高等代数(北大)第5章习题参考答案

高等代数(北大版)第5章习题参照答案高等代数(北大版)第5章习题参照答案/高等代数(北大版)第5章习题参照答案第五章二次型1．用非退化线性替代化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）4x1x22x1x32x2x3；2）x122x1x22x224x2x34x32；3）x123x222x1x22x1x36x2x3；4）8x1x42x3x42x2x38x2x4；5）x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4；6）x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4；7）x12x22x32x422x1x22x2x32x3x4。解1）已知fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3，先作非退化线性替代x1y1y2x2y1y2（1）x3y3则fx1,x2,x34y124y224y1y34y124y1y3y32y324y222y1y33y324y22，再作非退化线性替代y11z11z322y2z2（2）y3z3则原二次型的标准形为fx1,x2,xz24z2z2，3123最后将（2）代入（1），可得非退化线性替代为x11z1z21z322x21z1z21（3）2z32x3z3于是相应的替代矩阵为1011011102222T110111100，00100120201且有100TAT040。0012）已知fx1,x2,x3x122x1x22x224x2x34x32，由配方法可得fx1,x2,x3x122x1x2x22x224x2x34x32xx2x22x2，123于是可令y1x1x2y2x22x3，y3x3则原二次型的标准形为fx1,x2,x3y12y22，且非退化线性替代为x1y1y22y3x2y22y3，x3y3相应的替代矩阵为112T012，001且有100110112100TAT110122012010。221024001000（3）已知fx1,x2,x3x123x222x1x22x1x36x2x3，由配方法可得fx,x,x3x22xx22xx32x2x3x2x24x24xxx212111232233x1x2x322x2x32，于是可令y1x1x2x3y22x2x3，y3x3则原二次型的标准形为fx,x2,x3y2y2，112且非退化线性替代为x1y11y23y322x21y21y3，22x3y3相应的替代矩阵为1

