高中数学人教A版2022新课程解读（122张）

突出数学本质重视研究过程

发展数学核心素养提纲对学生发展核心素养以及数学核心素养的理解数学教材、数学教学中如何落实核心素养突出函数本质，重视研究过程，发展数学核心素养对学生发展核心素养及数学学科核心素养的理解着力推进关键领域和主要环节改革（一）研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准。（二）修订课程方案和课程标准。（三）编写、修订高校和中小学相关学科教材。（四）改进学科教学的育人功能。（五）加强考试招生和评价的育人导向。（六）强化教师育人能力培养。（七）完善各方参与的育人机制。（八）实施研究基地建设计划。（九）整合和利用优质教育教学资源。（十）加强课程实施管理。《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》——教基二4号2014年3月培养目标评价体系课程内容课堂教学管理机制教育方针学生发展核心素养学科核心素养高考学考综合素质评价新课程方案新课标新教材校本课程教学方式课堂评价教学资源信息技术融合选课走班发展指导课程管理师资建设硬件设施关键领域和主要环节的改革培养目标为谁培养人？培养什么人？怎样培养人？核心素养eyCompetencies是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。培养什么人？——中国学生发展核心素养连接党的教育方针与教育教学实践的桥梁三个方面六个要素十八个基本点学会学习普通高中数学课程标准（2017年版）一、课程性质与基本理念二、学科核心素养与课程目标三、课程结构设计依据、结构、学分与选课四、课程内容必修课程、选择性必修课程、选修课程五、学业质量学业质量内涵、水平、与考试评价的关系六、实施建议教学与评价建议、命题建议、教材编写建议、地方与学校实施课程标准的建议附录1：数学学科核心素养的水平划分附录2：教学与评价案例目录课程性质的变化数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能帮助学生掌握进一步学习所必需的基础知识、技能、思想和方法，提升学生的数学素养会用数学眼光观察世界会用数学思维思考世界会用数学语言表达世界高中数学课程的性质：基础性、选择性、发展性数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析课程目标的变化空间想象抽象概括推理论证运算求解数据处理应用意识创新意识五大能力两个意识义教10个核心概念数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识（一）数学学科核心素养承接和深化继承和发展数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。----史宁中ey

