2023江苏省高二上学期数学期末考试试卷

1/12023江苏省高二上学期数学期末考试试卷高二数学

第一学期期末调研测试试题

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

留意事项：

1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1.命题“x(0,

2

)，sinx1”的否定是▲．

2.已知直线l过点A11,、

B2,0

,则直线l的斜率为▲．

3.一质点的运动方程为St210（位移单位：m；时间单位：s），则该质点在t3时

的瞬时速度为▲m/s．

4.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数

分别为4、12、8,若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取Readx

的城市数为▲个.

5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x的准线方程为▲．

x3ThenIf

y2xElse

6.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值yx21是▲．EndIf

7.若aR,则“a3”是“直线l：axy10与l：

12

a1x2ay40垂直”的▲条件．（注：在“充要”、“既不Printy

第6

题

）

充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）8.函数fxx33x2的单调递减区间为▲．

9.已知椭圆x2y2

1ab0左焦点为F，左准线为l，若过F且垂直于x

a2b2

轴的弦的

长等于点F到l的距离，则椭圆的离心率是▲1．

10.有一个质地匀称的正四周体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上

抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．

11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

的渐近线方程为▲．x2y2

1

mm1

的一个焦点为3,0，则双曲线

（

11

．．．

312.已知可导函数fx的定义域为R，f1

2，其导函数f

等式f2x8x1的解集为▲．

x满意

f

x

3x

2

,则不

13.已知圆

C:x2

y1

2

6

，AB为圆

C上的两个动点，且AB

22

，G为弦AB

的中点.直线l:xy20上有两个动点PQ，且PQ2.当AB在圆C上运动时，

PGQ恒为锐角，则线段PQ中点M的横坐标取值范围为▲．

14．函数

f(x)xe

x

a在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是

▲

．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）

已知m为实数.命题p：方程

x2y2

13m1m3

表示双曲线；命题q：对任意xR，

x2(m2)x

940

恒成立.

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数m

的取值范围．

16．（本小题满分14分）

某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。在进行资产清算时发觉有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额.为了了解客户充值卡上的余额状况，从中抽取了300名客户的充

值卡余额进行统计．其中余额分组区间为

500,600，

600,700

，

700,800

，

800,900

，

900,1000

，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：

（1）求a的值；（2）求余额不低于

900元的客户大约为多少人？

（3）依据频率分布直方图，估量客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均

值)．

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l:kxy42k0，kR

(1)直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;

(2)已知点A(2,0),B(1,0)，若直线l上存在点P满意条件PA2PB，求实数k的取值范围.

18.（本小题满分16分）

2023年扬州市政府准备在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O、O之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四

12

个顶点A，B，C，D均在圆弧上，OOAB于点M．设?AOMq，

122

p

(1当)q=时,求喷泉ABCD的面积S;

4

(2)求cos为何值时，可使喷泉ABCD的面积S最大?.

19．（本小题满分16分）

已知椭圆C:x2y2

1(ab0)

a2b2

的长轴长为22

2，

离心率为.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N，交椭圆C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q，延长QM交椭圆C于点B.

①设直线PM、QM的斜率分别为k,k'，证明k

k

为

定值;②求直

线AB斜率取最小值时，直线PA的方程.

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)lnx

x1

,(x)m(x1)f(x)x(mR)

(1)求f(x)在x1处的切线方程；

(2)当m0时，求(x)在1,2上的最大值；

(3)求证：f(x)的极大值小于1.

高二数学参考答案

一、填空题：

1.

x(0,2

)

，sinx1

2．-13．6

4.2.

5.x2

6.3

7．充分不必要

8.

1,1(写成

1,1

1,1,1,也1算对)

9．

1

2

10．

1

4

.11．y

52

x

112．,

13.

,0

U3,

14

,eU

3e2,.．

二、解答题：

15．解：（1）若命题p

为真命题，则

3m1m3

0，即m的取值范围是

13

m3.

…………………4分

（2）若命题q

为真命题，则

，解得

1m5．即m

1,5

．…………7分

∵命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，∴p

和q

中有且仅有一个正确．

若p真q假，则

13

m3

，解得m

；………………10分

m1或m5

若p假q真，则

1m或m3

31m5

，解得1m

13或3m5

．………………13分

所以，综上所述：m的取值范围为

1,13

3,5

．………………14分

16.解：（1）由1000.00050.002a0.0040.0011，解得a0.0025……4分

（2）余额在

900,1000

之间的频率为0.1，故可估量余额不低于900元的客户大约为

30000.1300(

人)

………………………8分

（3）客户人均损失的估量值为：

5500.056500.27500.48500.259500.1765(元)…14分

(注:

若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣1分)

17．解：(1)解：假设直线l

过定点

(a,b)

，

则

2

kab42k0,即k(a2)b40

关于kR恒成立，………2分

a20

b40

a2

，

b

4

，………4分所以直线l过定点，定点坐标为(2,4)………6分(2)已知点A(2,0),B(1,0)，设点P(x,y)，

则PA2(x2)2y2,PB2(x1)2y2，

PA2PB，PA4PB2，(x2)2y24[(x1)2y2]

所以点P(x,y)的轨迹方程为圆(x2)2y24，………10分

又点P(x,y)在直线l:kxy42k0上，

所以直线l:kxy42k0与圆(x2)2y24有公共点，………12分

设圆心到直线的距离为d，则d

|2k042k|

k21

r2，

解得实数k的范围为k3或k3.………14分

18．解:(1)在直角ΔAOM中，AM12sin

24

=62，OM12cos=12cos

24

=62，则AD12212，AB2AM=122………2分

所以SABAD=122(122+12)=288+1442（平方米）………3分答：矩形ABCD的面积S为288+1442平方米.………4分

(2)在直角ΔAOM中，AM12sin，OM12cos，则AD24cos12，

22

所以矩形ABCD的面积S24sin(24cos12)288(2sincossin)，………8分0<q?

p

3

………10分令f2sincossin，0<q?

p

3

，

则f'2cos2cos4cos2cos

2

，………12分

令f'0，得cos331331p

8083

2

．设cos，且0<q?，

列表如下：

0,00

(,)

03

f'0

f↗极大值↘所以当时,f最大,即S最

大．0

此时cos

0331

8

………………15分

答：当cos为331

8

时，喷泉ABCD的面积S最大………………16分

19.解：(1)由题意得:2a22,c2a2

所以a2,c1,ba2c2211………2分

故椭圆方程为x2

2

y21，………4分

(2)①设P(x,y),(x0,y0)

0000，由M(0,m)，可得

P(x,2m),Q(x,2m)

00

所以直线PM的斜率k2mmm

xx

00

，直线QM的斜率

2mm3m

k'

xx

00

.……6分

此时

k1k

，所以为定值

k3k

1

3.………8分

②设A(x,y),B(x,y)

1122

，直线PA的方程为ykxm，直线QB的方程为

y3kxm.

联立ykxm

x2

y21

2

，整理得（2k+1）x24kmx2m220，16k2m28(m

由2m22xx

2k21

21)(2k21))0

，可得

2m22

x

（2k21）x

，2m22

ykxmk

（2k21）x

m

同理

2m22

x

（18k21）x

，

2m22

y3kxm3k

（18k21）x

m.………10分

2

01

111

222

所以xx

12(2k2

32k2(m2

1)(18k

1)2

1）x

，

2m

yy3k

（18k2

222m22

k

1）x（2k21）x

00

，

yy2k(m21)

(2k224k24

1)(18k21）x

8k(m21)

(2k2

6k21

1)(18k21）x

，

所以k

AByy6k2111

12(6k)

xx4k4k

12

，………12分

由m0,x0，可知k0，所以6k

01

k

26

6

，当且仅当k时取得等号.

6

由P(x,2m)

0，m0,x0

在椭圆C:

x2

2

y21上得x28m

2，

mm

k

28m

2

此时

m

28m2

67

，即m，………14分

67

由0得，m22k21，所以k

67

，m符号题意.67

所以直线AB的斜率的最小值，直线PA的方程为

y

67

x

67

.………16分

②法2：同上可得

2m222m22

x；x

（2k21）x（18k21）x

00

………10分

由于k

AByy

12,ykxm,y3kxm

1122

12

所以k

ABkxm

1

3kx

m

2

xx

12

2m222m22

k3k

x3kx（2k21）x（18k21）x

1200

xx2m22m2

12（2k

21）x（18k21）x0

（2k（2kk

2

1

2

3k

1）（18k2

1

1）（18k2

6k2111

(6k)

4k4k

1）

………12分

12

12

x

12

xx

22

1）

下面同解法1.

20.解：（Ⅰ）

f

(x)

11

(x1)lnx1lnxxx(x1)2(x1)2

，

…………2分

f

(1)

12

，f(x)在x1

1

处的切线方程为yf(1)(x1)2

,即x2y10…………4分

（2）

(

x)mlnxx,(

m0

),

令

(x)

mx

10，得xm，

在区间(0,m)上，

(x)0，函数

x是增函数；

在区间

(m,)上，(x)0，函数

x

是减函数;

…………6分

故当0<m

1时,(x)在1,2

上递

减,

(x)max

(1)1.