13211T0，2001且有11310011122100110133011010。TAT222213000003110122（4）已知fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4，先作非退化线性替代x1y1y4x2y2，x3y3x4y4则fx1,x2,x3,x48y1y48y422y3y42y2y38y2y428y422y41y11y21y31y11y21y322822881y11y221y32y2y322881y11y21y321y32y42y1y22y2y3，2284再作非退化线性替代y1z1y2z2z3，y3z2z3y4z4则81z15z23z325z23z32fx1,x2,x3,x4z42z1288442z22z2，23再令w1z15x23x344w2z2，w3z3w41z15z23z3z4288则原二次型的标准形为fx1,x2,x3,x42w122w222w328w42，且非退化线性替代为x11w15w23w3w4244x2w2w3，x3w2w3x41w1w42相应的替代矩阵11，0010012且有20000200TAT020。00008（5）已知fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4，先作非退化线性替代x12y1y2x2y2，x3y3x4y4则fx1,x2,x3,x42y1y2y222y1y32y2y32y1y42y2y4y3y41y42y1y2y3y42y33y42y12，24再作非退化线性替代z1y1z2y1y2y3y4z3y31y4，2z4y4即y1z1y2z1z2z31z42，1y3z3z42y4z4则原二次型的标准形为fx1,x2,x3,x4z12z22z323z42，4且非退化线性替代为x1z1z2z31z421z4x2z1z2z3，2x3z31z4x4z42相应的替代矩阵为11112T11112，001120001且有1000TAT01000010。00034（6）已知fx1,x2,x3,x4x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4，由配方法可得fx1,x2,x3,x4x22x2x22x3x2x22xx2114342x22x3x422x22x422x2x32x2x42x3x43x31x42x12x22x3x422x21x3x42，222于是可令y1x12x22x3x4y2x23x31x4，22y3x3x4y4x4则原二次型的标准形为fy122y221y32，2且非退化线性替代为x1y12y2y3y4x2y23y3y4，2x3y3y4x4y4故替代矩阵为121101312T0，0110001且有1000TAT0200001。200000（7）已知fx1,x2,x3,x4x12x22x32x422x1x22x2x32x3x4，由配方法可得fx1,x2,x3,x4x222x2x1x3x1x322x1x32x3x4x42x1x2x322x1x3x322x3x4x42x32xx2x2xx22xxx2x2x2133413311x12x1x2x32x3x42x1x32，于是可令y1x1y2x1x2x3，y3x3x4y4x1x3则原二次型的标准形为fy12y22y22y42，且非退化线性替代为x1y1x2y2y4，x3y1y4x4y1y3y4相应的替代矩阵为10000101T00，111011且有10000100TAT01。000001（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情况；并写出所作的非退化线性替代。解1）已求得二次型fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3的标准形为fy124y223y32，且非退化线性替代为x11y1y21y322x21y21y1y3，22x3y3（1）在实数域上，若作非退化线性替代y1z3y21z2，2y3z1可得二次型的规范形为fz12z22z32。（2）在复数域上，若作非退化线性替代y1iz1y21z2，2y3z1可得二次型的规范形为fz12z22z32。2）已求得二次型fx1,x2,x3x122x1x22x224x2x34x32的标准形为fy12y22，且非退化线性替代为x1y1y22y3x2y22y3，x3y3故该非退化线性替代已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形fy12y22。3）已求得二次型fx1,x2,x3x123x222x1x22x1x36x2x3的标准形为fy12y22，且非退化线性替代为x1y11y23y322x21y21y3，22x3y3（1）在实数域上，上边所作非退化线性替代已将二次型化为规范形，即fy12y22。（2）在复数域上，若作非退化线性替代y1z1y2iz2。y3z3可得二次型的规范形为fz12z22。（3）已求得二次型fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4的标准形为f2y122y222y328y42，且非退化线性替代为x11y15y23y3y4244x2y2y3，x3y2y3x41y1y42（1）在实数域上，若作非退化线性替代y11z42y21z22，1y3z32y41z122可得二次型的规范形为fz12z22z32z22。（2）在复数域上，若作非退化线性替代iy1z11y2z22，iy3z31y4z422可得二次型的规范形为fz12z22z32z22。（5）已求得二次型fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4的标准形为fy12y22y323y42，4且非退化线性替代为x1y1y2y31y42x2y1y2y31y4，1y42x3y32x4y4（1）在实数域上，若作非退化线性替代y1z2y2z1y3z3，2y4z43可得二次型的规范形为fz12z22z32z42。（2）在复数域上，若作非退化线性替代y1iz1y2z2y3iz3，2y4iz43可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。12346）已求得二次型fx1,x2,x3,x4x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4的标准形为fy122y221y32，2且非退化线性替代为x1y12y2y3y4x2y23y3y4。2x3y3y4x4y4（1）在实数域上，若作非退化线性替代y1z2y21z32，y32z1y4z4可得二次型的规范形为fz12z22z32。（2）在复数域上，若作非退化线性替代y1iz1y2iz22，y32z3y4z4可得二次型的规范形为fz12z22z32。7）已求得二次型fx1,x2,x3,x4x122x22x424x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4的标准形为fy12y22y22y42，且非退化线性替代为x1y1x2y2y4。x3y1y4x4y1y3y4（1）在实数域上，上边所作非退化线性替代已将二次型化为规范形，即fy12y22y22y42。（2）在复数域上，若作非退化线性替代y1z1y2z2y3z3

