非一线波传播条件下加权线性最小二乘定位算法改进

非一线波传播条件下加权线性最小二乘定位算法改进

1移动站附加信息的定位在蜂窝移动跟踪系统中，非直接波误差是影响定位精度的重要因素。目前抑制非直达波误差的思路主要有三种,一是利用散射体信道模型,然而利用散射体信道模型基于单散射假设在实际环境中难以满足;二是利用具备GPS功能的移动站的附加信息,现阶段具备这种功能的移动站还很少;三是利用时间信息,但是该方法只适用于快速移动的目标,对静止或低速目标并不适用。本文考虑平面圆交叉定位方法,利用到达时间(TOA)对移动站进行定位。常规的二步最小二乘方法(Chan方法)是基于均方代价函数最小化,在直达波环境下性能接近最佳,然而均方代价函数随着误差的增长呈抛物线大幅度增长,对均方代价函数的最小化并不能抑制大误差,因此当非直达波存在时,距离测量值中含有大的误差,常规方法不能有效的抑制非直达波误差。本文提出利用非线性稳健代价函数抑制非直达波误差,典型无线环境中的仿真结果表明利用非线性稳健代价函数能有效改进测距定位算法在非直达波环境下的定位性能。2迭代方法解析假设第i个基站位置为(xi,yi),其中第一个基站位于原点,移动站位置为(x,y),构建稳健代价函数:J=Μ∑i=1ρ(ei/σ)(1)其中ei为第i个基站的误差量,σ为尺度函数,M为基站个数。由于Talvar函数具有良好的非线性,对大误差有较强的抑制作用,因此本文采用Talvar函数:ρ(e)={e2/2‚|e|≤ββ2/2‚other(2)式中的β为门限参数,当误差大于门限值的时候,代价函数并不随着误差的增长而增长,而是保持在一个常数值上,同时误差在门限值以下的时候,并不改变原有算法的特性,所以改进后的算法不仅能有效的处理高斯噪声,而且能抑制冲激性的大误差。同时定义影响函数Ψ(e):Ψ(e)=∂ρ(e)∂e={e‚|e|≤β0‚other(3)定义加权函数:q(e)=Ψ(e)e={1‚|e|≤β0‚other(4)由距离公式可得:(x-xi)2+(y-yi)2=ˆr2i(5)其中ˆri为移动站到第i个基站的测量距离,将式(5)展开,写成矩阵形式,可得:GaZa=h(6)其中:Ga=[GaΤ1GaΤ2⋯GaΤΜ]=[2x12y1-12x22y2-1⋮⋮⋮2xΜ2yΜ-1]‚Ζa=[xyr21]‚h=[x21+y21-ˆr21x22+y22-ˆr22⋮x2Μ+y2Μ-ˆr2Μ]定义误差项:e=h-GaZa(7)将式(7)代入式(1),并对其求导∂J(Ζa)∂Ζa,得:Μ∑i=1GaiΨ(ei/σ)=0(8)将式(4)代入式(8),得:Μ∑i=1Gai(hi-GaΤiΖa)q(ei/σ)=0(9)Μ∑i=1Gaiq(ei/σ)hi=Μ∑i=1GaiGaΤiq(ei/σ)Ζa(10)将上式写成矩阵形式为:GaTQh=GaTQGaZa(11)其中:Q=[q(e1/σ)0000q(e2/σ)00⋮⋮⋮⋮000q(eΜ/σ)]解上式,得:Za=(GaTQGa)-1GaTQh(12)由式(12)中可知,矩阵Q中含有未知的误差项,因此式(12)没有显式解,这里采用迭代的方法解:Step1:Za=(GaTGa)-1GaThStep2:e=h-GaZaStep3:σ=med{|ei-med{|ei|}|}Step4:Za=(GaTQGa)-1GaTQhStep5:迭代至收敛在仿真过程中,经过3次迭代算法就能收敛。