考研数学强化班高等数学讲义汤家凤

一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题1•求以下极限：(1)lim11--133(2n-(3)lim.k3-1—pc=

k3nk2nlim卜n1]k(k-1)求以下极限:求以下极限:(2)nlimnn1+221nlim'Mln第一讲极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说1)31)+―—i：,4n2n种类二：利用重要极限求极限的问题求以下极限：x1)limcos—cosn-2xcos22x-(x2-0)；(n.1)n1lim-n1sin—；n求以下极限:(1)lim1sinx2x"01x3ln(1'2x)91tanxx"^<1+sinx丿种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1•求以下极限：(3)lim(4)limcosxx2/r(1)lim「1•tanx-Tsinx.x(1-cosx)2cosx)x-1]；3(2)limx01(3)limp>3xx0e_extanx—x(1-cosx)11(4)lim(•—■厂)；xtanxx0二、连续与中断的判断二、连续与中断的判断sinxAsinxA，求limf(x)~x2a-1x0x(3x)xx(5)limL；2；x0>xln(1.f(x))(6)设limx^02•求以下极限:

x2limcosx-eT3x0xsinx种类四：极限存在性问题：1•设x1=1,xn-1二xn二0,证明数列｛xn｝收敛，并求X'limxn。n>：-2•设2•设f（x）在［0_::）上单一减少、非负、连续，an，证明:-[-f(k)f(x)dx(n1,2,-)1liman存在。n-iSiniSinnxdx;1.求limdx;1n02lim(an+bn+cn山(a,b,c非负)；•n1xnl2丿种类六：含参数的极限问题:1.设lim(x3sin3xax2b)0，求a,b；x02.设2.设limxr'：X1.1一_axb)二3，求a,b；种类七：中值定理法求极限:1、limn种类七：中值定理法求极限:1、limn2(arctan__arctann)；1112、limx2(e2xL_e2x-1)。x厂：种类八:变积分限函数求极限:种类八:变积分限函数求极限:・x・xetcostdt01、ln(lx),X0，议论函数f(，议论函数f(x)在x二0处的连续性。00在^0处的连续性。设f(X)=0,x=02.议论f(x)=(2x-1)：(2x“1),x-1,x二0三、连续性命题的证明1•设f(x)「C［a,；)且limf(x)存在，证明f(x)在［a,“：：)上有界。2•设f(x)在［a,b］上连续，任取p：・0,q.0，证明：存在「•:：(a,b)，使得pf(a)-qf(b)二(pq))f()。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习(略)要点题型解说(一)与导数定义有关的问题f(X。+ph)—f(X^ah)1•设f(x°)存在，求limh02・设)hlimf(x)2，求f(1)。在x_1处连续，且〉丁一「x13•设f(x)在(八，)上有定义，对随意的x,y有f(x•y)工f(x)f(y)，且f(0)=1，求f(x)。4.设f(x)二阶连续可导，且limf(x)二1，f(0)二e,贝【Jlimef(x)2-exx0xx'bx5•设f(x)在()上有定义，且对随意的x有f(x十1)=2f(x)，又当x甲0,1］时，有f(X)二x(1一一X2)，议论f(x)在x=0处的可导性。(二)各种求导数的问题1X设yeex，求y；X_sin1,_厂1+x1Xarctan__■.设y=e1x，求y；3.y二x(x-1)(x2)…(x-100)，求y(0)，y(101)；12当12当X丄0时，f(x)，于是12当12当X丄0时，f(x)，于是x_t_ln(1*t)设y二f(x)由一—d设xy_yx，求_,—dx2dx_t_ln(1*t)设y二f(x)由一—d设xy_yx，求_,—dx2dy；确立，求一^；dx2dy设exy+tan(xy)二y,求_dxx=0「X设y=y(x)由tet确立，求ty2tant23siny二5dydxsinx十2aex,x<0在x09arctanx-2b(x_1)3,x；•=0处可导，求a,b；9・(1)设y求以下函数的导数：2xCOst2dt'求⑮；0Xtf(t210•设f(x)连续，(2)设yx2,求dy(x)dxdxf(x)A，求(x)，并议论(x)在x0处f(xt)dt，且lim=A=的连续性。11•设f(x)=*11•设f(x)=*g(x)_cosx,xxa,x二0.0此中g(x)二阶可导且g(0)1二。(1)时，(1)时，性。解答:f(x)在x=0处连续；(2)求f(x)；(3)研究f(x)在x=0性。解答:.g(x)]limf(x)二1img(x)「cosxJim[g(0lg一工°竺]x0x0>xx〉0xx二lim[g(x)-g(0),1-cosX]二g(0),x0’于是当a二g(0)时,f(x)在x二0于是当a二g(0)时,f(x)在x二0处连续。(2)当x0时,f(x)limx0g(x)_cosxg(0)g(x)_cosX_g(0)x二limx0_f(0)_limxxx〉0・xsinx1limg(x)-g(0)一[1g■(0)],x02x2即f(0)[1-g(0)]；x[g(x).sinx]g(x).cosx种类一：目标表达式中仅含种类一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶研研学▼/亠I—7等学少［/义♦厂凤limx[g(x)sinx]_g(x)-cosxlimx[g(x)sinx]_g(x)-cosxx013•设f(x)”戛先沽户，求f(x)'并议论f(x)的连续性和可导性。1_[1.g(0),X二0f(X)f(X)二x[g(x)sinx]_g(x)cosx,lim0xlim0x3(3)由于limf(x)_2.g(xx0-lim[sinx_g(x)_2cosX]二_[1_g(0)]二f(0),xo'xx2因此f'(x)在x0处连续。12・设f(x)在［_1,1］上可导，f(x)在x二0处二阶可导，且'f(0)=0,f(0)f(x)_f[ln(1+x)](三)高阶导数问题1.设y二exsinx，求y(n)；2•设yln(x2_3x2)，求y(n)o3.设f(x)虫ln(1-x2)，求f(49)(0)o第二部分一元函数微分学的应用内容复习(略)附：中值定理部分的推行1•设f(x)在XhX。的邻域内n阶连续可导，则有f(x)()f(x)=f(Xo)f'(x0)(X_X0)』o(Xx)n.0((X公o)n)on!(a,b)，不如设2•(导数零点定理)设f(x)「C［a,b］，在(a,b)内可导，且f(a)f(b).0(a,b)，不如设使得f()二0o•(导数介值定理)设设f(x)「C［a,b］，在(a,b)内可导，且f.(a)庐f(b),f(a):::f_(b)，则对随意的-［f，(a),f(b)］，存在(a,b)，使得fC¥"o.设f(x)£C［a,b］，且f(x)：0(::0)，则有f(x)=Qf(x0)'f(x0)(x—x0)，等号成立当且仅当x二x0o要点题型解说(一)中值定理等式的证明

