高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征一、选择题（共20小题；）1.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为   A.100 B.200 C.300 D.4002.已知随机变量ξ满足下列分布列，当p∈0,1且不断增大时ξ A.Eξ增大，D B.Eξ减小，D C.Eξ增大，D D.Eξ增大，D3.甲、乙两自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是X据此判断   A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲比乙质量相同 D.无法判定4.设X是一个随机变量，若D10X=10，则D A.110 B.1 C.10 D.5.已知随机变量X满足E1−X=5，D A.EX=−5，DX=5 C.EX=−5，DX=−56.如果X是离散型随机变量，EX=6，DX=0.5，X1=2X−5 A.EX1=12，DX C.EX1=12，DX7.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则均值Eξ等于 A.45 B.1 C.758.已知离散型随机变量ξ∼B20,0.9，若随机变量η=5ξ，则η的数学期望Eη的值为 A.100 B.90 C.18 D.4.59.若随机变量ξ的分布列如下表所示，Eξ=1.6，则a−b=ξ A.0.2 B.−0.2 C.0.8 D.−0.810.已知随机变量X满足E2X+3=7，D A.EX=72，D C.EX=2，DX=811.已知随机变量ξi满足Pξi=1=pi， A.Eξ1 B.Eξ1 C.Eξ1 D.Eξ112.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X（单位：分）的均值为   A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.113.已知随机变量ξ，η满足η=−2ξ+5，若Eξ=3，D A.Eη=−1，Dη=8 C.Eη=3，Dη=214.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差DX= A.2 B.1 C.23 D.15.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为   A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.416.某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，PX=4<P A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.317.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的数学期望是 A.43 B.139 C.518.已知p>0，q>0，随机变量ξ的分布列如下：ξ若Eξ=49 A.49 B.12 C.519.已知随机变量ξ+η=8，若ξ∼B10,0.6，则Eη，Dη分别是 A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.620.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则EX等于 A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1二、填空题（共5小题；）21.已知X是离散型随机变量，EX=6，DX=0.5，X1=2X−5，那么EX22.中国福利彩票3D游戏（以下简称3D），是以一个3位自然数（如：0记作000）为投注号码的彩票，投注者从000∼999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元，某人随机投了一注，他的奖金的期望是23.已知随机变量X的概率分布如下：X那么a=

，EX=

．24.设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，Pξ=k=ak+bk=1,2,3,4，又ξ的数学期望Eξ=325.一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则袋中的白球个数为

；若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的均值Eξ=三、解答题（共5小题；）26.为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．如图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）． （1）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?（2）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元． （i）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列； （ii）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．27.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随几各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不少于14天的概率．（2）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明）28.已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为13（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；（2）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．29.如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择：环城南路经过路口C，环城北路经过路口F，中间路线经过路口G．如果开车到B，C，E，F，G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为15，12，14，1 （1）为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?（2）对于（1）中所选择的路线，求其堵车次数的方差．30.某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：患者的检测结果非患者的检测结果（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X的分布列和数学期望；（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由答案1.B 【解析】EX2.C 【解析】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即ξ∼B2,p易得Eξ=2p，所以当0<p<1且不断增大时，Eξ增大，D3.A 【解析】EX=0.1+0.2+0.3=0.6，所以EX4.A 【解析】由D10X=10，得所以DX5.D 【解析】因为随机变量X满足E1−X=5，所以1−EX=5，解得EX=−4，6.D 【解析】EX1=2E7.B 8.B 【解析】由题设离散型随机变量ξ∼B20,0.9，若随机变量η=5ξ所以Eξ=20×0.9=18，因为η=5ξ，所以Eη=E5ξ9.B 【解析】因为分布列中所有概率和为1，所以a+b=0.8，因为Eξ所以a+2b+0.3=1.6，a+2b=1.3，解得a=0.3，b=0.5，a−b=−0.2．10.B 【解析】E2X+3=2EX+3=7；D2X+3故选：B．11.A 【解析】因为随机变量ξi满足Pξi=1=0<p1<EξEξDξDξDξ所以Eξ1<E12.A 【解析】由题意得X=0,1,2，则PX=0PX=1PX=2所以EX13.A 【解析】因为η=−2ξ+5，所以Eη=−2Eξ又Eξ=3，Dξ=2，所以14.C 15.C 【解析】由题意知ξ=0,1,2,3，因为当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，所以Pξ=0因为当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，所以Pξ=1因为当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中，所以Pξ=2因为当ξ=3时，表示第一次射中，所以Pξ=3所以Eξ=2.376．16.B 【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p，可看做是独立重复事件，该群体10位成员的支付情况满足X∼B10,p其中DX解得p=0.4或0.6，且p>0.5，故17.B 【解析】试验次数ξ的可能取值为1，2，3，Pξ=1=23，所以ξ的分布列为ξ所以Eξ18.C 19.B 20.A 【解析】X的可能取值为1，3，X=3表示这三个景点都游览了或都没有游览，所以PX=3=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24，所以X的分布列为X所以EX21.7，222.123.0.2，3.424.125.5，3【解析】设袋中的白球个数为x，则有1−C即10−x9−x由此解得x=5．ξ的所有可能取值分别为0，1，2，3，且Pξ=0Pξ=1Pξ=2Pξ=3因此Eξ26.（1）选择人文类课程的人数为100+200+400+200+300×1%=12选择自然科学类课程的人数为300+200+300×1%=8

（2）（i）依题意，随机变量X可取0，1，2．PX=0=C64故随机变量X的分布列为X（ii）法1：依题意，随机变量Y=2000X+15004−X所以随机变量Y的数学期望为EY（ii）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．所以随机变量Y的分布列为Y所以随机变量Y的数学期望为E27.（1）设“甲康复的时间不少于14天”为事件A．由“从A，B两组随机地各选1人”，可认为基本事件数为7×7=49，其中满足“甲康复的时间不少于14天”的基本事件数为3×7=21，所以PA

（2）设事件Ai为“甲是A组第i个人”，事件Bi为“乙是B组第i个人”，由题知，当甲是从A组中康复时间为10，11两人中选或乙是从B组中康复时间为17，25两人中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从A组中康复时间为12，13，14，15，16五人中选取，且乙是从B组中康复时间为12，13，14，15，16五人中选取，可认为基本事件数为5×5=25，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为10．设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此PC

（3）a=11或18；28.（1）方法一：设持续i天为事件Ai，i=1,2,3,4用药持续最多一个周期为事件B，所以PA1=13，P则PB方法二