《经济数学》413-5（雷安平）教案 第15课 微分方程

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课题微分方程课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握微分方程的基本概念（2）掌握可分离变量的微分方程（3）掌握一阶线性微分方程（4）掌握微分方程的实际应用思政育人目标：通过微分方程的学习，锻炼学生的逻辑思维能力，培养严谨的科学态度和作风，提高自身科学素养；通过微分方程的实际应用，让学生体会到数学是源于生活的，是可以解决实际问题的。教学重难点教学重点：微分方程的基本概念教学难点：微分方程的实际应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（13min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（30min）【教师】讲解微分方程的基本概念和可分离变量的微分方程一、引例引例1求通过点，且在点处的切线斜率为的曲线的方程．解设所求曲线方程为，由题意有，两边积分得．当时，，代入上式得．因此所求曲线方程为．引例2某厂生产一种产品，固定成本为50，边际成本的变化率为2，开始生产第一个单位产品时的边际成本为，求该厂的总成本函数．解设总成本函数为，其中为产量，则边际成本为．由已知条件得，即．上式两端积分得．（5-1）再对上式两端积分得，（5-2）其中，是任意常数．由已知条件有．代入式（5-1）和式（5-2）得．于是得到该厂的总成本函数为．可以看出，解决这类问题的方法为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过此方程求出满足所给附加条件的未知函数．二、微分方程的基本概念定义5-3含有未知函数导数（或微分）的等式称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程．本章中研究的都是常微分方程，简称为微分方程．例如，，，都是常微分方程．微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶．若方程中的未知函数及其导数（或微分）的次数都是一次的，则称该方程为线性微分方程，否则称为非线性微分方程．例如，为线性微分方程，为非线性微分方程．定义5-4如果一个函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解．例如，引例1中，和都是微分方程的解；引例2中和都是微分方程的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解．不包含任意常数的解称为微分方程的特解．例如，引例1中，是微分方程的通解，是微分方程的特解；引例2中，是微分方程的通解，而是微分方程的特解．当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取特定的值，这样的条件称为初始条件．求解带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题．例如，引例1中，时，；引例2中，．本书主要考虑一阶常微分方程的解．一阶常微分方程通常表示为．（5-3）求微分方程的解的主要方法就是积分，但y是x的未知函数，将作为被积函数直接对x积分，一般是很难求出结果的．这就要求必须对式（5-3）的右端进一步分类，从而寻找问题的解决方法．三、可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能化成的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．可分离变量的微分方程的解法称为分离变量法，其步骤如下．（1）分离变量：；（2）两边求不定积分：，得通解，其中，分别为的一个原函数．例1求微分方程的通解．解这是可分离变量的微分方程．分离变量得，两边积分得，，，即．若令，它仍是任意常数，便得所给微分方程的通解．【学生】掌握微分方程的基本概念和可分离变量的微分方程学习微分方程的基本概念和可分离变量的微分方程，实现教学做一体化课堂测验

（13min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解一阶线性微分方程和微分方程的实际应用四、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程，其中为已知的连续函数．当时，方程变为，称为一阶线性齐次微分方程．当时，对应的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程．下面介绍这两种方程的解法．（一）一阶线性齐次微分方程的解法对于一阶线性齐次微分方程，可以用分离变量法求出通解．分离变量得，两边积分得，，故一阶线性齐次微分方程的通解为．（二）一阶线性非齐次微分方程的解法求一阶线性非齐次微分方程的通解，可采用常数变易法，即将上述一阶线性齐次微分方程通解中的常数换成待定函数．设微分方程的解具有形式，于是，．将代入，得，两边积分得．于是可得．可以验证，这就是一阶线性非齐次微分方程的通解．例3求微分方程满足的特解．解由于，代入通解公式，得通解．将代入上式得，即原方程满足初始条件的特解是．五、微分方程的应用举例例4假设某公司的净资产因资产本身产生了利息而以5%的年利率增长，同时，该公司还必须以每年200百万元的数额连续支付职员工资．（1）求描述公司净资产w（单位：百万元）的微分方程；（2）解上述微分方程，这里假设初始净资产为（单位：百万元）；（3）试求出分别为3000，4000和5000时的特解．解（1）现用分析法来解此问题．为给净资产建立一个微分方程，我们将使用下面这一事实，即．以每年百万元为单位，利息盈取的速度为0.05w，而工资的支付率为每年200百万元，于是有．（2）分离变量，有，两边积分得，于是．由时，有，代入解中，得．（3）如果，则为平衡解；如果，则；如果，则．请注意，当时，，这一解意味着该公司在今后的第28个年头破产．【学生】掌握一阶线性微分方程和微分方程的应用举例学习一阶线性微分方程和微分方程的实际应用，边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了隐函数的求导方法和高阶导数的求法，难度较高，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象