《经济数学》413-5（雷安平）教案 第19课 广义积分与定积分在经济学问题中的应用

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课题广义积分与定积分在经济学问题中的应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握无限区间的广义积分（2）掌握无界函数的广义积分（瑕积分）（3）掌握定积分在经济学问题中的应用思政育人目标：通过广义积分与定积分在经济学问题中的应用的学习，使学生体会到数学是源于生活的，是可以用于解决实际问题的；锻炼学生的逻辑思维能力，培养严谨的科学态度和作风，提高自身科学素养。教学重难点教学重点：无限区间的广义积分、无界函数的广义积分（瑕积分）教学难点：定积分在经济学问题中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解广义积分一、无限区间的广义积分定义6-2设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无限区间上的广义积分，记作，即．此时，也称为广义积分收敛；如果极限不存在，则称广义积分发散，此时虽用同样的记号，但其已经不再表示数值了．类似地，可定义在无限区间上的广义积分为．若上式等号右端的极限存在，则称该广义积分收敛，否则称该广义积分发散．函数在无限区间上的广义积分定义为，其中，为任意实数．当上式右端两个积分都收敛时，称该广义积分收敛，否则称该广义积分发散．上述3类广义积分统称为无限区间的广义积分．为方便起见，引入以下记号：若是的一个原函数，记（如果极限存在），则无限区间的广义积分可表示为；；．由于无限区间的广义积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此，定积分的换元积分法和分部积分法可应用到无限区间的积分中．例1计算广义积分．解

．若运用上述记号，则解题过程可表示为．二、无界函数的广义积分（瑕积分）存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作，即．此时称广义积分收敛，否则称广义积分发散．类似地，当为的无穷间断点（又称瑕点）时，即，取，则在上的广义积分定义为：．当无穷间断点位于区间的内部时，则其广义积分定义为．上式右端两个积分均为广义积分，只有当这两个广义积分都收敛时，才称收敛，否则称发散．上述无界函数的广义积分也称为瑕积分．与无限区间的广义积分类似，若是的一个原函数，我们引入记号，其意义与无穷区间的广义积分类同．例2讨论广义积分的敛散性．解因在内部有被积函数的瑕点，于是（让瑕点在小区间的端点处）．而不存在，所以，广义积分发散．【学生】掌握广义积分学习无限区间的广义积分与无界函数的广义积分（瑕积分）的相关知识，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解定积分在经济学问题中的应用定积分在经济学问题中的应用是多方面的，下面例1和例2体现了已知某经济量的变化率（即边际函数）如何求该经济量，例3是关于平均值在经济中的应用，例4是关于有效时段的问题．例1（利润问题）某公司每个月生产x台电视机，边际利润（单位：美元）由下式给出：．目前公司每月生产1500台电视机，并计划提高产量，试求出每月生产1600台电视机时，利润增加多少？解．故当电视机的产量每月从1500台增加到1600台时，利润增加1000美元．件件时的总收益与平均收益．解因为总收益是边际收益函数在上的定积分，所以，生产x件产品时的总收益函数为．平均收益函数为．当生产这种产品120件时，总收益为．平均收益为．例3（平均供应价格）已知某商品的供应函数为，其中，为某商品供应量，P为该商品的价格（单位：美元），试求在商品供应区间上的平均供应价格．解在商品供应区间上，平均供应价格可用定积分计算如下：

．故在供应区间上，某商品的平均供应价格为68.7美元．例4（有效时段）某娱乐公司把一种娱乐用品安装在一个公众活动的地点，分别用和表示该娱乐用品的成本函数与收益函数，其中表示已安装使用的时间（单位：年）．已知（单位：万元）．使成立的值称为该娱乐用品有效时段，其几何意义如图6-8所示．图6-8图6-8，，，，．这样，该娱乐用品的有效时段约为3年．超过这个使用时段，该娱乐公司所安装的娱乐用品是亏本的．试求出在有效时段内，该娱乐公司所取得的全部利润．解有效时段为，因此该公司所取得的全部利润为．【学生】掌握定积分在经济学问题中的应用学习定积分在经济学问题中的应用，边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了广义积分和定积分在经济学问题中的应用。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业：完成课后习题6-4、6-5【学生】完成课后作业通过完成作业巩固课上所学知识教学反思本节课的效果较好，对于与实际