，y4iz4可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。12342．证明：秩等于r的对称矩阵能够表成r个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知AA且rank(A)r，于是存在可逆矩阵C使CACD，且D为对角阵，又因为C,C1,C1C1均为可逆矩阵，所以有CACD1D2Dr，此中0d10d200D10,,Drdr,D20000于是AC1D1D2DrC1C1D1C1C1D2C1C1DrC1。因rankC1DiC11i1,2,,r，且C1DiC1C1DiC1CDC即C1DiC1都是对称矩阵，故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。3．证明：1i12与i2nin合同，此中i1i2in是1,2,,n的一个摆列。证题中两个矩阵分别设为A,B，与它们相应的二次型分别为fA1x122x22nxn2，fBi1y12i2y22inyn2，作非退化的线性替代ytxitt1,2,,n，则fB可化成fA。故A与B合同。4．设A是一个n阶矩阵，证明：1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有XAX0。2）假如A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有XAX0，那么A0。证1）必需性。因为AA，即aii0,aijajiij，所以XAXaijxixjaijajixixji,jij因为aijaji0，故XAXaijajixixj0。ij充分性。因为XRn，有XAX0，即a11x12a12a21x1x2x1nan1x1xna22x22a2nan2x2xnannxn20，这说明原式是一个多元零多项式，故有a11a22ann0,aijajiij，即AA。2）因为A是对称的，且XAX0，即a11x122a12x1x22a1nx1xna22x22axxnannx20，22n2n这说明XAX为一个多元零多项式，故有a11a22ann0，2aij0aijaji0，即A0。5．假如把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类解实对称矩阵A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵T与C使d1d2TBTCACdrD。00下边考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类状况，在dii1,2,,r中可分为r个正，0个负r1个正，1个负2个正，r2个负1个正，r1个负0个正，r个负合计r1个合同类。但秩r又可分别取n,n1,,2,1,0，故共有123nn1n1n22个合同类。6．证明：一个实二次型能够分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必需条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或许秩等于1。证必需性。设fx1,x2,,xna1x1a2x2anxnb1x1b2x2bnxn，此中ai,bii1,2,,n均为实数。1）若上式右侧的两个一次式系数成比率，即bikaii1,2,,n不失一般性，可设a10，则可作非退化线性替代y1a1x1a2x2anxnyixii2,,n使二次型化为fx1,x2,,xnky12，故二次型fx1,x2,,xn的秩为1。2）若两个一次式系数不行比率，不如设a1a2，则可作非退化线性替代b1b2y1a1x1y2b1x1yixi使

a2x2anxnb2x2bnxn，i3,,nfx1,x2,,xny1y2。再令y1z1z2y2z1z2，yizii3,,n则二次型可化为fx1,x2,,xny1y2z12z22，故二次型fx1,x2,,xn的秩为2，且符号差为0。充分性。1）若fx1,x2,,xn的秩为1，则可经非退化线性替代ZCY使二次型化为fx1,x2,,xnky12，此中y1为x1,x2,,xn的一次齐次式，即y1a1x1a2x2anxn，且fx1,x2,,xnka1x1a2x2anxn2ka1x1ka2x2kanxna1x1a2x2anxn。2）若fx1,x2,,xn的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替代ZCY使二次型化为fx1,x2,,xny12y22y1y2y1y2a1x1a2x2anxnb1x1b2x2bnxn，故fx1,x2,,xn可表成两个一次齐次式的乘积。7．判断以下二次型能否正定：1）99x1212x1x248x1x3130x2260x2x371x32；2）10x12n23）xin24）xi

8xx24xx2x228x2x3x2；121323xixj；1ijnn1xixi1。i1解1）二次型的矩阵为99624A613030，243071因为1990,9960,3A0，26130故原二次型为正定二次型。2）二次型的矩阵为10412A4214，12141因为A0，所以原二次型非正定。3）记二次型的矩阵为Aaijnn，此中1,ijaij1,ij，2即111122211112221A111，2221111222因为A的随意k阶次序主子式所对应的矩阵Ak与A为同种类的对称矩阵，且kAk1k10k1,2,,n，2故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为Aaijnn，则A的k级次序主子式为1122111k1221Ak121212112122100031021k4k00010，23k12000k1k故原二次型为正定二次型。8．t取什么值时，以下二次型是正定的：1）x2x25x22tx1x2xx34x2x3123212）x124x22x322tx1x210x1x36x2x3解1）二次型的矩阵为1t1At12，125因为A的各阶次序主子式为110，当原二次型为正准时，有解上边不等式组，可得2）二次型的矩阵为

