高考数学立体几何常见的二级结论及其应用

高考数学立体几何常见的二级结论及其应用V21.稱二测画法貢观图面积为原圏形面积的一倍4备注：在用斜二测画法画直观图时，首先在平面上画出对应的x轴和y轴，两轴相交于点O，且使zxOy=45°(或135°)，在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来的一半。2.n面体购表面积為S,体积为V.则内切球的半轻3V证明二将肉切球的球沁n面粼心书的各顶点连经.就能将逵个釜面休分割成n个棱锥’此时各棱推的高就是内切球的半径r:设n面体休积为V,各面面积分别沟Si,S2Sn,各棱雒術只分别为Vl,g......,则有：V=V1+V2+……+VnTOC\o"1-5"\h\z111V=-Sir4--S2r+-+-Sr「333V=-r(S1+&2+-+Sm)V=|rS3V即p备注：对于棱锥而言，只有三棱锥一定有内切球，内切球的球心在三个侧面与底面形成的三个二面角的角平分面的交点上。对于n棱锥(n»4)，只有正n棱锥才有内切球。監设点A為面上一点，过点A的斜绘AO在面上的射影為AB「另外AC为面上任奩一奈直线,则^OAC,zBAC和NOAB三甬的余弦值存在如下的关系,被称为三余弦定理:<aszOAC=co£2BAC-co5ZOAB证明：在A匚上找一点匚便得，^匸丄人匚，连接O匸玄［］下所ABcoszOAB=—0AACcosZBAC=一AB'.'AC丄BGOB丄AE4匸丄面OB匸「.A匸丄O匸AC..coszOAC=—OA由①®③可知；coszOA0亡0£也£/\匸吧0蛀0畠直例题：已知直线L与平面口所成甬为45°,L在cc内的射影为m,n为口内前直堆,且直线n与m所成角为45a,则酉线L与n所咸甬为寥少？解：根搞三余弓如里可知::cos0=cos45Qcos45a=-又丁两条直翁的夹甫范围为,死°]4.面枳1寸影左理:设宇面0（外的^ABC在平面cc内的身JgS^ABO,^glJffi-ABC与出ABO的面积为S和S1JB^ABC所在的平面与平面c（所成的一面角为B,SJ则荷:CO£0=-SCZZ/0/w/备注：当面角的范围为的』让0]时」cos9=—5证明：过点匸柞C：D丄竝B于点D,连接OD.CD丄AB又OD丄面ABO,..CO丄AB..AB丄面CDO'.AB丄OD「•二面桶CABD的平面桶即为ZCDOS£ABC=—CDAB』S£ABO=—ODAB例题：在正三IgllABC-A1B1C1中f2AB=AAi,D为BBi上的中点,求平面ACiD与平面ABC所成甬翁正弦值°B解：设AB“■则BBi=2,又D是BBi的中点，••・BD=BiD=l.'•AD=CiD=\/2又可算出ACi=\'3vis二S^A€1D=又S-ABC=——4设平面ACiD与平面ABC所成角为G.且可知o<e<9o°SaAC1D5■平面ACiD与平面ABC所成角的正弦值：“45.正四面体的常用结论:假设1E四面萍的边长为「则肓：V6_®^=—afS^m=V3a2rV脚二o_1@招邻两个面的—面甫:to&fl=-,(a=70.5a)V3®三条恻棱与扃面的夹珀:cosp=—・(p«54.7a)夕展球和内切球的球心重合.且球心在高对应的罐段上,它是高的四等分点,球心到顶点的距离为外接球的半gR=—a,球心到庶面的距离为内切球的-\；;6_r=—a,El此R:r=3:112顶点在庚面的射影是底面三角形的中心f四心■合一)对棱互S垂直，且对揍中点的连绘為对棱前公垂线F距离为号目,三对对揍公垂线交于_点,此点为该正四面体外接球破内切球｝闲球心。针对结论⑥・证明如下：已知三棱锥P-AB-C为正四面体”且PA=a,苜先分别做PA和瓯的中点匕F.连结匚乙PF”FA如下图所示；根可知:FA=FP'又IE是PA的中点”二丁丄RA同理连结BIE,CE可得；EF丄BCEF是PA与BC的镰绒在二PAF中,可知PA=m”PF=AF二一a2V2■可得EF=a2再取PC和AB的中点M』g连结MN』EM』NF如下圏所示::爭园#90#VO君率蜩0岁鸟玮睛垂月国闿代辔缅回中冏幻右NIAIMO目’O学一壬亞芋幻号NW.'回沖63:TN'IATm罗目'纽063马圭弘DNIAI3纽荣©••dN=N3*dNHN3,.*z,DV-=dN目'DVUdN：3回Iz,DV-=N3HDVlim:临巨农T'蒂垂书阴4写曲晉沿NIATdGGON丄”且N为AB的中点可知:OA=OB同理连结OP」oc可证:OA=OP,OP=OC”OC=OAOA=OB=OOOD0是四面体的球心例题1:已知球0的直径PA=2rrB,C是该球面上的两点,且BC=PB=PC=r,则三棱惟P-ABC的32^2体枳为二一,则试求球O的表面枳。

