大理州南涧县民族中学高二下学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．设集合U=｛﹣1，0,1,2,3,4，5},A=｛1，2，3}，B={﹣1，0，1,2｝，则A∩（∁UB）=（）A．{1,2，3｝ B．{1,2} C．｛3} D．｛2}2．已知i为虚数单位，复数z满足z=i（z﹣i），则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在区间上随机取一个数x，若x满足｜x｜≤m的概率为,则实数m为（)A．0 B．1 C．2 D．34．在等差数列{an}中,已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an｝的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或255．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f(x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈时，f（x）=2x，则=(）A． B． C． D．16．过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（xA＞xB）,则=（）A． B． C．3 D．27．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）A． B． C． D．68．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术"刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率"．如图是利用刘徽的“割圆术"思想设计的一个程序框图,其中n表示圆内接正多边形的边数,执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据:≈1。732，sin15°≈0.2588,sin75°≈0。1305）（)A．2.598,3，3.1048 B．2。598，3,3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3。11089．关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2,最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值010．点A，B,C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（)A．2π B．4π C．8π D．16π11．点P是双曲线的右支上一点，其左,右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2,则离心率的值为（）A． B． C． D．12．设函数f’（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数,有f(x)sinx﹣f’（x）cosx＜0，，b=0,，则（)A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E满足，则=．14．若x,y∈R,且满足则z=2x+3y的最大值等于．15．下列命题中，正确的命题序号是．①已知a∈R,两直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1"是“l1∥l2”的充分条件；②命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0＜x02";③“sinα=”是“α=2kπ+,k∈Z"的必要条件；④已知a＞0，b＞0,则“ab＞1"的充要条件是“a＞”．16．已知数列{an｝满足a1=2，且，则{an｝的通项公式为．三、解答题（6个大题共70分,写出必要的解答过程）17．（12分）在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b,c,且2acosC﹣c=2b．(Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ)若c=，角B的平分线BD=，求a．18．(12分）某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组22．（10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，）,求｜PA|+｜PB|．

2016—2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（下）期中数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．设集合U={﹣1,0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3｝,B={﹣1，0，1，2｝，则A∩(∁UB）=(）A．{1，2,3｝ B．{1，2} C．｛3｝ D．｛2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB【解答】解:∵U=｛﹣1，0,1，2，3,4，5}，A=｛1,2,3｝，B=｛﹣1,0，1，2｝，∴∁UB={3，4，5}A∩∁UB=｛1，2，3}∩{3,4,5}=｛3}故选:C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足z=i(z﹣i），则复数z所对应的点Z在（)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i•z+1,∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．在区间上随机取一个数x，若x满足｜x|≤m的概率为,则实数m为（)A．0 B．1 C．2 D．3【考点】CF：几何概型．【分析】求解不等式｜x｜≤m，得到﹣m≤x≤m,得其区间长度，求出区间的长度，由两区间长度比列式得答案．【解答】解:区间的区间长度为4．不等式｜x|≤m的解集为，区间长度为2m,由，得m=1．故选：B．【点评】本题考查几何概型，是基础的计算题．4．在等差数列｛an}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列｛an}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或25【考点】85:等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义,列出方程组,求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{an}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{an｝中，a4=5,a3是a2和a6的等比中项,∴，解得a1=﹣1,d=2，∴数列{an｝的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立,当x∈时,f（x）=2x，则=（）A． B． C． D．1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2，再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈时，f(x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2)=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2,（x)是定义在R上的偶函数,∴=f（﹣）=f（）∵当x∈时，f（x）=2x,∴f(）=,故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性,属于中档题．6．过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点(xA＞xB），则=（)A． B． C．3 D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB｜，结合抛物线的性质x1x2=2,求出x1=2,x2=，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2)，则斜率为，sinα=|AB｜=x1+x2+p=,∴x1+x2==,又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．7．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）A． B． C． D．6【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体,进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积,简单几何体的三视图，难度中档．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3。14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术"思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0。2588,sin75°≈0.1305)（）A．