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NortheastNormalUniversity六个数学核心素养的层次性：数学抽象、逻辑推理、数学建模——核心的数学思想直观想象（伴随）数学运算（特殊）和数据分析（特殊）三会（落实成学生的行为）：会用数学眼光观察世界——数学抽象直观想象（数学的第一个特征：一般性）会用数学思维思考世界——逻辑推理数学运算（第二个特征：严谨性）会用数学语言表达世界——数学建模数据分析（第三个特征：应用的广泛性）1通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。2在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学核心素养。3通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高应用能力实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。（二）2017年版高中数学课标课程目标课程目标的变化数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析发现问题提出问题分析问题解决问题四基基础知识基本技能基本思想基本活动经验四能六素养会用数学眼光观察世界会用数学思维思考世界会用数学语言表达世界情感态度价值观兴趣、自信心、学习习惯、科学精神应用能力、实践能力、创新意识科学价值、应用价值、文化价值、审美价值*16双基1952年三维目标2001年学科核心素养2016年我国中小学课程目标的发展102030教书育人不变的东西是什么？双基关键能力数学思想方法课标：“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体。把数学讲好就是落实四基、培养四能、发展数学核心素养！要挖掘数学内在的教育价值，并把它们体现在教学的各个环节。数学教材、数学教学中如何落实核心素养高中数学课程标准中的教学建议1教学目标制定要突出数学核心素养;2情境创设和问题设计要有利于发展数学核心素养；3整体把握教学内容，促进数学核心素养连续、阶段性发展；4既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习;5重视信息技术运用，提高数学教学实效性把握数学本质创设问题情境优化教法学法信息技术融合理解数学理解教学理解学生理解技术理解数学：深入理解、整体把握教学内容理解教学：要让学生经历完整的数学过程要从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，完整地体现好数学的科学性、工具性、价值理性和人文性这些特质，使数学教材成为一个融数学知识、技能、方法、思想和精神于一体的整体。教给学生完整的数学，全面发挥数学的育人功能。要深入理解、整体把握教学内容理解数学对每一个教学内容，我们需要思考——这个教学内容的内涵是什么？它在教材中处于什么位置？与本节、本章其他内容有什么联系？在数学发展史上，这个教学内容是如何产生的？它有什么作用？引入这一内容后，原有的知识可以作出什么新的解释？这个教学内容蕴含什么数学思想方法？学习这一内容可以培养学生什么数学能力？发展什么数学核心素养？这个教学内容蕴含什么数学文化价值？对培养学生正确的价值观念能起什么作用？重视数学对象的获得过程，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后逻辑，从现实或数学事实出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，使学生学会数学地认识问题，这就是用数学的眼光观察世界，也就是落实数学抽象素养、直观想象的素养。理解教学要让学生经历完整的学习过程重视让学生经历数学对象的研究过程，从数学知识的发生发展规律和学生的认知规律出发构建研究问题的思路重视以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，证明结论，这就是用数学的思维思考世界，也是落实逻辑推理、数学运算的素养。观察——抽象——探索——猜测——论证在应用数学知识解决问题的过程中，重视利用数学概念原理分析问题，体现解决问题的过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。学会用数学的语言表达世界，提升数学建模、数据分析的素养。怎么经历过程？——问题引领、问题驱动通过有意义、适度、恰时恰点的问题，引导学生经历上述过程，引导学生自己概括出数学的本质，并使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。突出函数本质，重视研究过程，发展数学核心素养突出函数本质，重视研究过程，

发展数学核心素养一、突出函数所刻画的运动变化现象的本质，渗透研究函数的思想方法二、重视相关概念的形成过程，发展数学抽象素养三、从“一般观念”出发研究函数性质，体现研究方法的引导，发展逻辑推理素养四、重视背景和应用，发展数学建模素养五、重视问题引导，积累数学活动经验，提升学生发现和提出问题的能力六、重视融合信息技术，改变内容呈现方式，促进学生理解数学本质函数是中学数学中联系面广、起统帅作用的、基础的、重要的核心概念。初中：一般函数→正比例函数→一次函数→二次函数→反比例函数高中：一般函数→幂函数、指数函数、对数函数→三角函数→数列→导数研究函数对于这些函数内容，我们要学习什么？怎么学习？有没有一般的研究路径和方法？函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具。用函数刻画（某些特殊）变化，研究某些特殊的变化规律。一般到特殊：一般函数基本初等函数；连续函数离散函数。整体到局部：用导数刻画局部变化规律。运动变化现象函数的概念、表示函数的性质函数的应用特殊的函数（基本初等函数）概念：体现概念教学的一般过程。从典型丰富的具体例证中分析、归纳共性，概括出本质的过程。性质：值域、单调性、最值、奇偶性、周期性、特殊点取值。从事物的关系、规律等反映事物的特征。应用：建立函数模型解决问题。一、突出函数所刻画的运动变化现象的本质，渗透研究函数的思想方法

