例：设x≠0，求和Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1x解：Sn=(x2+2+1x2)+(x4+2+1x4)+…+(x=2n+(x2+x4+…+x2n)+(1x2+1当x2=1即x=±1时，Sn=2n+n+n=4n当x2≠1时，Sn=2n+x2(1−x2n6.求an的方法：（1）观察法（规律）（2）公式法（直接）（3）已知Sn求an（an=Sn-Sn-1，n≥2，验证n=1时是否成立）例3：数列{an}的前n项和Sn=32an-3,求an解：当n=1时，a1=S1=32a1-3,得a1当n≥2时，an=Sn-Sn-1=32an-32an-1,化简得所以{an}为等比数列，an=6×3n-1=2×3n，此时n=1时亦成立，所以an=2×3n。（4）构造法（形如an+1=p·an+q）变换为an++1+x=p(an+x)形式后求q例4：已知a1=3，an+1=2an+3，求an解：化为an+1+x=2(an+x)形式∴an+1=2an+x∴x=3于是有an+1+3=2(an+3)，∴q=2，∴{an+3}是以a1+3=6为首项，公比为2的等比数列∴an+3=6×2n-1，∴an=3(2n-1)（5）累加法（形如an+1-an=f(n)）例5：已知数列{an}中，a1=1,且an+1-an=3n-n，求an解：∵an+1-an=3n-n∴an-an-1=3n-1-(n-1)an-1-an-2=3n-2-(n-2)…a3-a2=32-2a2-a1=3-1两边分别相加：an-a1=(3n-1+3n-2+…+3)-[(n-1)+(n-2)+…+1]=3(1−3n−1)1−3从而可以解出an（6）累乘法（形如an+1an=f(n)例6：已知a1=1，an+1an=解：∵an+1an=n+2n所以aan−…a3a2a2a1两边分别相乘：ana1=n(n+1)2，∵a1=1，∴a∴an=n(n+1)2（7）作商法（形如a1·a2·a3…an=f(n)）当n=1时，an=f(1)当n≥2时，an=f(n)f(n−1)例7：在{an}中，a1=1，有a1·a2·a3…an=n2，求a3+a5解：a1·a2·a3…an=n2①a1·a2·a3…an-1=(n-1)2②∴①②得an=(nn−1)2∴a3+a5（8）倒数法例8：在{an}中，a1=1，an=an−13an−1+1解：∵an=an−13an−1+1∴1an即{1a∴1an=1+(n-1)·3=3n-2∴an=14.4数学归纳法一、数学归纳法1.数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0属于N*）时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。2.归纳法的分类：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法其中特点是“特殊→一般”（1）不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫作不完全归纳法（2）完全归纳法：把研究对象一一都考察到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。例1：用数学归纳法证明：13+23证明：①当n=1时，左边=13=②假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即13那么1=k+1=1=1即当n=k+1时，等式也成立。根据①②可知，等式对任意n∈N*都成立。第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义一、变化率问题1.平均变化率：△y2.瞬时变化率：一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+△x的平均变化率在△x→0时的极限，即lim3.函数f(x)在x=x0处的导数：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'｜x=x0,即f'(x0)=lim二、导数的概念及其几何意义1.函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即K=f'(x0)=2.导函数：从求函数y=f(x)在x=x0处的导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数（导数）。即f'(x)=y'=lim5.2导数的运算一、基本初等函数的导数（一）、几个常用函数的导数1.函数y=f(x)=c的导数：△y△x=f(x+2.函数y=f(x)=x的导数：△y△x=f(x+3.函数y=f(x)=x2的导数:△y所以y'=4.函数y=f(x)=1x的导数:y'=lim5.函数y=f(x)=x的导数:△y△x=fx+（二）、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.导数公式函数导函数f(x)=cf'(x)=0f(x)=xa（a∈Q*）f'(x)=axa-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=axf'(x)=axlna（a>0）f(x)=exf'(x)=exf(x)=logaxf'(x)=1xlnaf(x)=lnxf'(x)=1二、导数的四则运算法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)[f(x)g(x)]'=f'三、简单复合函数的导数1.复合函数：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))。（1）复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：yx'=yu'·ux'=f'(u)·g'(x)（2）求复合函数的导数：例①：求函数y=(2x+3)2的导数：解：函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3的复合函数，根据复合函数求导法则有：yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=4u=8x+125.3导数在研究函数中的应用一、函数的单调性1.一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a，b）内，①如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；②如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；2.求函数单调区间的步骤：①求出函数定义域及f'(x)；②解f'(x)>0，f'(x)<0并与定义域求交集；③确定单调区间。3.已知函数y=f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤：①求导数y=f'(x)；②转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；③由不等式恒成立求