高考理科数学全优二轮复习训练专题3第2讲平行与垂直的判定与性质

专题复习检测A卷1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【答案】C【解析】l⊥AB，l⊥AC⇒l⊥α；m⊥BC，m⊥AC⇒m⊥α.故l∥m.2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β【答案】A【解析】垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；α，β垂直于同一个平面γ，则α，β可能相交或平行，B错误；m，n平行于同一个平面，则m，n可能相交、平行或异面，C错误；α，β平行于同一条直线m，则α，β可能相交或平行，D错误．故选A．3．(2018年福建三明二模)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则以下四个命题中错误的是()A．直线A1C1与AD1为异面直线B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥ACD．三棱锥D1－ADC的体积为eq\f(8,3)【答案】D【解析】A中，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，BD1⊄平面A1B1C1D1，D1∉直线A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；B中，∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正确；C中，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正确；D中，三棱锥D1－ADC的体积VD1－ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，D错误．故选D．4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①② B．②③C．①④ D．②④【答案】D【解析】若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．故选D．5．(2018年福建泉州模拟)如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()A BC D【答案】B【解析】如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，且选项A，C，D中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项B中的直线BD1与平面EFG不垂直．故选B．6．(2019年北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.【答案】若l⊥m，l⊥α，则m∥α(若m∥α，l⊥α，则l⊥m)【解析】从三个论断中选两个作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种可能．其中①③⇒②，②③⇒①是正确的命题，①②⇒③是错误的命题，故可填“若l⊥m，l⊥α，则m∥α”或“若m∥α，l⊥α，则l⊥m”．7．(2019年湖北模拟)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．【答案】①②③④【解析】由展开图可折得正方体如图所示，由正方体的对面平行易得①②正确，由面面平行的判定易得③④正确．8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．【答案】eq\f(1,2)【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面积相等，得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2)，即线段B1F的长为eq\f(1,2).9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.【证明】(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1为矩形，所以OA＝OC1.又点F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF＝eq\f(1,2)CC1.因为点E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝eq\f(1,2)CC1.所以BE∥OF且BE＝OF.所以四边形BEOF是平行四边形．所以BF∥OE.又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.(2)因为AB＝CB，点F为AC的中点，所以BF⊥AC.所以OE⊥AC.又AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.由BF∥OE，得OE⊥AA1.又AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.10．(2019年湖南模拟)如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝eq\f(1,2)CD＝1，且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点．(1)求证：平面BCF∥平面AGE；(2)求点C到平面AGE的距离．【解析】(1)∵AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，点G是CD的中点，∴AB∥GC，AB＝GC.∴四边形ABCG为平行四边形．∴BC∥AG.又BC⊄平面AGE，AG⊂平面AGE，∴BC∥平面AGE.∵直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，∴AB＝EF.又AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．∴BF∥AE.又BF⊄平面AGE，AE⊂平面AGE，∴BF∥平面AGE.又BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，∴平面BCF∥平面AGE.(2)设点C到平面AGE的距离为d.易知AE＝EG＝AG＝eq\r(2)，CG＝1，由VC－AGE＝VE－ACG，得eq\f(1,3)S△AGE·d＝eq\f(1,3)S△AGC·DE，则eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1，解得d＝eq\f(\r(3),3)，即点C到平面AGE的距离为eq\f(\r(3),3).B卷11．(2019年Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】连接BD，BE.由题意易知BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE.因为BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，所以直线BM，EN是相交直线．设DE＝a，则BD＝eq\r(2)a，BE＝eq\r(\f(3a2,4)＋\f(5a2,4))＝eq\r(2)a，所以BM＝eq\f(\r(7),2)a，EN＝eq\r(\f(a2,4)＋\f(3a2,4))＝a，所以BM≠EN.故选B．12．(2019年浙江丽水模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的最小值为()A．eq\r(2) B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\r(3) D．eq\r(5)【答案】B【解析】取BB1，B1C1的中点M，N，连接BC1，MN，AM，A1M，A1N，易得MN∥BC1∥EF，A1N∥AE，可证得平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段MN上．由正方体的棱长为2，可得A1M＝A1N＝eq\r(5)，MN＝eq\r(2)，则当点P为线段MN的中点时，线段A1P的长度最小，最小值为eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2).故选B．13．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是________．【答案】2eq\r(34)【解析】连接HC，过D作DM⊥HC，连接ME，MB.∵BC⊥平面HCD，DM⊂平面HCD，∴BC⊥DM.又BC∩HC＝C，∴DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE内的射影为M，∴△EBD在平面HCBE内的射影为△EBM.在长方体中，HC∥BE，∴△MBE的面积等于△CBE的面积，∴△EBD在平面EBC上的射影的面积为eq\f(1,2)×eq\r(52＋32)×4＝2eq\r(34).14．(2019年河北张家口模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD，E为线段BC的中点．(1)求证：平面PDE⊥平面PAD.(2)在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．(3)若Q是PC中点，AB＝1，DC＝eq\r(2)，PA＝2，求三棱锥P－ABQ的体积．【解析】(1)证明：∵AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中点，∴AD∥BE，AD＝BE.∴四边形ABED是平行四边形，则AB∥DE.又∠BAD＝90°，∴∠ADE＝90°，故AD⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE.又AD∩PA＝A，∴DE⊥平面PAD.又DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)取PB的中点F，连接EF.∵E为线段BC的中点，∴EF∥PC.又EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.∴在线段PB上存在点F，使得EF∥平面PCD，点F为PB的中点．