1t2t0，11t13At120，1251t20，5t24t040。t51t5At43，531当A的全部次序主子式都大于零时，即110，1t4t20，2t41t53At43t230t1050，531由原二次型为正定得4t20，t230t1050但此不等式组无解，即不存在t值使原二次型为正定。9．证明：假如A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标同样的子式。设正定矩阵Aann证nn，作正定二次型aijxixj，并令iji1j1xj0jk1,k2,,ki,k1k2ki，则可得新二次型kikiaijxixj，ik1jk1由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的全部i级主子式Ai0i1,2,,n。10．设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大以后，tEA是正定矩阵。证ta11a12a1ntEAa21ta22a2n，an1an2tann它的k级次序主子式为ta11a12a1kkta21ta22a2kak1ak2takk当t充分大时，kt为严格主对角占优矩阵的队列式，且taiiaiji1,2,,n，ji故kt0k1,2,,n，从而tEA是正定的。11．证明：假如A是正定矩阵，那么A1也是正定矩阵。证因A是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替代XA1Y，又A1也是对称矩阵，故YA1YYA1AA1YXAX0，从而YA1Y为正定二次型，即证A1为正定矩阵。12．设A为一个n级实对称矩阵，且A0，证明：必存在实n维向量X0，使XAX0。证因为非退化线性替代

A0，于是A0，所以rankAn，且A不是正定矩阵。故必存在XC1Y使XAXYC1ACYYBYy12y22yp2yp21y2p2yn2，且在规范形中必含带负号的平方项。于是只需在ZC1Y中，令y1y2yp0,yp1yp2yn1,则可得一线性方程组c11x1c12x2c1nxn0cp1x1cp2x2cpnxn0cp1,1x1cp1,2x2cp，1,nxn1cn1x1cn2x2cnnxn1因为C0，故可得独一组非零解Xsx1s,x2s,,xns使XsAXs000111np0，即证存在X0，使XAX0。13．假如A,B都是n阶正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵。证因为A,B为正定矩阵，所以XAX,XBX为正定二次型，且XAX0，XBX0，所以XABXXAXXBX0，于是XABX必为正定二次型，从而AB为正定矩阵。14．证明：二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必需条件是它的正惯性指数与秩相等。证必需性。采纳反证法。若正惯性指数p秩r，则pr。即fx1,x2,,xny12y22yp2yp21yr2，若令y1y2yp0，yp1yr1，则可得非零解x1,x2,,xn使fx1,x2,,xn0。这与所给条件fx1,x2,,xn0矛盾，故pr。充分性。由pr，知fx1,x2,,xny12y22y2p，故有fx1,x2,,xn0，即证二次型半正定。n15．证明：ni1n证nxi2i1nx12x22x12x22n1x122x2xn