1•设f(X)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=1,f⑴二0,证明：存在’(0,1)，使得2f()f()二0。2•设f(x)在［0,1］上可微，且f(1)二3：ex」f(x)dx,证明：存在•「:(0,1)，使得f(')f()二0。13・设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，f(0)二0,f(—)=1,f⑴二0。证明：12存在-■(—?1)，使得f()二；2对随意的k)，存在i勺(0,)，使得f()-k［f(切」。二种类二：目标表达式中含两此中值1•设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0，证明：存在,--(a,b)，使得f()_eb_eae_f()b-a2•设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a)二f(b)=1，证明：存在「(a,b)，使得f()-fI)二e一;3•设f(x"C［0,1］，在(0,1)内可导，且f(0)二0,f(1>1，证明：对随意的正数a,b，存在,•:(0,1)，使得—ab-ab。f(§fG)1,2,3■'(a，b)，使f(11,2,3■'(a，b)，使f(1)(ab).种类三：目标表达式中含有端点和中值1•设f(x),g(x)［a,b］，在(a,b)内可导，且g(x)-0，证明：存在：(a,b)，使得f(a)-f「)_f()。g()-g(b)g(-)种类四：目标表达式为f(n)(')41・设函数f(x)在区间［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)■f(2)二3,f(3)1,证明：存在Ee(0,3)，使得f■(0=0。3•设f(x)在［0,1］上三阶可导，且f(0)二f(1)二0,H(x)二x3f(x)，证明：存在.••-'(0,1)，使得H()二0。4.设f(xp=C［a,b］，且f(a)f：(b)<0，证明：存在©e(a,b)，使得f(工=0o种类五：目标表达式为f(n)()=C0(此中C0为常数)1•设f(X)•“C［a,b］，在(a,b)内二阶连续可导，证明：存在(a,b)，使得f(b)_2f『a+b】卡f(a)=(b—a)2f心)。一I2丿"4一2•设f(x)在［_1,1］上三阶连续可导，且f(-1)二0,f⑴J,f(0)二0，证明：存在—(一1,1),使得f…(J二3oan为n个不一样的实数，函3•设％va2：二一：二数f(x)在［a1,an］上有n阶导数，并知足f(a1)=f(a2)二…=f(an)=0，贝ij对每个cf［a1,an］，存在■■-(a1,an)知足等式f(C)二(CJ)(Ca；)…(C之“)f(n)()on!(二)中值定理不等式的证明1・f(xp::C［a,b］，在(a,b)内可导，f(a)二f(b)，且f(x)不是常数，证明：存在;；乞(a,b),使得f(').「0o2•设f(xpC［a,b］，在(a,b)内可导，且曲线y二f(x)非直线，证明：存在(a,b)，使f(b)_f(a)得lfL)P一仁一o3.f(xpC［a,b］，在(a,b)内二阶可导，且f(a)二f⑹二0,f(a)::0，证明：存在厂(a,b),使得f()：二0o4•设f(x)在［a,b］上知足f'(x)L2，且f(x)在(a,b)内取到最小值，证明：If'(a)IIf(b)I匕2(ba)。研研学▼/亠I—7等学少［/义♦厂凤(五)不等式的证明问题(五)不等式的证明问题5・f(x)二阶可导，且f(0)二f⑴二0,minf(x)=_l，证明：maxf(x)二8。olLx'10xii6•设f(x)在［a,b］上二阶可导,f(x)-0,对随意的xf[a,b](1丄i±n)及%0(14n6•设f(x)在［a,b］上二阶可导,f(x)-0,对随意的xf[a,b](1丄i±n)及%0(14n)，证明:f(k1x「k2*••knxn)■:k1f(x1)■岭f(x)knf(x)。7.设limf(x)_1且f(x),：0,证明：f(x)x。x0x8•设f(x)在［0,=)上有定义且f乙x八0,f(0)二0，证明：对随意的f(ab):::f(a)f(b)。9•设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)二f(b)二0，证明：存在u(a,b)，使得|fC)14|f(b)_f(a)|/(b_a)2。10•设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|M(M：,0)，证明：对此邻域内任一不一样于x0的a，有|f(x°JAf⑹2f(x。)丿心x0)2,12(ax°)2此中b是a对于x0的对称点。11•设f(x)在［0,1］上二阶可导，f(0)二f⑴且|f"(x)乜2，证明：对随意的x［0,1］，有|f(x)|1。12•一质点从时间t二0开始直线运动，挪动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时辰点，其加快度绝对值不小于(三)求中值定理中?的极限问题1•设f(x)二阶连续可导，且f(x)=0，又f(x■h)二f(x)f(x•二h)h(0叮T叮1)。证明:lim二1―2h02•设1x：；,x-0)，证明：一土n(x)—1。2&+日(x)4“2(四)与极值、最值有关的命题1•设1•设f(a)f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，知足f(x)f(x)g(x)_f(x)二0，且二f(b)二0(ai：b)，证明：f(x)三0(x.-：[a,切)2•求数列{\n}2■中的最大者。