因此由式(12)可得到基于非线性稳健代价函数加权的第一步解,为了进行第二次加权计算,需要计算估计位置Za的协方差矩阵:将式(12)进行泰勒展开,并省略二次项,得到Za的扰动分量:ΔZa=(GaTQGa)-1GaTQΔh=(GaTQGa)-1GaTQBn(13)其中B=[-2ˆr10000-2ˆr200⋮⋮⋮⋮000-2ˆrΜ]‚n=[Δr^1Δr^2⋮Δr^Μ]为距离测量误差矩阵,因此可以得到ΔZa的协方差矩阵:cov(Za)=E(ΔZaΔZaT)(14)=(GaTQGa)-1GaTQBCBQGa(GaTQGa)-1式中C为距离测量的协方差矩阵,σ^i2‚i=1‚...‚Μ为距离测量误差的方差:C=diag([σ^12σ^22⋯σ^Μ2])在第一步加权解中未考虑x,y和r12间的相关性,实际上存在x2+y2=r12的关系,可以利用这种相关性来改进定位结果,得到第二步加权解,Za可表示为:Za1=x+δ1,Za2=y+δ2,Za3=r12+δ3(15)其中δ1,δ2,δ3为Za的估计误差,将式(15)重组,可得到:e′=h′-Ga′Za′(16)其中h′=[Ζa12Ζa22Ζa3]‚Ga′=‚Ζa′=[x2y2]‚e′为Ζa′的误差。将式(15)代入式(16),并忽略二次项得:e′1=2xδ1+δ12≈2xδ1e′2=2yδ2+δ22≈2yδ2(17)e′3=δ3由式(17)可求得e′的协方差矩阵:cov(e′)=E(e′e′T)=Dcov(Za)D(18)式中D=diag{[2x2y1]}式(16)的解为:Za′=argmin{(h′-Ga′Za′)Tcov(e′)-1(h′-Ga′Za′)}=(Ga′Tcov(e′)-1Ga′)-1Ga′Tcov(e′)-1h′(19)其中cov(e′)的D含有未知的移动站位置,因此使用Za近似,即:D≈diag{[2Za12Za21]}(20)最后得到移动站位置:Ζp=[sign(Ζa1)Ζa′1sign(Ζa2)Ζa′2](21)基于非线性稳健代价函数的两步最小二乘算法可归纳为:首先通过式(12)得到移动站的第一步加权解,然后通过式(14),(18)和(20)求解出第二步计算中所需的加权矩阵cov(e′),最后将加权矩阵cov(e′)代入式(19)得到Za′,再将Za′代入式(21)最后得到移动站位置。3仿真实验与仿真算法仿真中,服务基站1位于原点,服务小区半径为900米,其他6个基站分别位于(1500,866)、(0,1732)、(-1500,866)、(-1500,-866)、(0,-1732)、(1500,-866),这里以米为单位。移动站均匀分布于服务小区覆盖范围内,即以圆点为圆心,半径为900米的圆内。共对1000个移动台进行定位统计,测距噪声服从零均值,标准差为10m的高斯分布,非直达波误差服从COST259信道模型,门限值β采用文献中方法确定,这里β=1.5,仿真中本文算法与基于均方代价函数的Chan方法进行比较。图1～4是两种算法在远郊、郊区、市区和恶劣市区环境下的第一步、第二步定位结果的累积密度函数(CDF)比较图。从图中可以看出,本文算法在所有的无线环境中定位性能均优于Chan方法,即使是本文算法中的第一步定位结果都优于Chan方法中的第二步定位结果,通过第二步加权本文算法定位精度进一步提高。4数重构两步最小二乘方法本文研究表明,常规的基于均方代价函数的两步最小二乘方法(Chan方法),在非直达波环境中,定位性能明显恶化,因此本文提出利用非线性稳健代价函数重构两步最小二乘方法,抑制非直达波误差。本文首先利用非线性稳健代价函数重构最小二乘方法得到第一步加权解,