n2xi2i1xi是半正定的。n2xii1xn2xn22x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xnx22xn2（2x1x22x1xn2x2x32xn1xn）x22xx2x2x22xx3x2x22xn1xnx2112113n1nxixj2。1ijn可见：1）当x1,x2,,xn不全相等时fx1,x2,,xnxixj20。1ijn2）当x1x2xn时fx1,x2,,xnxixj20。1ijn故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。16．设fx1,x2,,xnXAX是一实二次型，如有实n维向量X1,X2使X1AX0，X2AX20。证明：必存在实n维向量X00使X0AX00。设A的秩为r，作非退化线性替代XCY将原二次型化为标准型XAXd1y12d2y22dryr2，此中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量X1,X2使X1AX10和X2AX20，故标准型中的系数d1,,dr不行能全为1，也不行能全为-1。不如设有p个1，q个-1，且pqr，即XAXy12y2py2p1yp2q，这时p与q存在三种可能：pq，pq，pq下边仅谈论pq的情况，其余近似可证。令y1yq1，yq1yp0，yp1ypq1，则由ZCY可求得非零向量X0使X0AX0y12y2pyp21yp2q0，即证。17．A是一个实矩阵，证明：rankAArankA。证因为rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组，故只需证明AX0与AAX0同解即可。事实上AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0，即证AX0与AAX0同解，故rankAArankA。注该结论的另一证法详见本章第三部分（增补题精解）第2题的证明，此处略。一、增补题参照解答1．用非退化线性替代化以下二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；2）x1x2x2x3xn1xn；n3）xi2xixj；i11ijnn2x1x2xn。4）xix，此中xi1n解1）作非退化线性替代x1y1y2nx2y2y2n1xnynyn1，xnynyn11x2n1y2y2n1x2ny1y2n即XTY，则原二次型的标准形为fy2y2y2y2y2y2，12nn12n12n且替代矩阵10010110T11，1101101001使11TAT，11此中1212A。12122）若y1x1x2x3，y2x1x2x3，22则y12y22y1y2y1y2x1x2x2x3，于是当n为奇数时，作变换yixixi1xi22yixixi1xi2i1,3,5,,n2，12ynxn则xx2xxxn1xny2y2y2y2y2y2，1231234n2n1且当n4k1时，得非退化替代矩阵为1111111110000011111T11000，1101当n4k3时，得非退化替代矩阵为1111111110000011111T11000，1101故当n为奇数时，都有111TAT1。110当n为偶数时，作非退化线性替代yixixi1xi22yixixi1xi212i1,3,5,,n3，xn1xnyn12ynxn1xn2则xx2xxxn1xny2y2y2y2y2y2，1231234n1n于是当n4k时，得非退化替代矩阵为1111111100001111T1100，1111于是当n4k2时，得非退化替代矩阵为1111111100001111T1100，1111故当n为偶数时，都有111TAT1。113）由配方法可得1n21n2fx1xj3x2xj2j243j3n1xn2n1xn2，1xn12nn2n于是可令y1x11n2jxj2y2x21n3jxj3，yn1xn11xnnynxn则非退化的线性替代为x1y11y21y31yn11yn23n1nx2y21y31yn11yn3n1n，xn1yn11ynnxnyn且原二次型的标准形为fy123y22nyn21n1yn2，42n12n相应的替代矩阵为1111123n1n011113n1nT001111，nn00011n00001又因为11112221111222A，11112221111222所以10000030004400006TAT。000n02n10000n1n4）令y1x1xy2x2x，yn1xn1xynxn则nx12y1i2yinx2y12y2yii3。n2xn1yi2yn1yn1nyn因为nnyixin1xx，i1i1则n1n2n1n12原式yi2ynyiyi2yii1i1i1i1n12yi2yiyji11ijn12z123z22nzn2142n12z123z22nzn21，2n1此中所作非退化的线性替代为y1z11z21z31zn123n1y2z21z31z41zn134n1，yn1zn1ynzn故非退化的替代矩阵为111102111123n112111011103n1121111T001011121n1000010001000001200011300124110123。011n123n101000又2x1xnx2xxixx1x,x2x,,xnxi1xnxn111n111x1nnnnnnx1,x2,,xx1n111n11x2nnnnnn11n111n1xnnnnnnnn111x1nnnx1,x2,,xx1n11x2nnn11n1xnnnnZAZ，所以200000300024TAT00003。000n0n0001002．设实二次型s2fx1,x2,,xni1ai1x1ai2x2ainxn，证明：fx1,x2,,xn的秩等于矩阵a11a12a1nAa21a22a2nas1as2asn的秩。证设rankAr，因fx1,x2,,xnXAAX，下边只需证明rankAr即可。因为rankArankA，故存在非退化矩阵P,Q使PAQEr0或PAEr01，000Q0从而PAAPEr0Q1Q1Er0，0000令Q1Q1BrC，DM则PAAPEr0BrCEr0Br000DM000。0因为Q1Q1是正定的，所以它的r级次序主子式Br0，从而AA的秩为r。即证rankArankAA。3．设fx1,x2,,xnl12l22lp2lp21lp2q。此中lii1,2,,pq是x1,x2,,xn的一次齐次式，证明：fx1,x2,,xn的正惯性指数p，负惯性指数q。证设libi1x1bi2x2binxni1,2,,pq，12,,xn的正惯性指数为s，秩为r，则存在非退化线性替代fx,xyici1x1ci2x2cinxni1,2,,n，使得fx1,x2,,xnl12l22lp2lp21lp2qy12ys2ys21yr2。下边证明sp。采纳反证法。设sp，考虑线性方程组b11x1b1nxn0bp1x1