1•设f(0)二g(0),f(0)=g(0),f(x)：：.g(X)(x.0)，证明：当X：0时，f(x)g(x).证明：1xln(x-1-x2)^.1x2o•证明：当x0时，有(x2_1)Inx_(x」)2ob2(b_a)•设ba.0,证明：lnaa+b•当x.0时，证明arctanxJ21oln(1故)一2方程根的个数议论•议论方程xex二a(a.0)的根的个数。•设［0＜：0内有f”(x)..0，且f(0)=—1,r(0)2，证明：f(x)0在(0,■：:)内有且仅有一个根。x-3•证明方程lnx二—_［丿_COS2xdX在(0,+*)内有且仅有两个根。e‘0选择题1•设f(x)在x0处二阶可导，且limf(x)f(x)二2，贝ij()X：・0X(A)f(0)是f(x)的极大值.(B)f(0)是f(x)的极小值.(c)(0,f(0))是曲线y二f(x)的拐点.(D)f(0)不是f(x)的极值点，(0,f(0))也不是曲线y二f(x)的拐点.2.设f(x)二阶连续可导，limf(x)—2，则()T(X-2)33x(A)f⑵是f(x)的极小值；(B)f⑵是f(x)的极大值;(C)(2,f(2))是曲线y二f(x)的拐点;(D)f⑵不是函数f(x)的极值点，(2,f(2))也不是曲线y二f(x)的拐点。3•设f(x)二阶连续可导，且limf(x)二」，则()Xbx(A)f(0)(A)f(0)是f(x)的极小值;(B)f(0)是f(x)的极大值;(C)(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点；(D)x=0是f(x)的驻点但不是极值点。x4•设k0，则函数f(x)*nxk的零点个数为(A)0个；(B)1个；(C)2个;(D)3个。ii2十-L5•曲线y_x2一'"e>1的渐近线的条数为x+1(A)O条;(B)1条;(C)2条;(D)3条。第三部分多元函数微分学内容复习(一)基本观点1•多元函数的极限：设z二f(x,y)的定义域为D，Mo(xo,y°)为平面上一点，若对于随意的<：；(x—®)2■(y-yo)2-：：：二时，有If(X,y)AI则称f(x,y)当xyo时以A为极限，记为limf(x,y)二Aox「xoy%2・多元函数的连续：设z二f(x,y)在点Mo(xo,yo)的邻域内有定义，若limf(x,y)二f(xo,yo)，xxoy'yo则称函数z二f(x,y)在点Mo(xo,yo)处连续。3•偏导数：设z二f(x,y)在点Mo(xo,y°)的邻域内有定义，若f(x_f(X,y)zlim——0―•乂沟)一o~L存在，称函数二f(x,y)在点Mo(x0,y0)处对x可偏导，极限■x>0\xf记为fx(xo,yo)，zG(xo,yo)(xo,yo)f(xo,y°+占yLf(xo,yo)；若1im存在，称函数z=f(x,y)在点Mo(xo,Yo)处对y可偏导，极限记为fy(x°,y°)Ey,cy(xo,yo)(xo,yo)4•可微与全微分：设z二f(x,y)在点Mo(xo,y°)的邻域内有定义，记Ft(xo•dy°*y)f(xo，yo),Byo(；?)，此中A,B为常数，—'、(哎)2'(■y)2，则称z二f(x,y)在点Mo(xo,yo)处可微，称A^xB5为f(x,y)在点Mo(xo，y°)处的全微分，记为dz二AxByo讲解:若z二f(X,y)在点Mo(x)‘yo)处可微，则;f,B二若z二f(x,y)为可微函数时，dz二一dx(xo,yo)-f・fry,；y(xo，yo)y55•方导游数：设z二f(x,y)在点M°(Xq,y°)的邻域内有定义，从点Mo(%,y°)印一条射线1，55•方导游数：设z二f(x,y)在点M°(Xq,y°)的邻域内有定义，从点Mo(%,y°)印一条射线1，(2(2)(2(2)设M(X)+AX,y0+4yEl，令P=J(Ax)2十(③)2。f(x若lim0',y0'，y)—f(X)‘y。)存在，称此极限为函数「■o「「z二f(x,y)在点M0(x0,y°)处沿射线l的方导游数，记为£|%fil讲解:♦r(1)设z二f(x,y)在点M0(xo，y°)处可微，贝口Mof:l：xIMqCOS?fJm。Sin;y为射线l与X轴正方向的夹角)。()设u二f(x,y,z)在点2Mo(xo,y。,zo)处可微，则fMoCOSflCOS•」MoCOS，(此中，为射线l与x轴、oj-»Oj-ho<yczf|M二企IM0■l-xy轴、z轴正方向的夹角)。6•梯度：设u二f(x,y,z)为二元可微函数，称田i二匚,匚Xu,:u:x:y・zzuzuctcr—J■——k二.j—i£j—aj—i:y:z!汀x:y-z0u二f(x,y,z)的梯度，记为gradf(x,y,z)二二i.:X讲解：梯度的方向即为函数在一点处方导游数最大的方向，梯度的模即为方导游数的最大值,ff由于二__COS.l:XfcCOSOf+—f—L_COS&小.：u7匚u『COS-，COS'.,COS'、r\4、x.y:z|2COS二(此中芒为1与gradf的夹角)，2f2f、韦:丿1・2.因此当卫二0时，COS二1，此时方导游数最大，且最大值为偏导数求法显函数求偏导数；复合函数求偏导数：dzz二f(u,v)，此中u二「(t),v二:-(t)，求—；dtzz二f(u,v)，此中u二u(x,y),v二v(x,y),求二，:z；二x「yz二f(u,v,x)，此中u=u(x,y),v=v(x,y)，求仝□一；8x®3•隐函数(组)求偏导数:dy(1)设F(x,y)二0，求—；dx(2)设F(x,y,z)0,求产，：忆；9；xjy『dzdz(3)设F(x,y,z)二0,，求_，_；G(x,,y,z)=0,dxdyLrF()0uuvv(4)F(X,y,u,v)=0,，求:及f|G(x,,y,u,v)=0,Jx：yxyfi多元函数微分学在函数极值上的应用1•无条件极值求函数z=f(x,y)极值的步骤：(1)确立函数z二f(x,y)的定义域;zx二0(2)由彳求出函数的驻点;0a二fxx(x0,y。)a二fxx(x0,y。),B二fxy(x0,y0),Cfyy(x0,『0)，当A0时，(x0,y°)为极小点；当A0CaseI若AC_B当A0时，(x0,y°)为极小点；当A0时，(x0,y°)为极大点。CaseII若AC一B20,则(x0,y0)不是极值点。CaseIII若AC_B2二0，则没法确立点(x°,y0)能否为极值点。2•条件极值在■(x,y)二0下求函数z=f(x,y)的极值点与极值，采纳Lagrange乘数法，步骤为:(1)令F二f(x,y),；、：(x,y)；Fx二L二0由Ff0求出可能的极值点;yyyF厂“x,y)二0对可能的极值点进行确立。多元函数微分学在几何上的应用(数学一，该内容包括在空间分析几何部分)1•空间曲线的切线与法平面x二-：(t)(1)设1:y二(t)，取参数t=t0，对应的曲线上的点为M0(x0,y°,z0)，切线的方向向z-(t)量为T二{■.(5),•・(t°):&)},切线方程为:x_xy_yz_Z0—0—0■-：(t0)'■(t0)-■(t0)法平面为:A(t0)(x-x0)W(t0)(y—y0)+馥0)(z_z0)』o(2)设：F(x,y,z)二0[，点M0(x0,y0,z0)w「，则切线的方向向量为G(x,y,z)二0Tftttf,TNFx：F；,Fz}{Gx,Gy,Gz})2•空间曲面的切平面与法线Mo设空间曲面龙：F(x,y,z)=0，点M0(x},沁环)芒E,则切平面的法向量为n{Fx,Fy,F：},Mo切平面方程为：Fx'(M0)(xx0)■Fy(M0)(yy0)■Fz(M0)(zz0上0,(zz)0。法线方程为：(x礼)二(yyj二F：(M。)F；(M0)F；(M。)要点题型解说(一)多元函数的观点、1•求以下极限：极限与连续sin(xy)(1)(1xy)x2(2)limx-0y0议论函数f(x,y)一xy,(x,y)(0,0).x2-y2在点(0,0)处的连续性。0,(x,y)二(0,0)议论函数f(x,y)x2y=x4'y2,(x,y)(0,0)在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性。0,(x,y)二(0,0)议论函数f(x,y)1xysmI\/x2+y：0,(x,y)二(0,0),(x,y).二(0,0)在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性。(二)偏导数的求法C2U设u=xyz，求duC2UTOC\o"1-5"\h\zxy设f,g二阶连续可微，u二yf()xg(),yx设f(t)二阶可导，g(u,v)二阶连续可偏导，且设f(t)二阶可导，g(u,v)二阶连续可偏导，且;x:y

二f(exsiny,x2一y2)，且f二阶连续可微，求：：2zfix破二f(x_y.g(X_y_z))，此中f,g可微，求：/，/ex:y=f(z),且z是由z=y--xz)确立的x,y的函数,f(z),臥f(z),臥z)可微，证明:「=■(z)「y-f(x,t),且t是由G(x,y,t)_°确立的x,y的函数,f(x,t),G(x,y,t)可微,dy求—dx-亠「y-f(x,t),且t是由G(x,y,t)_°确立的x,y的函数,f(x,t),G(x,y,t)可微,dy求—dx-亠0，且F可微，证明：x■y1.■xcyzxy设u二f(x,y,z)连续可偏导，且z二z(x,y)由xex_yey二zez确立，求duo10.ySzx^z_(yx)z，若经过变换uK-LJ~・\:x:yx2.y2亠x11,w」nz(xy),其中yw二w(u,v)，求原方程化成的方程形式。解答：由1w=1z?xz:x1;w二1*z这z「yw),：z二z(1x-:yw),w又w.u_wv_2x=C:ux2yC:ux2yw代入原方程得—cv11・f(x,y)知足方程(空)2•(兰)2二4，利用訂x:y1x二uv,y二(U2_v2)把函数f(x,y)变为2g(u,v)，且知足a(乂_b()2二u2.v2，求常数a,bo二7(u2_V2)]，解答：g(u,v):u1二f[uv,_2:gfv'u二u:xy-f-fu_v、，代入上述关系式得:x-yf)2_b(uyf|FR-二xvf)2=u2-V2，即-y(av2_bu2)口丿2(2a•2b)uv_ff•(au2_bv2)(」)2-n.cfC「x二x二y-y研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤则2a亠2b-0,a二_b，于是TOC\o"1-5"\h\z）f1a（u2v2）［（：f）2一（：「）2］=u2v2，进而a=_，bSxcy4（三）偏导数在极值上的应用1•求由方程2x2■2y2■z2■8xz工・8二0所确立的函数z二z（x，y）的极值。4x_8z4y解答：由zx0,zy0得x二一2z,y二0，代入原方程得z+8x_1y］gz+8x_1z1二】，3=-8，因此驻点为（_2,0），（，0）°747z叶zz在（_2，0）处，Axxv,Bxy二0，Cyy二-4，AC_B2二〔0，A：一.0，函数在1515225z二z（x,y）取极小值z二1；（16_4，AC_B2二160，A0，函15225在（_,_4，AC_B2二160，A0，函15225xxyy71516数在点（—,0）处取极大值z二°772•求f（x，y）二x3—4x2，2xy—y2在地区D二｛（x,y）LI匕x_4,J<y1｝上的最大值与最小值。解答：由|L=解答：由|L=3x2_8x2y0二!得fy二2x-2y二0■x0,-，根据判别法知f（0，0L0为极大值。令y二0:x二_1（—1_y二1），L2:y二_1（—1三x「4），L3:x二4（1my二1），均：y二1（—1二x4）在f（-1,y）单一减少，故L］上f（―1，y）二—5—2y-y2，由于f（—1，y）二f（-1,y）单一减少，故f（―1，—1）二-4最大，f（--l」）二—8最小。在L2上f（xj）二x3_4x2_2x1，令f（x，_1）二3x2_8x_2二0，min{f（一1，_1），f（x1.1），f（x2一1），f（4,_1）}二一-4422-226一,274422226-%27max｛f（1一1），f（X］，一1），f（勺，一1），f（4,一1）不分别为f（x，一1）在L?上的最大值27与最小值。近似可得在L3上f（4,y）的最大值与最小值分别为f（4，1）二7与f（4,-1）二--9，在L4上f（x,1）的最大值与最小值分别为f（4山7与f丄1，1L_8，综上所述，f（4，“7与

