2014考研数学基础概率统计

第一章1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A 若A B且B A，称两事件相等，记A=B。1（1） （2）AB=BA,A+B=B+A（2）A˙(B¨C)=(A˙B)¨(A˙C),A¨(B˙C)=(A¨B)˙(A¨C) （3）ABAB¨AB¨(BA 2P(W)1（归一性¥¥¥3A1A2LAn,LPUAnPAn（可列可加性 k k3PA1PA4（减法公式）PABPAPAB（1）PABPAP(BPAB（2）PABC)PAP(BP(CPABPACP(BCPABC2ABPA0P(B|APA0PABPA)P(B|A

。P(AB)=P(P(AC)=P(是三个事件，若 是三个事件，若

,n2、全概率公式：设A1A2LAn是一个完备事件组，且PAi0(i1,2,Ln)B为事件，则nP(BPAi)P(B|Ai3A1A2LAnPAi)0(i1,2,Ln)BP(B0PA|BPAi)P(B|Ai 若A,B不相容，则P(B) 2PA)P(B)P(C)1PAB)PAC)P(BC)

，则事件ABC全不发生的概率为。))则P(A)

PABC 4、设事件A,B满足P(AB)=P(AB)，且P(A)=p，则P(B) 1发生的概率相等，则P(A)=

91、设A,B是两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|A)，则 (A)P(A|B)=P(A|B) (B)P(A|B)„P(A|B)(C)PAB)PA)P(B (D)PAB)PA)P(B2、设事件A,B满足0<P(A)<1,0<P(B)<1，且P(A|B)+P(A|B)=1，则 中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。和第二章一维随机变量及其分布某可区间上连续取值，称x为连续型随机变量。（1）0£F(x)£1 （2）F(x)单调不减F(x)右连续 （1）P{X<a}=F(a-0) （2）P{X=a}=F(a)-F(a-0)（3）P{a<x£b}=F(b)-F(a) （4）P{a<X<b}=F(b-0)-F(a)【注解（1）pi‡0(1£i£n) （2）p1+p2+L+pn=14、连续型随机变量的密度函数X的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得xF(x-¥f(t)dtf(xXx【注解（1）f(x)‡0 （2）-¥f(x)dx=1n1、二项分布—XP{XkCkpk(1p)n-k(0£k£nX服从二项分布，记为X~B(n,p)。n2、Poisson分布—XP{Xk

le-l(k0,1,2,LXkk3、几何分布—XP{Xkp(1p)k-1k1,2,LX服从几何分布，记为X~Gp。

,a£x£1、均匀分布—若随机变量x的密度函数为f(x)b

0,x<bx~U(abF(xb

a£xb2、正态分布—若随机变量xf(x)

1 2s2(-¥x¥，称随机变量x为f(x)

2-x e2(-¥x¥-xxF(x-¥f(t)dtx

3、指数分布—若随机变量x的密度为f(x)0,x<

(l0)，称随机变量xx~E(lF(x1

0,x<。-e-lx,x‡=)22s

b- a-2若x~N(m,sP{ax£bF(bF(aF(sF(s f1xf2x2、设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，其分布函数为F(x)， (C)F(-a)=1-af(x)dx

F(-a)=2F(a)-1(D)F(-a1af(x)dx 3、设X~N(m,42),Y~N(m,52)，令p=P{X£m-4},q=P{Y‡m+5}，则 (A)对任意实数都有p=q (B)对任意实数都有p<q对个别，才有p=q (D)对任意实数，都有p>q4、设X~N(m,s2)，则随s的增大，概率P{|X-m|<s (B)单调减少 `(C)保持不变 1、设X~N(m,s2),方程y2+4y+X=0无实根的概率为1,则m 22、设X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X‡1}=5,则P{Y‡1} 93个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以X表示红球个数。（1）X的分布律；（2）2Aex,x<3、设X的分布函数为F(x)=B,0£x< （1）AB；（2）f(x；（3）P{X4X~U(0,2)，求随机变量YX25X~N(0,1)，且YX2，求随机变量Y

1}3第三章二维随机变量及其分布1、联合分布函数—设X,YF(xyP{X£x,Y£y}为X,Y2、二维离散型随机变量的联合分布律—设X,YP{X=xi,Y=yj}=pij(i=1,2,L,m,j=1,2,L,为X,Y P{X=xi}=pij=pi(i=1,2,L,m),P{Y=yj}=pij=pj(j=1,2,L,j 3、连续型随机变量的联合密度函数X,Y)为二维连续型随机变量，若存在f(xy0，使得 F(xyP{X£x,Y£y=xduyf(uv)dvf(xy为随机变量X,Y fX(x)=-¥f(x,y)dy,fY(y)=-¥f(x,（1）0£F(xy£1（2）F(xyxy1、均匀分布—设二维连续型随机变量X,Y1,(x,y)˛f(xy) 2、正态分布—设二维连续型随机变量X,Yf(xy) xm1)22r(xm1ym2ym2)2

s1s s从二维正态分布，记为X,Y~N(mm,s2,s2r，其中s0,s0 【注解】若X,Y~N(mm,s2,s2rX~N(m,s2),Y~N(m,s2 1P{Yyj0，在事件{Yyj发生的情况下，事件{Xxi

pij(i=1,2,L) ==x|Y=y}2P{Xxi0，在事件{Xxi发生的情况下，事件{Yyj

=yj|X=xi}

pij(j1,2,Lpi1、设f(y)>0，则在“Y=y”的条件下，X的条件概率密度为 (x|y)=f(x,y)f XfY

(2、设f(x)>0，则在“X=x”的条件下，Y的条件概率密度为 (y|x)=f(x,y)f YfX

1、定义—设X,YxyF(xyFX(x)FYy，称随机变量X,Y相互独立。离散型随机变量—设X,YX,Ypijpi·pj(i1,2,L;j1,2,L连续型随机变量—设X,YX,Yf(xy)fX(xfYy（可以除去有限个点【注解】若X,Y为二维连续型随机变量，求X,Y的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数f(xyf(xy（若其中含参数，用归一性求出X,YX,Yf(xy)fX(xfYyX的边缘分布已知，且Yf(xy)fX(xfY|Xy|x情形一：设X,YZfX,YZ为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的布函数定义求Z的分布。 P{X+Y£0}=12

