高中数学奇偶性的概念理解

函数的基本性质主讲老师：蒋建平函数性质奇偶性观察下列函数图象，从图形对称的角度把这些函数图象进行分类：函数性质奇偶性第一类：关于y轴对称函数性质奇偶性第二类：关于原点对称函数性质奇偶性首先从第一类函数图象中选取一个我们熟悉的代表：x-3-2-10123f(x)=x29410149通过表格和图象，我们可以观察到代数特征：当自变量取一对相反数时，相应的函数值相同．列表函数性质奇偶性图象结论：当自变量在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：函数性质奇偶性偶函数定义：一般地，如果对于函数f的定义域内的任意一个都有f-=f，那么函数f就叫做偶函数．如果一个函数的图象关于y轴对称或者说一个函数是偶函数，那么它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称．函数性质奇偶性注意：1偶函数指的是函数的整体性质，针对整个定义域内来说的．2偶函数的前提条件是：定义域关于原点对称．要注意关于原点对称的含义，如区间-2，0与区间0，2关于原点对称．3在前提条件下：偶函数图象关于y轴对称函数性质奇偶性我们继续观察：第二类图象我们能否按照推导偶函数的方法和步骤，归纳出奇函数的定义呢？函数性质奇偶性答案是肯定的类比偶函数定义的由来，在第二类函数图象中选取一个代表：x-3-2-10123f(x)=x3-27-8-101827通过表格和图象，我们可以观察到奇函数代数特征：当自变量取一对相反数时，相应的函数值相反．列表函数性质奇偶性图象由此我们可以得到奇函数的定义：一般地，如果对于函数f的定义域内任意一个，都有____________，那么函数f就叫做奇函数．f-=-f如果一个函数的图象关于原点对称或者说一个函数是奇函数，那么它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称．应用同样的方法我们可以得出奇函数的注意事项．函数性质奇偶性注意：1奇函数指的是函数的整体性质，针对整个定义域内来说的．2奇函数的前提条件是：定义域关于原点对称．3在前提条件下：奇函数图象关于原点对称函数性质奇偶性函数名称图例图象特点定义

偶函数关于y轴对称对定义域内任意一个x，都有

奇函数关于原点对称对定义域内任意一个x，都有函数性质奇偶性例1根据定义判断下列函数的奇偶性．函数性质奇偶性函数性质奇偶性例1根据定义判断下列函数的奇偶性．函数性质奇偶性例1根据定义判断下列函数的奇偶性．奇偶性例1根据定义判断下列函数的奇偶性．奇偶性例1根据定义判断下列函数的奇偶性．奇偶性例1根据定义判断下列函数的奇偶性．用定义法判断函数奇偶性解题步骤：1先确定函数定义域，并判断定义域是否关于原点对称;2求f-，找f与f-的关系;若f-=f，则f是偶函数;若f-=-f，则f是奇函数．3作出结论：f是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数．函数性质奇偶性给出函数判断定义域是否对称验证f-与f的关系结论定义法判断函数奇偶性解题步骤函数性质奇偶性例2已知函数的右半部分图象，根据下列条件把函数图象补充完整．1f是偶函数;2f是奇函数．函数性质奇偶性奇偶性通过例2的学习我们知道，可以通过奇函数和偶函数的图象性质解决：已知奇函数（或者偶函数）定义域右边图象可画出对应定义域左边的函数图象．思考：如果我们知道奇偶函数定义域右左边的解析式，能否利用奇偶函数的性质求出对应定义域左右边的解析式呢？函数性质奇偶性解：例3已知函数f是奇函数，且当≥0时，f=2，求f的解析式．函数性质奇偶性解：练习已知函数f是偶函数，且当≥0时，f=22-3，求f的解析式．奇偶性与单调性通过前面的学习我们知道：如果已知奇偶函数定义域左右边的图象（或解析式），我们可以画出它右左边的图象（或求出右左边的解析式）．思考：奇函数与偶函数关于原点对称的区间的图像走势有什么联系呢？思考：偶函数中，y轴两侧的图象走势有何不同？可得出什么结论？奇偶性与单调性结论：偶函数在y轴两侧图象的升降方向是相反的．即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．奇偶性与单调性思考：奇函数是否具有相同的性质？如图思考：y轴两侧的图象走势有何不同？可得出什么结论？奇偶性与单调性奇偶性与单调性结论：奇函数在y轴两侧图象的升降方向是相同的．即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同．奇偶性与单调性通过图形语言我们得出了奇偶函数在对称区间上单调性的关系：奇函数对称的区间单调性相同，偶函数对称的区间单调性相反．之前我们已经学习过用函数单调性的定义证明单调性，我们能否从定义上给予结论严格的逻辑证明呢？奇偶性与单调性取值定号变形作差结论例4已知偶函数f在区间上是增函数还是减函数？并证明．分析：通过前面的观察得出的结论我们知道，f在区间上是增函数，接下来我们一起分析如何利用单调性的定义来证明我们的结论．奇偶性与单调性证明：奇偶性与单调性类比分析：通过前面的观察得出的结论我们知道，f在区间上是减函数．接下来我们类比“偶函数在对称区间单调性证明”来证明奇函数在对称区间单调性的结论．取值定号变形作差结论练习已知奇函数f在区间上是增函数还是减函数？并证明．奇偶性与单调性证明：分析：由于奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以在-1，0]上也是增函数．我们可以利用函数单调性去掉对应关系f的作用转化为自变量来解决．奇偶性与单调性例5已知函数f是奇函数，其定义域为-1，1，且在[0，1上为增函数．若fa-2f3-2a<0，试求a的取值范围．奇偶性与单调性解：奇偶性与单调性解：练习设定义在区间上单调递减，若fm>f2m-2，求实数m的取值范围．1奇偶性定义：对于函数f，在它的定义域内，①若有f-=-f，