突出函数所刻画的运动变化现象的本质特征数学研究的数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，无论数量关系中还是空间形式中都充满了运动变化的问题，函数就是对客观事物从运动变化的角度进行数量化研究的数学语言和工具。高中阶段对于函数的认识已经从初中的“变量之间的单值对应”提升到“数集之间的对应关系”，但其刻画运动变化现象的本质特征没有改变，变化与对应也是研究函数的基本思想方法。函数刻画了运动变化现象，基本初等函数刻画了某一类具体的运动变化现象。一次函数——“匀速”变化二次函数——“匀变速”变化指数函数——“指数爆炸”的变化对数函数——“对数增长”的变化三角函数——“周期往复”的变化分段函数——不同阶段有不同变化例：三角函数的研究——突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。刻画循环往复、周而复始的规律——周期性最简单——单位圆上的匀速圆周运动用一个模型贯穿全章始终，串联起不同的概念和内容。针对具体知识，利用模型的变化，设计更加贴切的情景。诱导公式——三角函数的性质由于三角函数是利用单位圆来定义的，因此利用单位圆的几何性质（对称性），可以研究三角函数的性质，从而得到三角函数的诱导公式。直接得出同角三角函数的关系周期性——诱导公式一关于圆心中心对称——诱导公式二关于轴对称——诱导公式三关于y轴对称——诱导公式四关于直线y=对称——诱导公式五三角函数的图象和性质一以贯之的圆周运动，突出三角函数刻画“周期运动”的运动变化现象的本质特征刻画圆周运动——任意角及性质刻画单位圆周运动——三角函数概念单位圆的对称性——三角函数诱导公式三角函数的单位圆定义——三角函数图象与性质筒车、摩天轮——函数y=Asinωφ从运算角度认识函数，帮助学生抽象函数概念，发展数学运算素养代数的核心是数学运算，运算是研究数学问题的基本手段。通过数学运算（加法、乘法及其逆运算），可以建立量和量之间的代数关联，从而得到数量关系（代数式）、等量关系（方程）、变量关系（函数）。函数反映的是数量关系中的变量关系，因而运算也是研究函数的基本手段。随着人们对函数概念认识的不断深入，至函数的“关系说”，函数概念中已经没有变量、甚至对应的影子了，函数概念逐步摆脱了函数的物理背景，以“关系说”的函数概念为基础，可以通过运算法则形式化地定义基本初等函数。体现数学运算在建立函数概念中的作用指数函刻画的变化规律（增长率为定值）的发现观察表格、画出图象年增加量不变VS年增加量越来越大线性增长VS非线性增长直观观察对数量关系、运算特点的分析

运用导数研究函数性质，定量刻画函数变化，渗透微积分思想导数是描述变化率的概念，从单调性到导数，就是从定性描述变化到定量描述变化的过程。函数的单调性是“整体”性质，导数是“局部”性质。平均变化率描述了函数在某一范围（区间）内的变化，区间越小，越能精确地刻画函数的变化。当区间的长度趋近于0时，就是瞬时变化率，就是导数。从绝对变化到平均变化，再到瞬时变化的过程，体现了极限的思想。导数与单调性的关系反映了函数的局部性质与整体性质的关系。在一个区间内，如果函数在每一点的导数都大于0，则函数在该区间是单调递增的；反之，在一个区间内，单调递增函数如果有导函数，那么每一点的导数大于或等0。引入导数概念可以定量分析函数变化。例如，对于函数的单调性，在某一个区间内，如果函数在某一点的导数都大于1，利用导数可以知道这样的函数在此区间内的变化比函数y=要快。再如，利用函数在某一点的导数值为0，再加上其在这一点左右的导数值的符号，就可以确定这一点是否为函数的极值点。二、重视相关概念的形成过程，发展数学抽象素养