P{X+Y£1}=12P{X-Y£0}=12

P{XY£1}121、设X 为两个随机变量，且P{X‡0,Y‡0}=3,P{X‡0}=P{Y‡0}=4， P{max(X,Y0} X

,Y= 就下列两种情况，求X,Y Ae-(x+2y),x>0,y>2、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)= ，（1）A；（2）X,Y的分布函数；（3）ZX2YP{X2Y£1}及P{XY}3X~E(l，求随机变量Ymin{X,2}4X~E(l1),Y~E(l2X,YZmax{X,Y}Z的密度函数。（2）Zmin{X,Y}Z第四章随机变量的数字特征¥1、离散型数学期望—XP{Xxkpk(k1,2,LEXxkpkk2、连续型数学期望—设X的概率密度为f(x)，则其数学期望 EX=-¥xf(x)dx3、二维离散型随机变量的数学期望—设离散型随机变量X,YP{Xxi,Yyjpij(i1,2,L;j1,2,LZX,Y¥EZf(xiyjpiji=1j4、二维连续型随机变量的数学期望—设二维连续型随机变量X,Y的密度为f(x,y)ZX,Y EZ-¥dx-¥f(x,yf(xy)dy1、E(C)=C 2、E(kX)=kEX 3、E(X+Y)=EX+EY4E(aXbYaEXbEY5X,YEXYEXEY（一）方差的定义DXEXEX)2（二）方差的计算公式DXEX2(EX)21、D(C)=0 2、D(kX)=k2DX3X,YDXYDXDY，D(aXbYa2DXb2DY1X~B(npEXnpDXnpq2X~p(lEXDXl

3X~U(a,bEX

DX 4X~N(m,s2EXmDXs21、协方差CovX,YEXEX)(YEY2、相关系数rXYcov(X,Y)rXY0X,Y（二）CovX,YEXYEX1、Cov(X,X)=DX 2、若X,Y独立，则Cov(X,Y)=03、Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 4、Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)5、Cov(aXbYZaCovXZbCov(YZ6DXYDXDY2CovX,Y1、设随机变量X,Y相互独立，且DX=3,DY=2，则D(3X-2Y) 2、随机变量X~E(l)，则P{X>DX} 1 )，则E|X-Y ,D|X-Y 24、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为0.4，则EX2 5、设随机变量X的密度为f(x)=1e-x2+2x-1，则EX= ,DX= 。6、设随机变量X服从参数为l的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则l

0,Y£1、设Y~E(1Xk1,Y>

(k=1,2)（1）求X1X2的联合分布律；（2）EX1X2 1 12、设X与Y的概率分布为X~ 1,Y~ 1，且P{XY=0}=1 4 2（1）求X,Y的联合分布律 （2）问X,Y是否相互独立？为什么 -1,U3、设U~U[-2,2X

,Y 1,UX,Y的联合分布律 （2）D(X+Y) 5Xf(x2cos2,0£x£pX4次，Y表示观察值大于p

第五章大数定律与中心极限定理P{|XEX|e£DXP{|XEX|e1DX 1（车比雪夫大数定律）X1X2LXn,LDXiDXi£M0i1,2,L对任意的e0，有limP{|nfi

X-n n

EX|e1i2（独立同分布）设

s2(i=1,2,L)，则对任意的e0有limP{|

infi n3（贝努利大数定律）X1X2L,Xn,L独立同分布于参数为p0-1分布，则对任意的e0nlimP{| ni

nfi n4（辛钦大数定律）X1X2LXn,LEXim，则对任意的e0nlimP{| ni

nfi n1、（Levy-Lindberg中心极限定理）设随机变量序列X1X2LXn

独立同分布，且

ii

£x= xe-2dtnfi 2（拉普拉斯中心极限定理）Xn~B(np)(0p1)(n1,2,Lxlim

Xn

£x}=

txe2dtnfi 1、设随机变量X~E(5)，用车比雪夫不等式估计P|X-5|‡3} 2设X~N(0,42),Y~(2,52)且X,Y相互独立用车比雪夫不等式估计P{|X+Y-2|<4} 第六章2、简单样本及样本观察值—XXnXX1X2LXnX1X2LXnx1x2LxnX1X2LXnX 1n1、样本均值X=Xin 22、样本方差Sn-1XiX)1 n3、样本的k阶原点矩Ak=Xik1,2,Ln1 n4、样本的k阶中心矩Bk=XiXn

k1,2,L（1）—设随机变量X1X2LXn相互独立且都服从标准正态分布，则称随机变量c2X2X2+LX2nc2c2~c2(n X~c2(nEXnDX2nX~c2(m),Y~c2(nX,YXY~c2(mn2、t—设随机变量X~N(0,1),Y~c2(n)，且X,Y相互独立，则称随机变量t 为服从自由度为n的t布，记为t~t(n3F—定义—X~c2(m),Y~c2(nX,YFXmY/mnFF~F(mn1F~F(mn~F(nmF

s X-

X-1、X~N(m, ), 2、 ~t(n-1)。nn snn ss3、2(Xi-X) ss

~c(n-1)。