基本初等函数的导数课件高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

基本初等函数的导数第五章导数新知导入由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.

我们学过初等函数，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.新知讲解1.函数

y=f(x)=c的导数

因为

所以

若y=c（图5.2-1）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.基本初等函数的导数新知讲解2.函数

y=f(x)=x的导数

因为所以

若y=x（图5.2-2）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动.基本初等函数的导数新知讲解3.函数

的导数

因为所以

另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，越来越小，减少的越来越慢；当x>0时，随着x的增加，越来越大，增加的越来越快.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

基本初等函数的导数新知讲解4.函数

的导数

因为所以

表示函数的图象（图5.2-4）上点（x,y）处切线的斜率为，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为负数.基本初等函数的导数新知讲解5.函数

的导数

因为所以

基本初等函数的导数新知讲解6.函数

的导数

因为所以

基本初等函数的导数合作探究原函数导函数①

f(x)=C(C为常数)f'(x)=0②f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f'(x)=

③

f(x)=sinxf'(x)=

④

f(x)=cosxf'(x)=

⑤

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

⑥

f(x)=exf'(x)=

⑦

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

⑧f(x)=lnxf'(x)=

导数公式表注意以下五点：(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立；(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；(5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．典例解析

解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，典例解析(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程．

若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.典例解析(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程．

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．由(3x)′＝3xln3可知D正确．所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.课堂小结利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．1．奇(偶)函数的导函数的性质奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数．2．