数学源于对现实世界的抽象，数学研究对象是从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象得到的，数学对象的获得过程蕴含着丰富的数学抽象、直观想象的核心素养。函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，因此对于函数及相关概念（基本初等函数、数列、等差数列、等比数列、导数），都要从反映这些概念本质特征的现实情境、数学情境、其他学科情境等问题情境出发，让学生经历归纳其共同特征、概括其本质属性的过程，使学生学会数学地认识问题，学会“用数学的眼光观察世界”，从而发展数学抽象、直观想象的素养。函数概念的抽象过程函数概念的发展历史：变量说对应说关系说17世纪，笛卡儿：引入变量概念，并用代数关系式表达变化的量之间的关系。1673年，莱布尼兹：给出了函数的概念，用来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。1748年，欧拉：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。1755年,欧拉：如果某变量，以这样的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数。1821年，柯西：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。1837年，狄里克莱：如果对于给定区间上的每一个的值，有唯一的y值同它对应，那么y就是的一个函数，至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于,或者y依赖于是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的。1851年，黎曼：假定是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为的函数。1939年，布尔巴基学派：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E中的变元和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与给定的关系。称这样的运算为函数，它以上述方式将与有给定关系的元素y∈F与每一个元素∈E相联系。称y是函数在元素处的值，函数值由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。”进一步符号化：设F是定义在集合和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个∈，都存在唯一的y∈Y，使得（，y）∈F。为什么要研究函数概念发展历史？初中函数概念分析在一个变化过程中，如果有两个变量与y，并且对于的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称是自变量，y是的函数。变量间的单值对应关系，变量—对应说在具体的变量背景上定义函数，有利于学生直观认识函数的本质特征，但很难摆脱表达形式（表达式、表格、图象）的束缚，因此很难一般地认识函数，很难把握函数的本质特征。根据这种定义很难判定两个具有不同表达式的函数f（）=1和g（）=sin2cos2是否相同；这种方式定义的函数，很难建立函数的定义域和值域，因此也很难研究函数的性质。

函数概念教学中的重点加强背景，从典型实例出发引出函数概念，体现函数刻画运动变化的本质特征，体现“函数模型”思想，在学生头脑中形成丰富的函数例证。加强概念形成过程，让学生自己归纳概括函数的本质：单值对应→数集之间的单值对应；这个过程就是抽象素养落实的过程。感性具体理性具体理性一般

教学中可以设问S是t的函数吗？为什么？（用初中概念判断）“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350m∕h后，运行1h就前进了350m．”这个说法正确吗？（1）时间t的变化范围是什么？相应的，路程S的变化范围是什么？（2）能根据现有条件回答“时对应的距离是多少”吗？你认为应该如何更准确地描述S与t之间的对应关系？对于数集中的任一时刻t，按照对应关系s=350t，在数集中有唯一确定的路程s和它对应。有解析式，提升点在于明确时间t和路程S的变化范围．问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？离散型函数与问题1相比，解析式相同，但定义域不同，是不同的函数。非连续，进一步体会关注自变量取值范围的重要性。问题3给出北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI）变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？I是t的函数吗？为什么？这里的对应关系是什么？仅仅描述“因为任意一个时间t都有唯一一个AQI的值与之对应”够吗？追问：（1）“给定t的值”，怎么给？（2）“通过图形能确定唯一的I与之对应”，怎么找？从所给的图中能回答“11月24日8:00的AQI值是多少”吗？11月23日这一天AQI值的变化范围是什么？（B集扩大）这个函数有解析式吗？怎么表示这个函数？模仿问题1，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题吗？图象形式表达的函数，为引入抽象符号f：A→B表示对应关系埋下伏笔．

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数%36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57归纳上述问题的共同特征上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？都包含两个非空数集，用A，B来表示；都有一个对应关系；尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．理性具体理性一般给出函数定义用新定义描述一次函数、二次函数、反比例函数构建问题情境，解释函数y=10－的对应关系经历概念教学的基本环节概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；纳入概念系统——建立与相关概念的联系。其他相关概念的形成过程——以数列为例数列：通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象王芳同学从1岁到17岁的身高依次排成的一列数75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168两河流域发掘的一块泥板上表示一个月中从第一天到第15天每天月亮可见部分的一列数5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176192，208，224，240通过对这两个例子的分析可以发现，这两列数中的每个数都有确定的位置，也就是说，整列数是按照确定的顺序排列的，这就得到了数列的描述性定义。进一步地，从这个共同特征中可以抽象出数列的一般形式a1，a2，…，an，…，这实际上从数学的角度揭示了数列的本质特征——可以用正整数按照其中的每个数所处的位置编号，并按编号从小到大的次序排列的一列数。在此基础上，建立数列的每一项和它的序号之间的对应关系n→an，从函数的角度看数列，将数列理解为定义在自然数集（或自然数集的有限子集）上的一类离散函数。最后，类比函数的表示方法，可以得到数列的三种表示方法——表格、图象和通项公式。其中通项公式就是数列的函数解析式。研究函数性质的一般观念为什么研究性质：通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。什么是函数的性质：变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”。三、从“一般观念”出发研究函数性质，体现研究方法的引导，发展逻辑推理素养

