万学全国分校2015届钻石卡模拟考试卷二数学三答案

一、选择题:1～8小题,4分,32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将设f(x)在区间(0,+¥)内具有二阶导数，满足f(0)=0，f¢(x)<0，又0<a<b，则当a<x<b时，恒 af(x)>xf(a) (B)bf(x)>xf(b)(C)xf(x)>bf(b) (D)xf(x)>af(a) f f f由a<x<b >>，故选 当xfi0时，x 与cxk互为等价无穷小

k=3,c=1 k=1,c=3

k=1,c=1 k=3,c=3 x-ln(1x-ln(1+xfi

xfi

x+ x+ln(1+x)+xxfi xfi1-

k+1= 1+ =

1k-

1k-2ck

x

(1+x)2ck

x 2 2=

2

=

k-32k=c=，故选 x0f(x的极小值点x0f(x的极大值点存在d0x˛(-d0yf(xx˛(0,dyf(x是凸的存在d0x˛(-d0yf(xx˛(0,dyf(x是凹的f¢(0)1f(010，即xfi x- xfi 于是存在d0x˛(-d0)f¢(x0yf(x凹；x˛(0,df¢(x0y

设an

的收敛域为(-8,8，则

(A) (B) (C) (D) 【解析】由axn的收敛域为(-8,8]ax3n的收敛域为(-2,2]2 n¥

¥a

¥a ax3n-2的收敛半径也是2，因为 进行两次逐项求导得到ax3n-2， n 收敛半径也是2，故选

【答案】

得到Ax0的基础解系只有一个向量A

1 1.B是3阶非零矩阵,且AB=O,那 a1时,Ba1时,Ba3时,Ba3时,B【答案】【解析】本题考查秩的性质 1

a

= a 1fi a 1

1-

1- a

P{X+Y‡0}=4P{max(X,Y)‡0}=4

P{X-Y‡0}=4P{min(X,Y)‡0}=4

【解析】f(xy f(x,y)dxdy

dx11dy1，选

0 1P{max(X,Y0}1P{max(X,Y0}1P{X0,Y1

f(x,y)dxdy=1-= P{X+Y‡0}=f(x,y)dxdy=11dx1dy=11(1+x)dx=1x+ 4- - 4- P{X-Y‡0}=f(x,y)dxdy=11dxxdy=11(x+1)dx=1x- 4- 4- , 1S1

22X~c2~S

S2~c210~10【解析】X~N2X~N【解析】X~N

9S222 2

11已知lnx是f(x)在x‡1时的一个原函数，则ex2f¢(x)dx 【答案】-2 【解析】ex2f¢(x)dxex2df(xx2f(xe2exf

(ln

e1-ln

2dq

e 1+e

dr p 02 pp【答案】8

1+yyD2

D={(x,y)x2+y2£1,x‡0,y‡yy dxdy=11+y+1+xdxdy=1dxdy=pyyD2 2 2+x 2 差分方程yt+1-3yt=23t的通解 tlimn+psinxdx(p>0)

nfi¥ 【答案】0sinx n+psin n+psinsinx【解析】当n£x£n+p时 £n， dx£n，由于limn=0，故lim

dx=0x nfi nfi¥ ,则An 1 1 0 C= 1=E+0 O O ,An= C

Cn 1B(2-

n 因为D=O,所以C=(E+D)=E+CnD= 1 2 1 0 0 An= n 1 Xf(x

2x,0<x<

，以YX{X£1}出现的次数，则P{Y=2} 29

【解析P{X£22xdx

B(3,)，

P{Y=2}=

123=9

)( 三、解答题:15～23小题,94分.请将解答写在指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演limlnx+x2+1ln-2xxfi1

x+x2-1 x-1 1【解析】令t

,则 =limt=0,于是 ……1 xfi+¥ tfilimlnx+x2+1ln-2x

limln1+t2+1ln-21+xfi

x+x2-1 x-1=t 1+1-t2 1- ln 4tfi t2+1-t2+1-1-t1+1-t

……6tfitfi

1-t

·

91 108 2 ……21a 2 1x-=- 22˛,2 2 计算 x2+y2

579 D=

4 4 x2+y2

7

=444

……102

x£1x

2，其中x介于x与1之间 ……3f

x)+ () ……4f

2 62

2 ……82 2 ……102 ¥2an0xsinxdx，求2 【解析】an0xsinxdx0xsinxdxpxsinxdx+L(n-1)pxsinx 0xsinxdx=0xsinxdx=

2 pxsinxdx=-pxsinxdx=¥ ¥ ¥

45n则n= n= nn=1

n=1

n=1¥a由 n+1=

……6nfi¥ nfi收敛半径为R=1 ……7当x=–1时，级数发散，故级数的收敛域为 ……8 ¥2

¢

=xxn

+xxn 22=

¢+

x 1-x x1

10于是

anpS1p146p 11n nn=1

2 1 2 a,a,a,a= 0=1-a4= 解得a(II)a1时

……3 1 1 0 (a1,a2,a3,a4)= 0 10000

选取向量a1,a2,a3为向量组的极大线性无关组,则a4a1-a2当a1时

74 4

,a3,a

0fi 0 选取向量a1,a2,a3为向量组的极大线性无关组,则a4a1-a2-

11 0 已知三阶矩阵A= -1,具有二重特征值,且矩阵A可相似对角化,求参数a的值,及可逆矩 6 lE-A=0

如果l1,22A的二重特征值,则l2带入l26laa8l3 0 1=1,矩阵A可相似对角 …… 如果l2A的二重特征值,则l26la0 0 1=2 0 1x= 0 1x= 1 33 0

689 4

X和YX和YfXY(xyfYXyxP{0£X£10£Y£

,,【解析】(I)依题设X,Yf(xy

x2+y2x2+y2‡

2 f(x)X

f(x,y)dy= --

3-f(y)=+¥f(x,y)dx= 1 -

……4 21-E(X)=-¥xfX(x)dx==-1 pdx=021-21-E(Y)=-¥yfY(y)dy=-1

dy=0+¥ E(XY)=-¥-¥xyf(x,y)dxdy=x2+y2

dxdy0 6pf(x,y)„fX(x)fY(y) ……7 (xy)=f(x, X =2 X =2

-1-

<x<1-y2p p , <

1-y2

8

(yx)=f(x, p2

<y<1-x2Y f(x)=21-x

<1

9P{0£X£1,0£Y£ 00f(x,(III)P{0£X£10£Y£1} P{0£Y£

10fY(01 11 = 112 XXXN(m,s2m已知，s20XS2分^求参数s2的最大似然估计量s2 1 1

(x-【解析】(I)L(xx,Lx,s2)

exp(-n

(x)= exp( -

) lnL

n 2n 2

n(x-n(x-2

2ln2p-ln22 2n(x-22

-s

4¶ln 又 =-

¶ln 2=0可得s2的最大似然估计

2s2+s n

n(X-nns2= ……6nn n n

E(Xi-m)2=E(X1-^=E[X1-E(X1)]22=D(X1)=s2 n(X- = D(X-m)2

8n

-m~N

X1-

~N(0,1),因此

X1-m

~c

X1-m

D(s n1121 11110212(11分 XXXN(,2已知，20XS2 ^求参数2的最大似然估计量2 n1n2 2

(x)222【解析】(I)L(xx,Lx,2)1

(xi i

)

lnL

ln2nln

nn n(x2 ln2 i ， 4

n(x

22 令