■f鲁,1)3/-4422-226分别为f（x,y）在D上的最大值与最小值。—273•求函数Z二X2-12xy•2y2在地区D:4x2•y2525上的最值。解答:(1)在42+2叮25内,由.—中得x二0,y0xyzx2x12y0,zy12x4y0J(2)在42+252二二2-+2+扎汁2—xy上,令Fx12xy2y(4xy25)，Fx二2x12y8・x二03由Fx二2x12y8・x二03由Fy=12x4y-2:y=0得(x,y)二(士2,二3),G：黄4)，2F二4x2•y2-25二0r1由于z(0,0)0,z(：：2,二3)=_50,z(...1\.4)二106因此函数在地区上的最大值为41106—，最4小值为-50。4•求椭球a2b2c2二1（a：•0,b：0,c：.0）内接长方体的最大概积。解答：设内接长方体在第一卦限的极点坐标为(x,y,z),则V二8xyz。令F二xyz•，兰Y2■Z21),TOC\o"1-5"\h\za2b2c22x2:y2:zx2y2z2由Fx二yz0,Fy二xz0,Fz■二xy0,F1二0得a2a2a2a2b2c2X二.兀，y=-bi,z二_c_..，则最大概积为Vmax二8.3abc。厂厂1■-3-39（四）偏导数在几何上的应用、、x61•求曲线.2一y2一z2二在点（1,_2,1）处的切线与法平面。xyz二0作曲面222_3x'y作曲面222_3x'y"z=27的切平面，求此切平面方程。2•过直线ix•y-z二0解答:Fxyz二x解答:Fxyz二x2y2_z2(,,)327,J{6x,2y,2z}则，过直线的平面束为10x■2y2z27.■(x-yz)0亍其法向量为{10•：2。设所求的切点为（x0,y。,z0），贝惰(10「)/6x0二(2「)/2妒(2「)/2z03xo2•y。2-z02-27=0(10…九)®(2…占一)>0-(2X)z°二0「(x,y,z)=(3,1,1)「(x,y0,z0K3,_1717)解得，，.「1或许，.「19'故所求的切平面方程为9x-y一z270=或许9x17y丄7z27二0。3•曲面4z二X2■y2上一点M的切平面为二，若过：的曲线「:y二t在t二1的切线为z二3(t_1)L，求平面二。xz解答：切线L的方程为一1_y—l_，曲面上点M(x0,y°,z0)处的法向量为2一1一3一xyn={0，°,1}，22(0，即则切平面方程为令(X—“)+%(y—y0)—(z_z)—xx0中yy0_2z=2z0。22由于L-，而(1,1,0),(3,2,3)一L，因此3Xx0■yo=2z0o-2y0_6=2z0，解得切点的坐标为x2■y2二4zo(12,.!,7)或许(222),555故平面二:6x-3y-5z=9或许二:x-y-z=2。x24•设曲面S:-y22z21，平面4，平面二的法向量为，平面二的法向量为n2二{2,2,1},(1)求曲面S上与“平行的切平面；

解答：(1)S上M处切平面法向量为

(2)曲面S与平面-之间的最短距离。z}2由「乙由「乙x__zn//n2得2一2一1M1(1,戒M2(2或x二2t,y=t,z=2t，2t1」，，_1)，切平面方程为2x2y2

代入S得二…Lt一2，则-z4二0或许2x■2y・ii・z•4D。x(4x(4-x)•,1xx2x(4x(4-x)•,1xx22取n{2,3，1},则n{ffo12取n{2,3，1},则n{ffo1z26x2—8了-2，因此£u_匚ucn|pX|p2:u14「yip3X—=414z|P14117TOC\o"1-5"\h\z31,,}，而u6x,u8ycc1414,14訂xz6xdx；-8y2.；yz,6x2-8ydx；第三讲积分学第一部分不定积分内容复习（略）

要点题型解说（一）积分观点与直接积分法smx•设f（x）的一个原函数为，求・xf-（x）dx。x・e|x|dx。3.max(1,x2}dxo（二）换元积分法1•计算以下不定积分1(1)dx；■x5x62x4dx；x5x62(2)■x2■2^■2x3.丄2100x(l十x)dx；dx；dx；x22x•21x7dx；x(1x7)——dxoJ+x42•计算以下不定积分(1)rex卡dx；e，5'(3)广ln(x+珂1左)+dx；(4)(1+x2-g(2)11—COS_-dx；xx2x3(xlnx)2(1』nx)dxo(5)idx；(6)1'xInx(1+xIn2;0L(x—Inx)3•计算以下不定积分()1；1fdx'()12[“Jex+1ex(1*e2xInx■2dxo)1-Inx4•计算以下不定积分2dx；xdx；(4)设(4)设f(x)C[£,怎]，且f(X)二(5)(4)设(4)设f(x)C[£,怎]，且f(X)二(5)(3)dx(1)cotxdx；■9(2)rcos2xdx；■Jsinx13+sinxcosx(3)dx•9(4)sin2x|"dx(aJa2cos2x+b2sin2xsin2x+2cos2x■(5)rsinx—cosxdx；(6)「1dx；5•计算以下不定积分(7)b）二；12tanx(cosx'sinx)5i+sinxedx.x1cosx1(8)sinxdx；，1+sinx(10)dx；1■sinxcosxdx。.2sinx-cosx（三）分部积分法计算不定积分2arccotxdx第二部分定积分及其应用内容复习（略）要点题型解说（一）基本不定积分的计算1•计算以下定积分(1)(3)L(1+sin4x)dx；44sin2x；烝21dx

e4x(2)I(5)7T■••[■xJsm2x—Sin4xdx；0(1x2)ndx；x予+护0(1x)2-1ln(1-x)dx;xe01x220cos6-xdx02•计算以下定积分(1)-sin7x21(_12101)dx；1+1cosxn_(2)|IcosxIdx；0n'l：xIcosxIdx；x+1cos2x7Tf(x)sinxdx，求f(x)；设f(x)二xet2dt，求1x2f(x)dx'10(6(6)设f(x)可微，且f(0)0,F(x)_rxtn_if(xntn)dt，求limF(x)。(6(6)设f(x)可微，且f(0)0,F(x)_rxtn_if(xntn)dt，求limF(x)。99•设f(x)_0为以T为周期的连续函数,99•设f(x)_0为以T为周期的连续函数,X2n3•设f(x)__1,x1十2xi-匕I4■x12*,x0，求5f(x_1)dxo-1F(x)二x(x_2t)f(t)dt，证明:一0(1)若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数；4•设f(x)为连续函数，且(2)若f(x)为非增函数,

则F(x)为非减函数。5•设g(x)为可微函数,f(x)为其反函数(x.0)，且f(xg(t)dt01_3(x_2_8)，求f(X)。3x口6.设etdtxexh(1弓求0