bpnxn

0，cs1,1x1

cs1,nxn

0cn1x1cnnxn0该方程组含pns个方程，小于未知量的个数n，故它必有非零解a1,a2,,an，于是fa1,a2,,anlp21lp2qy12ys2，上式要建立，必有lp1lpq0，y1ys0，这就是说，关于x1a1,x2a2,,xnan这组非零数，有y10，y20,,yn0，这与线性替代YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以sp。同理可证负惯性指数rsp，即证。4．设AA11A12A21A22是一对称矩阵，且A110，证明：存在TEXA110表示一0E使TAT，此中0个级数与A22同样的矩阵。E0E1A12，证只需令T，则TA11A21A111E0E注意到A12A21，A111A111，则有TATE0A11A12EA111A12A21A111EA21A220EA11A12EA111A120A21A111A12A220EA110。0即证。5．设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵11001。1000证采纳概括法。当n1时，A0合同于0，结论建立。下边设A为非零反对称矩阵。当n2时0a12第2行乘a12101A0第2列乘a121，a121001故A与合同，结论建立。10假定nk时结论建立，今观察nk1的情况。这时0a1ka1,k1A0，a1kak,k1a1,k1ak,k10假如最后一行（列）元素全为零，则由概括假定，结论已证。若否则，经过队列的同时对调，不如设ak,k10，并将最后一行和最后一列都乘以1，则A可化成ak,k10a1kb1，a1k01b110再将最后两行两列的其余非零元bi,aiki1,2,,k化成零，则有0b1,k100b1,k1000，00010010由概括假定知0b1,k01110与b1,k10合同，从而A合同于矩阵1100110，00110再对上边矩阵作行互换和列互换，便知结论对k1级矩阵也建立，即证。6．设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c，使对任一个实n维向量X都有XAXcXX。证因为XAXaijxixjaijxixj，i,ji,j令amaxaij，则i,jXAXaxixj。i,jxi2x2j利用xixj可得2XAXxi2x2jan2cXX，a2xii,ji此中can，即证。7．主对角线上全部是1的上三角矩阵称为特别上三角矩阵。1）设A是一对称矩阵，T为特别上三角矩阵，而BTAT，证明：A与B的对应次序主子式有同样的值；2）证明：假如对称矩阵A的次序主子式全不为零，那么必定有一特别上三角矩阵T使AT成对角形；3）利用以上结果证明：假如矩阵A的次序主子式全大于零，则XAX是正定二次型。证1）采纳概括法。当n2时，设Aa11a12，T1b，a21a2201则10a11a121ba11BTAT1a21a2201。b考虑

B的两个次序主子式：

B的一阶次序主子式为

a11，而二阶次序主子式为BTAT

1?A?1

A，与A的各阶次序主子式同样，故此时结论建立。概括假定结论对n1阶矩阵建立，今观察n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵Tn1，AAn1，T10ann此中Tn1为特别上三角矩阵。于是Tn10An1Tn1B1ann01Tn1An1Tn1Bn1。由概括假定，B的全部n1阶的次序主子式，即Bn1Tn1An1Tn1的次序主子式与An1的次序主子式有同样的值，而B的n阶次序主子式就是B，由BTAT1?A?1A，知B的n阶次序主子式也与A的n阶次序主子式相等，即证。2）设n阶对称矩阵Aaij，因a110，同时对A的第一行和第一列进行同样的第三种初等变换，能够化成对称矩阵a1100A0b22b2na1100，Bn10bn2bnna1100，从而b220，再对Bn1进行近似的初等变换，使矩阵A1的于是由1）知b220第二行和第二列中除b22外其余都化成零；这样连续下去，经过若干次队列同时进行的第三种初等变换，便能够将A化成对角形12B。n因为每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵Ti，左乘一个下三角形阵Ti，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在TT1,T2,,Ts，使TATB，命题得证。3）由2）知，存在T使1TAT2B。n又由1）知B的全部次序主子式与A的全部次序主子式有同样的值，故1a11a1201a110，a12a22，2所以20。1a11a1i20，ai1aiii所以0i1,2,,n，因XTY是非退化线性替代，且XAXYTATY1y122y22nyn2，因为1,2,,n都大于零，故XAX是正定的。8。证明：1）假如nnaijxixjai