解：霍OB”OG可得三棱锥O-BCP是棱长为r的正四面休V5■'■V<)-bcf=—12

解二根可知:AB为正四面休的一SIS由结论■⑥可知，M为AB对棱的中点过点蘭作MN丄必B与N,如下图则MN湖对棱的公垂线MN=\/2AB=2■'■S^abm=—AB-MN=V22缶直三棱拄的外接球半色:R=Jr2+^)2,具中r为囁面三莆形的外接園丰径「L制W棱览如果直三棱柱有内切球时『则内切球半徑:RJ扌£备注：⑴三角肠隱II半径的求法有两种：①恨据①恨据I矗定理；2abc2sinA2sinE2sinC1②结合正弦定理和解三角形求面积公式(5石訪血°abc可得:r=——4S(2)三甬形内切圜半径公式淘；尸三一a+b+c例题:已知正三棱柱的庙面边长为2^3,侧棱长为2,A.B分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点’则试求久B两点问的距离最大直解：由題意可知:正三棱拄的夕強球半径:只十+【护边辰为2待，可知：r=—^―==22sinA2sm60又L=2’则■'■R=/S正三棱拄的内切球半径:卍二匕丄■A.B分别是内切球隱球上的点”则lABl^VS+17.正方体与三棱推的关系在正方体的8个顶点中取4个，可组成的三棱谁有:备注:田正方体的4个顶点组成的三棱锥的夕屈球的半径与正方体的夕矗球半径是一样的。①每个面都是正三角形的正四面体1此正四面体的体积为正方体体积的6②每个面都是盲角三角形的三棱锥（也被祢作鳖瞎体）1此鳖瞎体的体积为正方体体积的；6®有三个面为直甬的四面体(也被称件墙甬的111汨甬体的律积為正方体体积的；6图1图1备注:在长方休中.同样可以找到蹩劇*ffl墳毎休④如下圏,共底面的正P9M(A-BCD)和正三嘶(E-BCD)它忙I的高之比为2;1,且它们的高均在体对»iSAE±,且把体对角线的长分为2:1,eaAO:OE=211(0为AE与面BCD的交点)ECEC例题：已知三瞬介BCD的外接球夠球SBC与-ACD都是以AC为斜边的直角三馬形,-BCD是IUBD為释边的等腰直角三甬形，且BD“靳向量——2nDA与AB,则试求球O的表面积。•aJ解：根可知:此三棱推有三个直常三汨形’即为堵角体”BD=V2.可知BC=CD=1.——Sr——JrSIT又DA-^AB的夹垢为一.-ZBAD=-*即MBD是正三角形,符合上面结论的的圏像2；可知此墳角休对应的IE方休的边长为1.又曄体的夕區球与对应的正方体的夕储球一样「则S=4nR2=3n&三融P-ABC中『点P在平面ABC中的射影为点。二@若PA=PB=PCf则点