河北省石家庄市石门实验学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

2021－2022年度石门实验初三期中数学考试参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1.在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（）A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；【解答】解：因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的方差．故选：D．【点评】本题考查平均数、方差、众数、中位数等知识，解题的关键是理解方差的意义，属于中考常考题型．2、如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为（）A.30米 B.45米 C.60米 D.90米【分析】由题意可证明△AOB∽△COD，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO，且∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，∴，又∵CD＝30m，∴AB＝60m故答案为：60m．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质：两三角形相似，对应边成比例，此题为常见题型．3.已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的外心与顶点C的距离为（）A.1 B.2.5 C.3 D.5【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是直角三角形的斜边的中点，则它到顶点C的距离等于斜边的一半．【解答】解：如图：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是Rt△ABC的外心，∴．OA＝OC＝OB，又∵∠C＝90°，∴AB是⊙O的直径，即点O是AB的中点，∴OA＝OC＝OB＝AB由勾股定理得AB＝5，∴OC＝，即：它的外心与顶点C的距离为，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质等知识点，解题的关键是对直角三角形的外接圆的圆心的特殊性的理解．4.如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（）A.2 B.4 C. D.2【分析】首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB＝90°，又由OA＝OB＝2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．【解答】解：连接OA，OB，∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝2∠APB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝＝2．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．5.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△ B.点C、点O、点三点在同一直线上C.AO∶＝1∶2 D.AB//【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【解答】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△，∴△ABC∽△，点C、点O、点三点在同一直线上，AB//，AO∶＝1∶2，故选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．6.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A.20% B.40% C.18% D.36%【分析】设降价的百分率为x，根据降低率的公式a（1－x）2＝b建立方程，求解即可．【解答】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1－x）2＝16解方程得x1＝，＝（舍）∴每次降价得百分率为20%故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1－x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．7.若点A（，－5），B（，2），C（，5）都在反比例函数y＝的图象上，则，，的大小关系是（）A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜【分析】将点A（，－5），B（，2），C（，5）分别代人反比例函数y＝，求得，，的值后，再来比较一下它们的大小．【解答】解：点A（，－5），B（，2），C（，5）都在反比例函数y＝的图象上，∴－5＝，即＝－2，2＝，即＝5，5＝，即＝2，∵－2＜2＜5，∴＜＜．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．8.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC＝40°，则∠D的度数为（）A.100° B.110° C.120° D.130°【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°－40°＝140°，∴∠D＝×（360°－140°）＝110°，故选：B．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．9.如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（接缝忽略不计），则这个纸帽的高是（）A.cm B.2cm C.3cm D.4cm【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝，∴圆锥的底面圆的周长为4，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．10.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A. B. C. D.【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝，∴，∴BD＝，∴sin∠BAC＝．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键，11.如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A. B.2 C.4 D.8【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可知S△BOE＝K，由D为OB的中点，CD//BE，可知CD是△OBE的中位线，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BOE＝k．∵D为OB的中点，CD//BE，∴CD是△OBE的中位线，CD＝BE，∴△ODC∽△OBE，∴，∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1∴k＝8故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y＝图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解答此题的关键．12.为烘托节日气氛，社区购买了一批气球，气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，每个气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积最合适的是（）A.0.65m3 B.0.6m3 C.0.55m3 D.0.45m3【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.2，60）故P·V＝72；故当P≤120，可判断V的范围．【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，∵图象过点（1.2，60），∴k＝72，即P＝在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤120时，V＝≥0.6，∴为了安全起见，气球的体积最合适的是0.65m3故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．13.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（）A.2 B.3 C.4 D.5【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解答】解：四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD//BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴∵DF＝6，∴AF＝＝＝8∴∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．14.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2×＝．∴DE＝2DF＝2．∴图中阴影部分的面积为，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．15.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③AF＝EF；=4\*GB3④，其中正确的结论是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②由AE＝AD＝BC，又AD//BC，所以，故②正确；③设EF＝a，BF＝2a，由AF2＝EF·BF＝2a2，得AF＝a，所以AF＝EF，故③错误；④根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝，＝S△ACD－S△AEF＝－＝，即可得到＝S△ABF，故④正确．