(2)求lim-及lim。x0x-77•设f(x)三C[a,b]，且f(x)dx_rbxf(x)dx_0，证明：函数f(x)在(a,b)内起码两个零点。(二)定积分等式的证明f(x).C[a,b],证明:f(x)£C[a,b],证明:f(x)dx二bf(a_b_x)dx。af(x)dx二(ba)f・[a+(b里)x]dx0f(x),g(x)在［a,b］上连续，证明：存在(a,b),使得f(0lg(x)dx=g()广f(x)dxof(d)f(x)二A,g(x)为偶函数,1)证明:af(x)g(x)dx二Aag(x)dx；(2)计算0f(x)是连续函数，证明:f(x)C[2,4],f(3)二0,f(x)；一C[0,a]，证明:f(x)在区间［0,1］上可导,2IsinxlarctanexdxoJT2[『f(t)dt]du=fx(x_u)f(u)duo00证明：存在f(x)dxf(1)20(2,4)，使得f(-)二34f(x)dxo■af(y)dy=丄[「f(t)dt]2o2・x01■2x2f(x)dx，证明：存在匚柱0(0,1)，使得1f(t)dt二—T'0Tf(t)dto2maxIf(2maxIf(x)Io40<<2maxIf(2maxIf(x)Io40<<10•设f(x)在［a,a］(a0)上二阶连续可导，且f(0)=0。写出f(x)的带拉格郎日余项的一阶马克劳林公式；证明：存在龄运［fa］，使得a3f从)=33f(x)dxo11•设f(x)在区间［a,b］上二阶连续可导，证明：存在(a,b),使得f()f()24ff(x)dx(ba)f丄aab(ba)3(三)定积分不等式的证明设f(x)C[a,b]，证明:(rbf设f(x)C[a,b]，证明:(rbf(x)dxlI(b_a)■bf(x)dxoa设对随意的x,y-［a,b］，有|f(X)—f(y)x-yI，证明:2(n■1)2(n-】)设f(x)C［a,b］且单一增添，证明:bxf(x)dxa2(n■1)2(n-】)设f(x)C［a,b］且单一增添，证明:bxf(x)dxaa：；；b2■bf(x)dxoa设f(x)在(0,治〔：」)上连续且单一减少，证明:n1f(x)dx1f(x)「C［0,1］且单一减少，证明：对随意的-f(x)dx0tn+|f(x)dxo1-1f(x)dxofa0If(x)dxf(a)(ba)I(ba)2b--匕・aJI设an二球tannxdx(n.2)，证明:00，证明:f(x)在区间［a,b］上连续可导，且0，证明:b2(b_a)2f(x)dx上af(x)在［a,b］上连续可导，且f(a)二f(b)证明:1If(x)I—b|f2a(x)|dx(af(x)在［0,a］上连续可导，且f(0)=0，证明:af(x)dx0Ma2此中MmaxIf(x)I。f(0)f(0)二f⑴二0，证明:10•设f(x)在[0,1]上连续可微，且11f(x)dx<—01111•设f(X)在［a,b］上连续可微，证明：对随意的x［a,b］，有1111•设f(X)在［a,b］上连续可微，证明：对随意的x［a,b］，有1f(x)丨jflf(x)Idx+flf(X)Idx。_a-b—oc,—oc,+X?)有If(X)+f(x)I0，证明:12•设f(x)有界，且f(x)连续，对随意的x(■■If(x)I匚1。13.设f(x)连续可导，且maf(x)-二M，(1)求lim..2a014a(1)求lim..2a014a(2)证明：I—2a■1|a(f(t+a)_f(La))dt；-aaf(t)dt_f(x).IMm。-a14•设f(x).：：0,x三［0，1］，证明:-1f(x2)dx匕01f(_)。3-he11•『「dx；2•fl+x2dx；dx3•f3;［ex2中X41J(x—1)(3—x)4•芒dx。-h<!5•|f-dxor?dX6•'271X乂3(X1)4Jx2_2XJ1r0/・■Jix—x2I2V(四)广义积分(五)定积分的应用2Insinxdx。0(1)证明存在C.：(0,1)，使得在区间［0,c］上以f(c)为高的矩形面积，等于区间［c,1］上以y二f(x)为曲边的曲边梯形的面积。(2)设(2)设f(x)在(0,1)内可导，且f(x)f(x)，证明(1)中的c是独一的。x2•求由圆x2■y2=2y与抛物线y玉2所围成平面图形的面积。3•求双纽线(x2y2)2二a2(x2—y2)所围成的面积。•求由曲线y二4-X2与X轴围成的部分绕直线x3旋转一周所成的几何体的体积。•设f(x)知足xf(x)-2f(x)二-x，由y=f(x),x=1及x轴(x..0)所围成的平面地区为D，若D绕x轴旋转一周所围成的几何体体积最小，求：(1)曲线y二f(x)的方程；(2)曲线的原点处的切线与曲线及直线x1围成的图形面积。6•为消除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。设井深30米，都自重400牛，缆绳每米重50牛，抓斗盛污泥2000牛，提高速度为3米/秒,在提高过程中，污泥以20牛/秒的速度从抓斗中遗漏。现将抓斗从井底提高至井口，问战胜重力做功多少？第三部分二重积分与三重积分体的体积。体的体积。体的体积。体的体积。内容复习(略)内容复习(略)要点题型解说(一)重积分基本观点与性质•设fxy(X，y)连续，此中D二｛(X,y)Ia二X匕b,c£y如｝，求fxy(x,y)d。D•设D:x2+y2<r2，求lim1|^|-ex^^2cos(xQdxdy°r->*兀rln(1乜r)D丫3•设f(x,y),g(x,y)在有界闭地区上连续，且g(x,y)二0,证明：存在(',••厂D，使得f(,)g(x,y)Jf(,)g(x,y)JoJtarHD(二)二重积分的惯例计算_i互换积分序次4_i互换积分序次4d「.0yf(x,y)dxy11Qdy2f(x,y)dx4计算禺1x2ex2dxo'0y改变积分序次并计算2xdx._sin1■-x7x5•计算ydxdyy改变积分序次并计算2xdx._sin1■-x7x5•计算ydxdyy，此中D由2y2xdy..4一2dx-sinx4围成。二x2ydy，此中D由y=x及y=x2x围成。D6.计算(xy)dxdy，此中D:x2-y2二2xoD(三)奇偶性计算1•计算(xy2)dxdy，此中D是由y二x2,y二4x2及y二1围成的地区。D2•计算x2dxdy，此中D:x2-y2三4。Df(u)yx,x1,y1、设连续，地区D由3围成，计算x[1•yf(x2■y2)]doD(四)三重积分的惯例计算1.计算I二…xy2z3dv，此中V由z二xy,y二x,z0,x二1围成。VI='(1x4)dv,此中V由x2二y2■z2,x=1,x2。V2z求|j|'(x2一y2一z)dv，此中V是由一y2二绕z轴旋转一周所得曲面与z二4围成的几何]x=0V-研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤2zjr-4•求I=，(x2.y2)dxdydz2zjr-4•求I=，(x2.y2)dxdydz，此中是由y2二Qlx=0绕z轴一周所得旋转题介于之间的几何体。5・11‘！(x2-y2-z2)dv，此中V:1、x2■y2■z2<4,z斗J：x2-y2。V6•设f(u)可微，且f(0)二0,求lim1t4t0f(x2.y2.z2)dxdydz,此中J:x2-y2-z2t2。三重积分对称性及奇偶性的计算1•求Mf(X+y+z)2dv，此中V:x2+y2+z2兰1。tgV重积分等式与不等式的证明1・F1•设f(X)迈［a,b］，证明：ff(x)dxff(y)dy二_f(x)dxIo0x2—02•设f(x).［a,b］且f(x)0，证明:rbf(x)dxa:(b_a)2。(七)重积分的应用0)上，问R为什么值二在定球面1•半径为R的球面I中心在定球面x2•y2■z2二a2(a：二在定球面内的面积最大?2•高度为h(t)(此中t为时间)的雪堆在消融过程中其侧面知足z二h(t)2(X2-y2)，已知h(t)体积减少的速度与侧面面积所成比率系数为0・9，问高度为130的雪堆所有消融需要多少时间？第四部分曲线与曲面积分内容复习一、曲线积分(一)对弧长的曲线积分•问题的产生一曲线段的质量问题设L为曲线段，其线密度为i：：(x,y),求其质量m。任取dsL；dm二.:(x,y)ds；m二fp(x,y)ds。L•对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)称f(x,y)ds为函数f(x,y)在曲线段L上的对弧长的曲线积分(课本的观点简单认识)L•对弧长的曲线积分的性质卩f(x,y)茅(X,y)]ds=[f(x,y)dsg(x,y)ds；TOC\o"1-5"\h\zLLLkf(x,y)ds二kf(x,y)ds；LL|f(x,y)ds=ff(x,y)ds+ff(x,y)ds；LLiL2ds[(曲线段的常数)。L•计算方法一定积分法(1)设L:y二■■(x)(a兰x迅b)，则ds二.1•「'P(x,y)dx+Q(x,y)dy二”Pfcp(t),$(t)]P(x,y)dx+Q(x,y)dy二”Pfcp(t),$(t)]<p<t)4QHP(t冷(t)]$t)}dt。L方法二：格林公式定理设D为连通地区(单连通或多连通，单连通界限正向为逆时针方向；多连通地区界限正向是外圈为逆时针，内圈为顺时针)，其界限为L，P(x,y),Q(x,y)在地区D上一阶连续可偏f(x,y)ds二bf[x,.(x)]1•…2(x)dx。TOC\o"1-5"\h\zJsWLa(2)设x二(t)』岂匸)，则ds二.■-■■2(t)--.-2(t)dt，于是y八(t厂__f(x,y)ds二Jf[「(t),)(t)]，-.2(t).2(t)dt。L-■-例题1计算X2ds，此中L:X2y2二R2。L例题2计算(x2一2xy)ds，此中L:x2.y2二2x。L(二)对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)•问题的产生一功(1)理想状态(2)一般状态•对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)rP(x,y)dx+Q(x,y)dy=「P(x,y)dxQ(x,y)dy，称『P(x,y)dx为函数P(x,y)在有向TOC\o"1-5"\h\zJ・■・LLLL曲线段L上对坐标x的曲线积分(课本定义认识即可)。•性质：P(x,y)dxQ(x,y)dy二_P(x,y)dxQ(x,y)dyoLL•计算方法方法一：定积分法(1)设L:y二:(x)(起点x二a，终点x二b)，贝ijIP(x,y)dx+Q(x,y)dy二f{P[x#(x)]+Q[x,cp(x)]甲<x)}dx；La(t)(2)L:(起点t二.：:，终点t二！-)，贝y八(t)研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤导，则有导，则有QP・P(X,y)dxQ(X,y)dy=士□(匚匚)dxdy，D空羽此中界限时正向是取正号，界限为负向时负号。方法三：曲线积分与路径没关的条件在单连通地区D上，在计算曲线积分时，有时起点和终点相同但路径不一样，则曲线积分的结果不相等，有时起点和终点相同，而路径不一样，但曲线积分的结果相同，这就是曲线积分与+路径没关的问题，在单连通地区D上,'P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径没关的等价命题有Lq+=(1)对D中随意的关闭曲线C，有P(x,y)dxQ(x,y)dy0；C(2)在D内恒有•:：(柯西一黎曼条件)xy(3)存在u(x,y),使得P(x,y)dxQ(x,y)dydu(x,y)。J+若曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径没关，则LTOC\o"1-5"\h\zf+=j+=jrP(x,y)dxQ(x,y)dy(x1，yiP(x,y)dxQ(x,y)dyxiP(x，y0)dxy1Q(xx,y)dyL(xo,yo)xoyo增补：全微分方程及解法+=对微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0(*)卄二若J二，称P(X,y)dxQ(x,y)dy0为全微分方程，由曲线积分与路径没关的条件，存xy0，于是原方程的通解为在u(x,y)，使得P(x,y)dxQ(x,y)dydu，0，于是原方程的通解为u(x,y)C，此中u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy(xd,y此中u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy(xd,y0)X0P(x,y0)dxQ(x,y)dyo方法四：两类曲线积分之间的关系+=fa+PdxQdy(PcosQcosLL3a)ds，此中cosy0P,cos为有向曲线L切向量的方向余弦;a+(PcosQcosL余弦;a+(PcosQcosL++PdxQdyRdzL曲线L切向量的方向余弦。二、曲面积分(一)对面积的曲面积分(第一类曲面积分)卡YaP7Rcos)ds，此中cos,cos,cos为有向1•问题的产生一空间曲面的质量-■设为空间的有限曲面，其面密度为(x,y,z)，求其质量。匸S任取ds「；=rdm(x,y,・z)ds；

