专题四函数极值与三娃子学长赠课keep0303

在数1,2,3 1

11−ln【解】令y=xx,则两边取对数得lny=xlnx,两边对x求导有yy=x2+lnx∙−x2，即y= 令'=玐得驻点x=e,当玐<x<e时， 玐,故y 单调增；当e<x<+∞时，'<玐，故y 减42于是1<2，且3 > <33，故所求的最大值为342!2求y=1++2!+⋯ !2【解】因为 =

−'=x=!nx'xnx玐,则'x玐,'<玐,故yx处取极大值yx==设函数y=f(x)由方程3 2+2+6=玐确定，求f(x)的极值2【解】3 2+2+6=玐两侧关于x求导，得32'+2+2'+2 2''=玐.解得'=23+2+令'=玐,得y=玐或y=−2x,将y=玐代入原方程，矛盾.再将y=−2x代入3+ 2+2+6=玐得x=此时f1=−2.对32'+2+2'+2 2''=玐两侧对x求导，得6y(')2+32''+2'+2()''+2''24'+2'+2''玐x=1,y2,'1=代入上式，得''1=4,所以x=1y=f(x)的极小值点，极小值为f1=−2.fx

2玐(2−) 的最大值M与最小值在玐,+∞上可导，且 =2x2−2−2=2x2+ 2−x−玐f(x)

><<= 222 =22 =−2(2−)−=−2 −2+22 =+∞(2−)− 2 −+∞+

=2+−2=1+−2,由于玐−

玐(2− 玐f(x)f=玐,因此M=1+−x≥玐fx=

−2t 【解】由' =1− t2,又'1=玐,知x=1为fx的驻点，且当玐<x<1时，' 调增;当x1时，'<玐,fx单调减，故当x≥玐时fx在x=1处取得最大值f(1) 1时，t 2, 2 f1 (−)玐

( 玐

=(2+1)(2+ ,−=㤵,常数 (,)(玐,玐 2+ ,−=㤵,知 ,−=㤵+, =玐.再令a=1+耀,耀玐于是上式(,)(玐,玐 2+ (,)(玐,玐 2+ (,)(玐,玐 改写为，fx,y=xy

1b 2+2=1(+)2+耀+(2+2)因fx,yf玐 (,)(玐,玐

f(x,y)玐.(,)(玐,玐

Ο，当(x,y)

<耀故 2f(x,y)f玐,zzx,y是由26+122−21h=0z=zx,yFx,y,z=26+1玐22−2+1h∂z =26 =62玐 −2− −2−再令再与原方程26+1玐22−21h=联立解得(,,)1=(,3,3)或(,,)2=(−3A

=1,B =−1,C 2( ( 12−AC

( 136玐,=6玐类似的，对于点(,,)=(,−3,− A2=−1,B2=1,C22(−类似的，对于点(,,)=(,−3,− A2=−1,B2=1,C22(−6(−2有22(−

12AC <玐,=

1–由于在(,,)2=−−3,

处，∂F= z=zx,y的极大值点，极大值为-z=3+3−32−32=32−6=由

=32−6= 2=6− =玐 2=6−在驻点(0,0A

2222

=−6,B

2玐,2

玐,

6,h−2=36玐,=−6<玐22=222222222点

=−6,B2=6,B2

玐

2

2玐

=6,h−2=36<玐,所以(0,2=−6,h−2=36<玐,所以(2,02222

=6,B

22

2玐C=

=6,h−2=36玐,=6,所以(2,222极小值点，z2,2=h22求函数z=2+2+2+在区域D:2+ 【解】由于2+2 1是有界闭区域，z=2+2+2+

=2+2==2+1=

=−=−2

由于(−1)2+(−1 22再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=2+2+2+ 在满足约束条件2+2 1下的条件极值点，此时z=1+2+Lx,y,λ=12xyλ2+21, '=2+2λ= '=1+2λ= '=2+2−1= λx1,=−

1+1−1= 解得λ 或λ = =–2121 =1 ,= , =1 ,所以最小值m=1 ，最大值M=1+2121L:2+2+24上求点(x,y,z)W=xyz++=值【解】令Fx,y,z,λ,μ=xyz+λ2+2+2−1+μ(x+y+z− ∂F=玐,=玐,=玐,=玐,=玐由 yz+2λx+μ= xz+2λy+μ= yx+2λz+μ= 2+2+2−4= x+y+z−3= =2λ = = =(,,)=(1−6,1−6,1+6),, =(1+6,1+6,1−6 (,,)=(1+6,1−6,1−6),, =(1−6,1+6,1+6 (,,)=(1+6,1−6,1+6),, =(1−6,1+6,1−6 由(,,)1得1=1(+6),由,,2得2=1(− 同理可得，3=6=1，4 1

16 ,216

=1(− 已知函数z=fx,y的全微分dz=2xdx2ydy,并且f1,1=2,求f(x,y)在椭圆域D2(,)24

1 '=−2cy=−【解】由题设，知=2,=2,于是fx,y +t( '=−2cy=−22222f1,1=2c=2,fx,y=2−222222∂f玐f=得可能极值点为x玐,y=玐=

=2,B =2,2 (玐,玐 再考虑其在边界曲线2

2142令拉格朗日函数为Fx,y,z=fx,y+ 2+4−1'