【解答】解：过D作DM//BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD//BC，∴△AEF∽△CBF，∴以，∵AE＝AD＝BC，∴，∴CF＝2AF，故②正确，设EF＝a，BF＝2a，由AF2＝EF·BF＝2a2，得AF＝a，所以AF＝EF，故③错误．∵△AEF∽△CBF，∴，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝，＝S△ACD－S△AEF＝－＝，即可得到＝S，故④正确，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．16.如图，扇形AOB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（）A.3 B. C. D.4【分析】由垂径定理求得线段OD的长也就是点D所经过圆弧路径的半径，然后求得路径的圆心角，利用弧长的计算公式计算即可．【解答】解：∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，∴OD⊥AC，∴AD＝AO，∴∠AOD＝30°，OD＝3，同理可得：∠BOE＝30°，∴∠DOE＝150°－60°＝90°∴点D所经过路径长为：．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长的计算等知识，解决本题的关键是根据题意确定点运动的路径是什么．二、填空题（共6小题）17.在x2＋＋4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．【解答】解：要使方程有两个相等的实数根，则＝b2－4ac＝b2－16＝0得b＝±4故一次项为±4x故答案为±4x【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（＝b2－4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当＝0时，方程有两个相等的实数根；③当＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．18.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE//BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE//CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝12－x，∵DE//CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED＝x，S△ABC＝AC∙BC＝AB·CP，12×5＝13CP，CP＝同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．图1图2【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．19.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点时，有＝30cm，∠＝120°．（1）图2中，弓臂两端，的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点，使弓臂为半圆，则的长为cm．图1图2图3【分析】（1）如图1中，连接交于H．解直角三角形求出，再根据垂径定理即可解决问题；（2）如图3中，连接交于H，连接交于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题．【解答】解：（1）如图2中，连接交于H．∵＝＝30∴是的圆心，∵⊥，∴＝＝30×sin60°＝15，∴＝30∴弓臂两端，的距离为30．（2）如图3中，连接交于H，连接交于G．设半圆的半径为r，则∴r＝20，∴AG＝＝20，＝30－20＝10，在Rt△中，＝＝10∴＝10－10故答案为30，10－10，图2图3【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共6小题）20.（1）解方程：6x2＋x＝2（2）计算：【解答】（1）x（2）21.某校260名学生参加植树活动，要求每人植4－7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图（1））和条形图（如图（2）），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．回答下列问题：（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：第一步：求平均数的公式是；第二步：在该问题中，n＝4，＝4，＝5，＝6，＝7；第三步：＝5.5（棵）①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．图1图2【分析】（1）条形统计图中D的人数错误，应为20×10%；（2）根据中位数、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案；（3）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的；②根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以260即可得到结果．【解答】解：（1）D错误，理由为：20×10%＝2≠3；（2）众数为5，中位数为5；（3）①第二步；②＝5.3（棵），估计这260名学生共植树5.3×260＝1378（棵）．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向测量数据BC＝60m∠ABH＝70°∠ACH＝35°BD＝20m∠ABH＝70°∠BCD＝35°BC＝101m∠ABH＝70°∠ACH＝35°（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【分析】（1）第二个小组的数据无法计算河宽．（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA＋AB＝CB，构建方程求解即可．【解答】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽．（2）第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH＋∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH·sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．第三个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，∵CA＋AB＝CB，∴，解得x≈56.4答：河宽为56.4m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF．（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．【分析】（1）首先由△ABC和△CEF均为等腰直角三角形可得AC∶BC＝CE∶CF，∠ACE＝∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE＝∠CBF，再根据∠CAE＋∠CBE＝90°，判断出∠EBF＝90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；（2）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，，又∵，AE＝2∴，∴BF＝，又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2＋BF2＝＋（）2＝3，∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．24.已知A（－4，2）、B（n，－4）两点是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－＞0的解集．【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝－8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y＝－x－2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC＋S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜－4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．【解答】解：（1）把A（－4，2）代入y＝，得m＝2×（－4）＝－8，所以反比例函数解析式为y＝－，把B（n，－4）代入y＝－，得－4n＝－8，解得n＝2，把A（－4，2）和B（2，－4）代入y＝kx＋b，得解得所以一次函数的解析式为y＝－x－2；（2）y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，即直线y＝－x－2与x轴交于点C（－2，0），∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6；（3）由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为：x＜－4或0＜x＜2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．25.如图，△ABC中，AB＝AC＝4，cosC＝．（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：；②求点D到BC的距离．【分析】（1）利用尺规作图作出AC的中点，就是圆心，从而作出圆；（2）①连接AE，根据等腰三角形的性质证明∠DAE＝∠CAE，即可证得；②连接AE，CD，作DM⊥BC交BC于点M，在直角△BCD中首先利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BDH中，利用三角函数求得DM．【解答】解：（1）如图所示：（2）①如图，连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴∠DAE＝∠CAE，∴；②连接AE，CD，作DM⊥BC交BC于点M，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC＝4，cosC＝∴EC＝BE＝4，∴BC＝8，∵AB＝AC