(3)m=rrp(x,y,z)dsoJJy•对面积的曲面积分称f(x，y,z)ds为函数f(x,y,z)在曲面[上对面积的曲面积分(课本定义认识即可)。y•性质：(与定积分近似，略)•计算方法一二重积分法对f(x,y，z)ds，不如将二向xoy面投影(也可向其余平面投影，要视二重积分的计算)(1)E:z二，x,y),(x,y”Dxy；(2)ds1(立)2,)2dxdy；i+(2)ds1(立)2,)2dxdy；i+excyf(x,y,z)ds二f[xy,(x,y)]工Dxy(二)对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)1•问题的产生一流量一z(J2:Xz(J2dxdyo■y设二为有侧的有限曲面，速度场为v二｛P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)｝，求单位时间内流入指定侧的流量。此中ds二｛dydz,dzdx,dxdy｝；dvdsPdydzQdzdxRdxdy(2)；•>(3)：」二PdydzQdzdxRdxdyo•对坐标的曲面积分的定义称PdydzP(x,y,z)匸甘为函数在有侧曲面一上对坐标y,z的曲面积分，以此类推。•性质：PdydzQdzdxRdxdy二_PdydzQdzdx<-Rdxdy4•计算方法方法一：二重积分法(以Rdxdy为例)(i)T:z二(-x,y),(x,y)Dxy；(2(2)jjRdxdy二土fJR[x,y,°(x,y)]dxdyDxy时取负号)(同理可研究其余两种状况)(当曲面的侧为上侧时去正号，当曲面的侧取下侧方法二：高斯公式定理设P定理设P为有侧曲面，门为其围成的几何体，且P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上一阶连续可偏导，则有研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤椭圆且方向为逆时针，则有椭圆且方向为逆时针，则有PRq.[PdydzQdzdx+Rdxdy丰屮(+&Q+点)dv。t:、、x:y:.z(此中曲面取外侧时取正号，曲面取内侧时取负号)方法三：两类曲面积分之间的关系rIPdydzQdzdxRdxdy二rr(Pcosa+Qcos$+Rcos)ds，此中cos,cos具,cos了为曲■■tatry龙面三上一点的法向量的方向余弦。三、斯托克斯公式定理设「为空间有侧曲面，其界限曲线为：，「的方向与的侧按右手准则确立，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)；PdxQdyRdzrdydzdzdxdxdyP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)；PdxQdyRdzrdydzdzdxdxdycosacospcos/errcodL・\l、・H卫昂gy浮yCx&ydzPQRPQRdso在包括二的地区内一阶连续可偏导，则有四、几个观点u:uu,?uf乂x,y,z)，则gradu{,,}；xyz、rvc要点题型解说GGC要点题型解说■•iT・■j-k2•旋度：设A二｛P,Q,R｝，则rotA二8込科器PQR3•散度：设A二{P,Q,R}，则divA(一)曲线积分部分1•(3x4y)ds,此中L:x2+(yf)2=1。L2•(x2.y2)dxxdy此中为ya2_•—丁2从点A(_a,0)经B(0,a)到C(a,0)的弧段。3I(xe2y)dy(xe)dxL是过点O(0，0)，A(O，1)，B(1,2)■•=L厂十十，y此中的圆周从点O到点B的一段。ydx_xdy22J+2，此中L为+二1从经B(0,1)到4求x2xlx24yyA(1,0)C(1,0)的曲线段°二—y—xccQ二P=x2"4y24y,Q+，由于dg+解答：Px2'4y2X24y2xy(x4y2)2，且p,Q在除原点的地区上连续可偏导，因此在除原点的单连通地区上曲线积分与路径没关，取L1:X24y21的上半