怎么研究函数性质利用图象研究性质特殊到一般三步曲观察图象，描述变化规律结合图、表，用自然语言描述变化规律用数学符号语言描述变化规律

指数函数的图象和性质“利用图象研究性质”不是“由图象推导出性质”。函数的性质是其本身的固有属性，不是由它的图象决定的。要注意“回到解析式”，结合解析式用符号语言描述变化规律。也可以从函数定义出发研究性质，再利用函数的性质研究函数的图象，使学生对函数的性质有更本质的认识。函数关系是平面上点的集合，在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，与解析几何、向量几何一样，函数也是数形结合的载体，函数的不同表示法（解析法、图象法、表格法）也反映了函数数形结合的特征。从数形结合的角度理解函数，也使得我们既可以利用函数的图形直观，利用函数图象研究函数的性质；也可以从函数的性质出发，研究函数的图象。

关于函数单调性的教学两个难点：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为定量的不等式语言；为什么要“∀1，2∈D”。用“例—规”法教学效果不理想的原因：单调性判断规则本身的抽象性；定量化方法的构造性。学生在此之前没有学过类似的方法，他们的认知准备不充分。教材采用“规—例”法借助实例先给出单调性判断规则以二次函数f=2画出它的图象

重视函数相关概念产生的背景，体现函数是刻画运动变化现象的数学语言和工具一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要。教材中任何一个新概念的引入，都强调它的现实背景、数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，这样才能使教材显得自然、亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人，也利于学生更好地理解其本质。函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，理解函数概念，必须需要相应的运动变化的背景作为支撑。四、重视背景和应用，发展数学建模素养

