高考数学三轮冲刺卷：正态分布（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：正态分布一、选择题（共20小题；）1.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N100,σ2σ>0，若ξ在80,120内的概率为0.8，则ξ A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.22.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，PX≤4 A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.843.已知随机变量Z∼N0,1，且PZ<2=a，则 A.2a B.2a−1 C.1−2a D.24.设随机变量X服从正态分布N4,σ2，若PX>m A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.与σ的值有关5.已知随机变量X服从正态分布X∼Nμ,σ2，且Pμ−σ<X≤μ+σ=0.6827，若随机变量 A.0.34168 B.0.31770 C.0.15865 D.0.158606.已知X∼N4,σ2，且PX≤2 A.p B.1−2p C.1−p27.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是   A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.248.若随机变量X的概率分布列如下表：X则E5X+2019等于 A.2031 B.12 C.3.04 D.15.29.已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布N90,64．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间82,106内的产品估计有   附：若X∼Nμ,σ2，则P A.8186件 B.6826件 C.4772件 D.2718件10.已知随机变量X服从正态分布Na,4，且PX>1=0.5，PX>2 A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.811.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N84,σ2，且P78<X≤84=0.2．该市某校有 A.60 B.80 C.100 D.12012.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且PX≤4 A.0.88 B.0.76 C.0.24 D.0.1213.随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，若Pξ<5 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.114.设X∼Nμ1,σ1 A.P B.P C.对任意正数t，P D.对任意正数t，P15.设随机变量ξ服从正态分布N3,4，若Pξ<2a−3=Pξ>a+2 A.73 B.53 C.516.淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买了下列四种商品的人数统计为：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116份，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为   A.92 B.94 C.116 D.11817.某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N105,102，已知P95≤ξ≤105 A.10 B.9 C.8 D.718.据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布N1000,1002，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300 附：若X∼Nμ,σ2，则：Pμ−σ<X≤μ+σ=0.6826 A.0.4987 B.0.8413 C.0.9772 D.0.998719.下列三个判断： ①某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是m和n，某次数学测试平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为a+b2 ②从总体中抽取的样本1,2.5，2,3.1，4,3.9，5,4.4，则回归直线y=bx+a必过点3,3.6； ③已知ξ服从正态分布N1,22，且p−1≤ξ≤1 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个20.已知随机变量X服从正态分布N3,σ2，且PX≤4 A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.16二、填空题（共5小题；）21.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N1000,502，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为22.2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗泊量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 L，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N8,σ2，已知耗油量ξ∼7,9的概率0.7，那么耗油量大于23.设随机变量X∼N3,σ2，若PX>m=0.324.某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布N80,σ2，（σ>0），参赛学生共500名．若ξ在70,90内的取值概率为0.80，那么90分以上（含9025.已知随机变量X服从正态分布N3,σ2，若P1<X≤3=0.3三、解答题（共5小题；）26.平均数为μ，标准差为σ的正态分布在各区间的概率如图所示，试利用正态分布表验证该图的正确性． 27.在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布N90,100（1）试求考生成绩X位于区间70,110内的概率；（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计成绩在80,100内的考生大约有多少人?28.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图． 参考数据：178≈403，0.773419 （1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x，σ ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X∼Nμ,σ2，令Y=X−μσ 利用直方图得到的正态分布，求PX≤10 ②该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数， 求PZ≥2（结果精确到0.0001）以及Z29.在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X∼N（1）求考试成绩X位于区间70,110内的概率（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在80,100内的考生大约有多少人?30.某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．参考数据，若Z∼Nμ,δ2，则P （1）求直方图中a的值；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N200,12.22（3）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=0.4x,答案1.B 【解析】由题意，得P80<ξ<100=P100<ξ<120所以P0<ξ<802.A 【解析】随机变量X落在指定的两个数a,b之间的概率就是对应的正态曲线在x=a,x=b两直线之间的曲边梯形的面积，而X∼N2,σ2，由P3.B 【解析】因为随机变量Z∼N0,1，且P所以PZ≥2所以P−2<Z<2故选：B．4.C 5.C 6.D 【解析】因为X∼N4,σ2所以PX≤67.D 【解析】记射击次数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3．PX=1PX=2PX=3所以EX8.A 【解析】据题意，得EX所以E5X+2019故选：A．9.A 【解析】依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N90,64，得μ=90，σ=8所以P82<X<106所以质量在区间82,106内的产品估计有10000×0.8186=8186件．10.B 【解析】随机变量X服从正态分布Na,4，所以曲线关于x=a对称，且P由PX>1=0.5，可知a=1，所以11.D 【解析】因为X近似服从正态分布N84,σ2所以P≥90所以该校数学成绩不低于90分的人数为400×0.3=120．故选：D．12.B 13.A 14.C 【解析】正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1<μ故选：C．15.A 16.B 17.B 【解析】因为数学考试的成绩ξ服从正态分布N105,所以数学考试的成绩ξ的密度曲线关于直线x=105对称，因为P95≤ξ≤105所以Pξ≥115所以该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9．18.D 【解析】因为夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布N1000,1002所以P∣x−1000∣<300=0.9974，所以Px>130019.B 20.B 【解析】由于随机变量X服从正态分布N3,σ2，又PP2<X<421.122.180辆【解析】由题意可知ξ∼8,故正态分布曲线以μ=8为对称轴．又因为P7≤ξ≤9故P7≤ξ≤9所以P8≤ξ≤9=0.35．而所以Pξ>9故耗油量大于9 L的汽车大约有1200×0.15=180（辆）．23.0.7【解析】因为PX>m=0.3，所以m>3，PX<6−m所以PX>6−m24.50【解析】因为比赛成绩ξ近似服从正态分布N80,σ2所以比赛成绩ξ关于ξ=80对称，因为ξ在70,90内的取值概率为0.80，所以90分以上（含90分）的概率为0.1，所以90分以上（含90分）的人数为0.1×500=50．25.0.2【解析】由题意得，相应的正态曲线关于直线x=3对称，于是有PX>3=0.5，P1<x≤326.略．27.（1）因为X∼N90,100所以μ=90，σ=100由于正态分布Nμ,σ2在区间μ−2σ,μ+2σ内取值的概率约是0.954，而在该正态分布中，μ−2σ=90−2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，于是考生成绩X位于区间70,110

（2）由于μ=90，σ=10，所以μ−σ=90−10=80，μ+σ=90+10=100．由于正态分布Nμ,σ2在区间μ−σ,μ+σ内取值的概率约为0.683，所以考生成绩X位于区间80,100一共有2000名考生，成绩在80,100内的概率约为0.683，所以在这2000名考生中，成绩在80,100内的人数大约为2000×0.683=1366．28.（1）x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,

（2）①由题意知μ=9，σ2所以X∼N9,1.78σ=PX≤10②由①知PX>10可得Z∼B20,0.2266PZ≥2Z的均值EZ29.（1）因为X∼N90,100，所以μ=90，σ=因为正态变量在区间μ−2σ,μ+2σ内取值的概率是95.4%，而该正态分布中，μ−2σ=90−2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，所以考试成绩X位于区间70,110内的概率是95.4%

（2）由μ=90，σ=10，得μ−σ80，μ+σ=100因为正态变量在区间