LL1而ydx一xdyydx-xdy0，即+二LL1而ydx一xdyydx-xdy0，即+二x24y2ydx-xdyydx-xdy,+*-+Lx24y2x24y2ydx_xdy二_2dxdy二_丄，因此■■ydx_xdy「。■-+x24y2L1L1D5•此中L是从点A(3,2)到B(1,2)的直线段。3解答：j72f(xy),丄[2(JPyQy2yfxyjQ，由于—Lx2+4y2f(xy)xyf(xy)y2x[(f(2))(一一f(2)x[(f(2))(一一f(2)2xx3f)]dx_4o21y2f(xydx±[y2f(xy)_1]dy=y26-［当三」此中A为常数―(1iL是绕原点O(0,0)一周的随意正向闭曲线'k7•位于(0,1)的质点A对证点M的引力大小为—(k-0,rJAMI)，质点M沿y二二2x)2r从点B(2,0)运动到(0,0),求质点A对证点M所作的功。解答：在弧BO上任取一点M(x,y),则r二x2.(y_1)2，质点A对证点M的引力为vFkr2{_x,iy,、严(y-1)2_xdx一(1_y)dyFkr2{_x,iy,、严(y-1)2_xdx一(1_y)dy，令P一i_yL3L[x2(y1)2卩3，Q[x2-(y-1)2]23[x2(y—1)2]2亠刃由于-二Gx进而Wk：P3x(y-1)-，因此曲线积分与路径没关,25-)。>[x2-(y-1)2]x3dxk(10二2-(x2-1)28•在力F二｛yz,zx,xy｝作用下，质点从原点沿直线运动到椭球y2z21上第一卦限ab2c22x2的点M(,,)，问当；,为什么值时，力F所作的功W最大？并求最大值W。解答：L:x二t,y二t,z二t(0&t1)解答：L:x二t,y二t,z二OMFFx二：-2—二0FFx二：-2—二0('2■-A—--a222I4b2-_1),c2由.J3则Wmax二Fz二abc(二)曲面积分部分1计算以下曲面积分:a22—=b22-C22-2-2-+—+2_b2c22([([)4y(1)I二._(2X——z)dS,S此中是平面Syz1在第一卦限的部分；2340■,2介于及1之间的部分。.x2y2zz二)収,此中是椎面dSS为fff(x,y,z)dS，此中x2hr■yI二x2+y2+JdSS2・F(t)二y2•z2二t2(t：,0),f(xf(x，y,z)二x2：；：・y，z_,X2-y20,zv二x2y2解答：把二分为1:x2则y2z2二t2(z：Ux2-y2),匕2:x2・y2■■z2二t2(z「X2•y2),.f(x,y,z)dS二0,y-21(x,y,z)dS二y(x2+y)dS二仃x2dS=丄”(x2+y2)dS,yyT'T1在xoy平面上的投影地区三为Dxy:x2•y2逐口,由二1:z二2yf(x,y,z)dS二"TdS二tdxdy,F(t)=「j(x2十y2)dS二「j(x2+y2)t.dxdyt2一x2_y2「…223・设S为x2Dxyt2-x2-y21y2z2=4(z0)的外侧,求.yzdzdx2dxdy。S4.设f(x,y,z)为连续函为数，丄x一y-z=1在第四卦限的上侧,计算rr十++++[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdyoHxdydz+z2dxdy5•计算2x「"一,此中为由+-rx2y2z2亍2^2—2—二一>xyR及zR,zR(R0)所围成的曲面的外侧。x2x2z1x2x2z1研研学▼/亠I—7等学讲[/义♦厂凤的平面方程。的平面方程。6.求xdydzydzdxzdxdy，此中二为z二x2-y2(0■-z孟4)的上侧。yaxdydz一(z一a)2dxdy_2y(z.a)dzdx.2227•求IJ1222•，此中［为z二［a-x-y的上侧工Jx2+y2+z2(a丹0)。曲线与曲面积分部分、X，从y轴正向看是逆时8.求*ydx+zdy+xdz，此中「为］2+y2*z2二a2针。「二jxyz二0解答：<.：_ydxzdy；；・xdz二jj<.：_ydxzdy；；・xdz二jjcosa

cycosc汙zcos——dS=_(cos,十cos1cos)dS,卩Vx■由于cos二二cos［^cos原式9.求%j2dx+z2dy+x2dz，此中「为x2+y2+z2二1与x2+y2二x(zA0)的交线，从x轴正向看］是逆时针。解答：设上半球z二■1_x2-y2被柱面x2-y2二x所截曲面为二则为的界限，由Stokes公式得匚卜y2dxz2dy十x2dz=(zcosa+xco审+ycos)dS，由于cos二二.x_.，cosF■二y，cos二z，Jx2+y2+z2^,x2+y2十z2Jx2+y2+z2因此原式=2”怠*x%yz_dS2_小xz+xy+yz)dS，x2-y2-z2匚s

d

yXyzdS0，s

d

yXyzdS0，［fXzdSx1x2_y2dxdyX21_x2—y2空间分析几何空间分析几何且与平面3:2xyN二0垂直.cos:■二COS沁二r2dr，因此原式二-一。20842第四讲内容复习（略）要点题型解说1求经过平面-1:xy-1二0与2:X2y2z0的交线,

2求过直匸3和x1y'1二的平面方程。1一-1一2-1一21x23求经过点P1（5,_4,3）和P2（2丄8）及直线L二.匚1二与平面-：X_y•z'0交点1-1-3的平面方程。XZ4•设空间点A（_1,0,4），平面-:3x_4yz10二°，—^3—**'**-1_1_2点A与二平行且与L订交的直线方程。•求直线y__绕z轴—周的旋转曲面的方程，并求其介于z_0与z_5之间的几0—1—1--TOC\o"1-5"\h\z何体的体积。2•求两异面直线x9-二y2二离。-31-292第五讲级数内容复习一、常数项级数（一）基本观点与性质1•定义CC（1）级数一设｛an｝为一个数列，称'an为常数项级数（即所有项之和或所有和）n1（2）收敛一称为级数-：：..Sn=a1+a2+…+anEan的部分和，所limSn极限存在，称级数£an二严二收敛，设limSn，即Jan二S。n厂n12•性质ononocOO(1)设un二A'Vn二B，则(Un-Vn）二AB，s(un-Vn)-AB。nFn寸F1n1DOat?°CoC(2)设'Un=S，则*kun二kS，特别地,若k=0，则'kun与'un敛散性相同。nFn1n干n才（3）增添、减少、改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性（若级数收敛，则级数的和可能产生改变）。（4）若级数收敛，则随意增添括号后的级数收敛，且收敛于相同的和，反之不对。O0（5）（级数收敛的必需条件）若级数yUn收敛，则limUn二（5）（级数收敛的必需条件）若级数_n->^n11□o、-1n发散，而li□o、-1n当当r.!：1时级数收敛；当:?J时级数发散；当二1时级数的敛散性不确立。当当r.!：1时级数收敛；当:?J时级数发散；当二1时级数的敛散性不确立。nn1n11annn1n11annn1nUn例2判断级数(n)2n的敛散性。_n+1n1•两个特别的常数项级数(1)P级数ZnZnpn11收敛，p1发散,Pl1几何级数发散，IqI几何级数发散，IqI：_aq,1q山I1-q正项级数敛散性判断OO1•定义一对'Un，若全部的Un_°,n—1OC称一Un为正项级数。n=4特色：｛Sn特色：｛Sn｝单一增添，若存在M.0,使Sn^M，则limSn存在，进而'Un收敛，于是有n#以下的正项级数收敛鉴别法:•鉴别法以下的正项级数收敛鉴别法:•鉴别法(1)方法一：比较审敛法定理1(基本形式)设'un与vn皆为正项级数,cc1)若un乞Vn且7Vn收敛,cc1)若un乞Vn且7Vn收敛,OOUn收敛;n12)若*_Vn且OCyv■.一nn1=发散，则VUn发散。n1□o例子：判断'.5T

sinn2的敛散性。定理1(极限形式)设、Un与、Vn皆为正项级数，若ulimn=i(0gnvn□C叮二)，贝I」un与87Vn敛散性相同。87Vn敛散性相同。n1例子81判断r的敛散性。1-：1_nn1n方法二：比值审敛法定理2设定理2设口佥为正项级数,ulim上上二I，，则82nn!例子判断的敛散性。Jnnn匸（3）方法三：根值审敛法n，则定理3设V'Un为正项级数，limn’n，则nF当匸:：当匸:：1时级数收敛；当1时级数发散；当:?二1时级数的敛散性不确立。例子判断J（n）n的敛散性。—2n+1nT（三）交织级数及审敛法OOOO1•交织级数的定义一、G1）n4Un或、（1）nUn（Un二0,n二厂）称为交织级数。壬1n匸2•鉴别法定理对交织级数、（-1）戸Un（u『.0,n二12…），若知足n—1□0(1){Un}n1单一减少；(2)limUn二0，则级数'(_1)n4%收敛。=—jpcnn—1:sin_，判断、（_1）IUn的敛散性。n1:sin_，判断、（_1）IUn的敛散性。n例1（；—1）n」Un中，取Un二丄•（」）n」n［解答］由于当x0时，［解答］由于当x0时，sinxx，级数，又limUn二0，但「（J）nLUn

严-1:::sm_—：1，进而Un0，即、(-1)nnn1DOr一oq因此01Un为交织「'a^j-sin-］，由于「CUM!收敛,nnnn1n11而Isin-nn1oO发散，因此'（-1）n1Un发散，根来源因在于｛U1｝二1没有单一性。□CoO能否收敛?设7an收敛，问'an2能否收敛?n1n于若、a若、an为正项收敛级数,n1问xan2能否收敛?n于LL）n的敛设r｛an1单一减少且am0，若交织级数（、_1）Ian发散，判断级数n1n1n1n1散性。cC1•定义一若'cC1•定义一若'Un收敛，而n1、IUndnI发散，称y%条件收敛；若、叽I收敛，称'%绝对n1收敛。2•绝对收敛与条件收敛的关系CC定理若'UCC定理若'Un绝对收敛，则n匕二、幕级数（一）基本观点XUn必定收敛。n±1•幕级数一Janxnn0或〕an（1•幕级数一Janxnn0或〕an（X_x°）n称为幕级数。n02•收敛半径一对幕级数飞anxn，若存在R_0，当IxL.R时，、二n0DCanxn绝对收敛；当Ix』Rn出OC时，级数发散，称R为级数〉anxn的收敛半径。n0（二）收敛半径的求法及收敛域1•收敛半径的求法方法一：对'anxna，设limI』」二］，则RnYa1n（注意［=0时R二•二；［二；时方法二：对、anxnn0.1设limn1an1二：-，则R二—*p（讲解同上）xn（2）求的收敛域。nFn（n1）■■1。相同，若幕级数相邻两项次数跨TOC\o"1-5"\h\z曲a■■1。相同，若幕级数相邻两项次数跨［讲解］（1）对「anx•求收敛域的例子（1）求Jxn的收敛域。nn1n■•求收敛域的例子（1）求Jxn的收敛域。nn1=严aVPn1n度为3，则取倒数的同时要开3次方。oO（2）若'anxn在xxo处条件收敛，则R」xo丨。n0（三）函数睁开成幕级数1•方法一：公式法（直接法）

密f(x)(f(x)八f(n)(x)f(x)八f(n)(x))(x_x0)n

n!n!xo二二f(n)(0)Xn0时，f(x)八.n!n0称为函数f(x)的马克劳林级数。记着:ex_.：：xxo二二f(n)(0)Xn0时，f(x)八.n!n0称为函数f(x)的马克劳林级数。记着:ex_.：：xn(-n!sinxxn0x2n1(x1-oC<A<(2n1)!sXcosx江”X,.*)；ng!丄二厂xn(丄宀】)；1-x二£(J)nxn(J<xn0(6)ln(1x)二_X_X2_x3-23二£L1)nxn(Jx4)ln(1x)x.x2x3_2匸Xn(1x1)3nn厂2•方法二：间接法occooa定理1设Vanxn的收敛半径为R，则当X：(-R,R)时，('anxn)八(anxnn-0nK沪.0□a八nanxn^，且两个级数的收敛半径相同。nFoC定理2设瓦anxn的收敛半径为R，则当x电(R,R)时，|「(近anxn)dx二送」^xn出下n*1n0n0收敛半径相同。(四)幕级数的和函数及特别常数项级数的乞降■30x‘,一an0二n0要点题型解说(一)常数项级数问题1•鉴别以下级数的敛散性:1::(1)Xarctan；(2))(nQ2-n二nn1二xxnxxn解答：（1）由arctann2n1解答：（1）由arctann2n1arctan1尸n_arctan(n1)arctann，得nSn二、［arctan(kk—1由于limSnn71•1)_arctank］二arctan(n1)nSn二、［arctan(kk—1由于limSnn71•1)_arctank］二arctan(n1)_一，4因此原级数收敛。(2)Sn八(-k-22kk二11,k)=(n2-/n~1)(-2-,由于limSn二1_「2，因此原级数收敛。n匸2•鉴别以下级数的敛散性：(2)2nn2OOSj'n3n1n厂、(3)sinna;n12n(4)OOzn1二vn41X4dX03•判断级数CO'(n-'n"n1'解答：设U一1）sinx■'dx，当n为偶数时,U3•判断级数CO'(n-'n"n1'解答：设U一1）sinx■'dx，当n为偶数时,Un0；当n为奇数时，Un吐0，进而级数二(n1)-SinXn匕ndx为交织级数,X(n

ndxD•——=2(、(nR兀—Jnk)4(n^X又IUnI=.-IsinxI1^dx(n.1)-IsinxIdx'x■IsintI血切_■+r_/(n1)立dt+JT因此收敛。•鉴别以下级数是绝对收敛仍是条件收敛?::1v(1)n(nn-1)n18昭解答：|un|(nm1由于lim(nnn匸1】)/—-lim(x—nx1因此*(nn—1)osinx1八一.一dx的敛散性。X令f（X）XX-1，由于4444研研学▼/亠I—7等学少[/义♦厂凤22n1'(」A(nn_1)条件收敛。n15.设0上an:::—,在頁an宀C1)n01Aa1'(」A(nn_1)条件收敛。n15.设0上an:::—,在頁an宀C1)n01Aan八(」)2nan中哪个一个收敛?nn1n〒n〒n讦oCoC6•设；ancn都收敛，且有anbn二cn，证明：zb」n收敛。n1n手n—117•设偶函数f(x)的二阶导数f“(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)二1,f(0)2,证明:::1\[f()_1]绝对收敛。nrna8•设二n二1,2厂，an_0，bn；：、0)，证明:anbn86(1)若'bn收敛，则'ann匸n匸收敛;(2)若'an发散，则*bn发散。n匸n#(二)幕级数问题1•求以下幕级数的收敛区间:厂(_1)n1xn—nn~12•求幕级数a13-(1)n]nxn的收敛区间。解答：J：[3・r1)n]nx土n：：(22n1x4x2n)2一X「：2刁12nx丿2n12n_1-：；-；；2n12n2n1n1n—化X2n,2nn1C11对qTx22,收敛区间为(—,);-2n-122n1111)，故原级数的收敛区间为)。4丫外1对J42nx2n，收敛区间为(__,2n44n1求以下幕级数的收敛区间与和函数：1oO+丄oC1八—xn；(2)'-n0n!nTn(nF)求以下幕级数的收敛区间与和函数：十Xn1，并求n--1n)21亠-一-(nl)2xnon1:n211八xn；2nn!n0(4八n(X—(4八n(X—1)n。(2)、-•(2n1)xn，并求'2n1n0n0

将f(x)arctan•X2睁开成x的幕级数。4一x2将以下函数睁开成x1-的幕级数:1)f(x)二丄；x2(2)f(x)_x'(1)将f(x)arctan•X2睁开成x的幕级数。4一x2将以下函数睁开成x1-的幕级数:1)f(x)二丄；x2(2)f(x)_x'(1)nx2n1x2—5x642n(2n-1)!设a1=a2二1，且知足an1=an'an_1an«n二2,3,…)，证明：当IxIL-时级数fanxn-1收敛2并求其和函数。解答：由于a1=a2二1，an.1=an-an1(n=2,3；)，因此an冷'°，an.1—an(n=X2，),ax