一般的函数概念：“复兴号”高铁运行、空调维修工人的工资、北京市某一天的空气质量、某市近十年的恩格尔系数四个问题，从“感性具体”到“理性具体”再到“理性一般”，抽象得到函数概念。指数函数刻画了呈现“指数增长”的运动变化现象。现实世界中，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等呈现了这种运动变化规律；通过某景区游客人数增长的问题和碳14含量的衰减的问题，引入指数函数的概念。三角函数刻画周期运动。教科书在三角函数的开篇语中列举了大量现实世界中的周期变化现象，如昼夜交替、四季交替、月亮圆缺、朝夕变化、匀速圆周运动的位置变化、简谐振动的位移变化、交变电流的变化等。在三角函数的概念、诱导公式、图象、性质的研究过程中，一以贯之的运用匀速圆周运动这一最简单的周期变化的背景，以加深学生对三角函数刻画周期运动的本质的理解。数列、等差数列、等比数列的概念。教科书也是通过大量现实的、数学历史发展中的实例，引导学生理解数列的“通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象”的特征，等差数列、等比数列的“具有某些特殊变化情况的数列”的特征，进而将数列、等差数列、等比数列与函数、一次函数、指数函数做类比，从而理解其本质。导数是定量地、精确地刻画运动变化的。教科书从研究“高台跳水运动员的速度”的问题出发，结合刻画其在跳水过程中运动的快慢程度，从平均变化率到瞬时变化率刻画其在某一时刻的瞬时速度；在此基础上，通过对抛物线的切线的研究，通过由割线逼近切线的过程，由割线的斜率逼近切线的斜率。从瞬时速度和切线斜率这两个经典的问题引出导数概念，让学生理解导数刻画函数某一点运动变化的本质特征。重视应用函数模型解决实际问题，发展学生应用意识通过应用函数解决实际问题，可以帮助学生更好地理解函数如何刻画客观世界事物的变化规律，逐渐掌握建立函数模型解决实际问题的一般过程，体会函数的模型思想。函数的应用（一）：个税问题、汽车行驶中速率的变化问题。分段函数。函数的应用（二）：马尔萨斯人口模型、利用碳14推测良渚遗址年代、投资方案的选择、奖励方案的制订。既包括用已知模型解决实际问题，也包括选择合适的模型解决实际问题。数学建模活动观察实际情景，发现和提出问题中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？通过实测数据建立茶水水温关于时间的函数模型，将该茶水温度的实测过程转变为时间估计的问题。使得不用时刻测试水温，根据函数模型，通过简单计算就可以知道大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感．收集数据秒表、温度计计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术工具实验环境、容器形状、不同茶叶等影响，数据可能与教科书不一致，不同小组也可能不一致．时间/min012345水温/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析数据、画散点图散点图的分布状况呈递减状态，学生可能会提出各种递减函数作为模型，结合几类基本初等函数的变化特征，指导学生做出选择．y＝a＋25为什么要加25？所选函数一般只能大致反应茶水温度变化的局部规律，难以做到准确刻画每一个具体数据，因此，建立模型之后需要对模型进行检验．建立和求解模型利用已知数据求y＝a＋25中的，a。a如何计算？能否直接将一组数据代入求a？（用比的均值求a）检验模型画出y＝60×09227＋25的图象，检验原始数据。求解问题将y＝60代入y＝60×09227＋25，得≈66997，所以泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7min。自主开展建模活动选题应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法；估计阅读一本书所需要的时间．活动过程指导撰写活动报告交流展示问题是数学的心脏，问题引导学习在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，体会数学研究方法、积累数学活动经验，提升发现和提出问题的能力。五、重视问题引导，积累数学活动经验，提升学生发现和提出问题的能力

在章、节开篇，提出引导性问题，整体构建研究思路正文通过栏目和边空提出问题，引导学生思维活动，理解数学本质三角函数的诱导公式：结合诱导公式的来龙去脉，通过推广、特殊化等环环相扣地给出了一条观察事物（情景）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，使学生在获得诱导公式的过程中，体会借助单位圆的对称性研究三角函数性质的思想方法。根据定义，直接得出“公式一”；探究：诱导公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？——探究“同角三角函数的基本关系”；利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。——诱导公式的引导语探究1：如图53-1

，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1．（1）作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？（2）如果作P1关于轴（或y轴）的对称点P3（或P4），那么又可以得到什么结论？——公式二（πα）、三（−α）、四（π−α）探究2：作P１关于直线y＝的对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？——公式五（π/2−α）探究3：作P5关于y轴的对称点，又能得到什么结论？——公式五（π/2α）三角恒等变换观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系。如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系？——三角恒等变换的导语探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出αβ，α－β的正弦、余弦吗？——两角差的余弦探究：由公式Cα-β出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？——两角和的余弦探究：上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五或六可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Cαβ，Cα-β及诱导公式五或六，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sinαβ，sinα－β的公式吗？探究：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Cα±β，Sα±β出发，推导出用任意角α，β的正切表示tanαβ，tanα－β的公式吗？探究：和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α，β为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？探究：你能利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗归纳：从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结．小结以问题形式总结全章内容，深化对内容的整体理解小结是对全章内容的梳理，是对本章核心内容及反映的主要思想方法和研究方法进行归纳概括、去粗取精、由厚到薄的提炼过程。回顾与思考：在回顾部分对本章进行整体概述，阐述本章内容之间、本章内容与其他内容之间的联系，揭示本章内容反映的思想方法、研究方法等。“思考”部分则强调问题引导，加强学生的主动思维，通过学生自己的独立思考回忆、总结全章内容，深化对本章核心内容及其反映的