2.598，3,3。1048 B．2.598，3，3。1056C．2。578，3，3.1069 D．2。588,3，3.1108【考点】EF：程序框图．【分析】由n的取值分别为6，12,24，代入即可分别求得S．【解答】解:当n=6时，S=×6×sin60°=2。598，输出S=2。598,6＜24，继续循环,当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时,S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3。1056,24=24，结束，∴故选B．【点评】本题考查循环框图的应用,考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．关于函数f(x）=2cos2+sinx（x∈）下列结论正确的是（)A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值0【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质,求出f（x)的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈，∴x+∈［，］，可得sin(x+）∈[，1]∴函数f（x）∈，故选:C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,属于基础题．10．点A，B，C,D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为（）A．2π B．4π C．8π D．16π【考点】LG:球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心,求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知,直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上,设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3,即×3×DQ=3,∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选:D．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值,是解答的关键，考查等价转化思想思想,是中档题．11．点P是双曲线的右支上一点，其左,右焦点分别为F1,F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A． B． C． D．【考点】KC:双曲线的简单性质．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2｜=|F1F2|=2c，设PF1的中点为M,由中位线定理可得｜MF2|=2a,再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．【解答】解:由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得｜PF2|=|F1F2|=2c,由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA｜=a,设PF1的中点为M,由中位线定理可得｜MF2｜=2a,在直角三角形PMF2中，可得｜PM｜==2b，即有|PF1|=4b,由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a,即2b=a+c,即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2)=（a+c）2，可得a=c,所以e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．设函数f'（x)是定义在(0，π）上的函数f（x）的导函数，有f（x）sinx﹣f’(x)cosx＜0，，b=0,，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x)cosx，则g′（x）=f′(x）cosx﹣f（x)sinx＞0,当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增,即可判断出结论．【解答】解:令g(x)=f（x）cosx，则g′(x）=f′(x)cosx﹣f（x)sinx＞0,当0＜x＜π时,g（x）在(0，π）递增,∵＜＜π，∴＜＜，化为:＜0＜，即a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了构造函数方法、利用导数研究函数的单调性、三角函数求值考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E满足，则=0．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据菱形中的边角关系，利用平面向量的线性运算与数量积定义，计算即可．【解答】解：如图所示，菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°，,∴=+=+，∴=（+）•=•+•=2×2×cos(180°﹣60°）+×2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的数量积和线性运算问题，是基础题．14．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于15．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3,3），化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+,由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．下列命题中，正确的命题序号是①③④．①已知a∈R，两直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1"是“l1∥l2”的充分条件;②命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0＜x02”；③“sinα="是“α=2kπ+，k∈Z”的必要条件；④已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”的充要条件是“a＞”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，a=﹣1代入直线方程即可判断;②，“＞”的否定是“≤”；③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z",“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”；④，已知a＞0,b＞0,则“ab＞1”⇒“a＞"反之也成立．【解答】解：对于①，a=﹣1时，把a=﹣1代入直线方程,得l1∥l2，故正确；对于②,命题p:“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0,2x0≤x02”故错；对于③“sinα=”不能得到“α=2kπ+,k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”故正确；对于④，已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”⇒“a＞”反之也成立，故正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，充要条件的判断,属于中档题．16．已知数列｛an}满足a1=2，且，则{an}的通项公式为an=n+1．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意可得，与已知关系式作差可得=，可判断出数列｛｝是以1为公比的等比数列,结合题意可知其首项为=1，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵，①，②①﹣②得：=an+1﹣an，整理得:=，∴=1，又=1，∴数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列,∴an=n+1，故答案为：an=n+1．【点评】本题考查数列递推式,求得数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力,属于中档题．三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程）17．（12分）（2017•银川二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求a．【考点】HP：正弦定理．【分析】(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；（Ⅱ）由条件和正弦定理求出sin∠ADB,由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解:（Ⅰ）由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB,…（2分）2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsi