第2章常用逻辑用语章末题型归纳总结

第2章常用逻辑用语章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：充分条件与必要条件经典题型二：全称量词命题与存在量词命题经典题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)经典题型四：充要条件的证明经典题型五：命题的否定经典题型六：由命题真假求参数的值(取值范围)模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③方程思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：充分条件与必要条件例1．（2023·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）设、，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，则“”“”；但当时，取，，则，即“”“”.所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.例2．（2023·浙江绍兴·高一校考开学考试）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分条件；由，不能够推出，故“”是“”的不必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A例3．（2023·上海·高一专题练习）若,则“”是“”的（

）A．充分条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：C.例4．（2023·北京·高二汇文中学校考期末）设，或，则是成立的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，或，即成立时，一定成立，但成立时，不一定成立，故是成立的充分不必要条件.故选：B.例5．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为是的必要不充分条件，所以，推不出，因为是的充分不必要条件，所以，推不出，因为是的充要条件，所以，，所以由，，可得，由推不出，推不出，可得C推不出D.故D是C的充分不必要条件.故选：B.例6．（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考开学考试）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，所以是的即不充分也不必要条件，所以A不符合题意；对于B中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，所以是的即不充分也不必要条件，所以B不符合题意；对于C中，由，则成立，反之：若，则不一定成立，所以是的充分不必要条件，所以C符合题意；对于D中，由，则不一定成立，反之：若，则成立，所以是的即必要不充分条件，所以D不符合题意.故选：C.例7．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；反之：若且，可得成立，所以必要性成立，所以“”是“且”必要不充分条件.故选：B.例8．（2023·高一课时练习）点是第二象限的点的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点是第二象限的点的充要条件是．故选：B例9．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（

）个①若是偶数,则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；对于④，若，则，故④符合题意.故选：D.经典题型二：全称量词命题与存在量词命题例10．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中为真命题的是（

）A．所有的矩形都是正方形B．集合与集合表示同一集合C．是的必要不充分条件D．，【答案】C【解析】对于A项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故A错误；对于B项，由描述法的概念可知集合与集合分别表示点的集合与数的集合，显然不表示同一集合，故B错误；对于C项，由，不满足充分性，若则，满足必要性，故C正确；对于D项，，故D错误.故选：C例11．（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考开学考试）下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（

）A．对任意实数a，b，都有B．梯形的对角线不相等C．D．所有的集合都有子集【答案】D【解析】根据全称量词命题的定义可知，全称量词命题有A，B，D三项，C为存在量词命题，对于A，有，故A为假命题；对于B，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题；对于D，根据子集的定义可知，D为真命题.故选：D.例12．（2023·高一课时练习）下列全称量词命题为真命题的是（

）A．所有的质数都是奇数B．，C．对每一个无理数，也是无理数D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5【答案】B【解析】质数中2不是奇数，A选项为假命题；，都有，则，B选项为真命题；为无理数，但是有理数，C选项为假命题；所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D选项为假命题.故选：B例13．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．每一个二次函数的图象都是开口向上B．存在一条直线与两条相交直线都平行C．对任意，若，则D．存在一个实数x，使得【答案】C【解析】A选项是全称量词命题，二次函数的图象有开口向上的，A是假命题，不符合题意；B选项是存在量词命题，不符合题意；C选项是全称量词命题，对任意，若，则，即，C是真命题，符合题意；D选项是存在量词命题，不符合题意.故选：C.例14．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中是真命题的为（）A．，使 B．，C．， D．，使【答案】B【解析】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误，对于B，因为时，，所以，所以B正确，对于C，当时，，所以C错误，对于D，由，得，所以D错误，故选：B例15．（2023·全国·高一专题练习）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【解析】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中，而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误．故选：B例16．（2023·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（

）A． B．菱形的两条对角线相等C． D．一次函数的图象是直线【答案】D【解析】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误，对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，对于C,是存在量词命题,故C错误，对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，故选：D经典题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)例17．（2023·全国·高一专题练习）设集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.【解析】（1）由题意知当时，，故或，而，故；（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，故当时，，符合题意；当时，需满足，且中等号不能同时取得，解得，综合以上，m的取值范围为或.例18．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）设全集，集合，集合．(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．【解析】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得，又，，因此或，解得，所以实数的取值范围为.（2）命题“，则”是真命题，则有，当时，，解得，符合题意，因此；当时，而，则，无解，所以实数的取值范围.例19．（2023·高一课时练习）已知p：实数x满足，其中；q：实数x满足.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【解析】由，即集合，由，即集合，因为p是q的充分条件，可得，则，解得，所以a的取值范围是.例20．（2023·江苏盐城·高一校联考期中）已知集合，．若是的充分条件，求实数m的取值范围．【解析】由是的充分条件，则，即，又，则非空，所以，可得.例21．（2023·高一课时练习）若，或，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】因为A是B的充分不必要条件，所以A⫋B，又，或．所以或，解得或所以实数a的取值范围是或．例22．（2023·高一单元测试）设p：实数x满足集合A＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，q：实数x满足集合B＝{x|x＜－4，或x≥－2}，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】∵p是q的充分不必要条件，∴是的真子集，∴或解得或，即实数a的取值范围或.例23．（2023·天津武清·高一校考阶段练习）已知集合或，．(1)若，求和；(2)若是的必要条件，求实数a的取值范围.【解析】（1）∵，∴，∴，或；（2）∵是的必要条件，∴∴当时，则有，解得．满足题意．当时，有，或，由不等式组可得，不等式组无解．综上所述，实数a的取值范围是或.例24．（2023·高一课时练习）已知实数满足，其中；实数x满足,若是的必要条件，求实数的取值范围．【解析】因为，即集合；实数x满足,，即集合．又因为是的必要条件，所以，所以，解得.所以实数的取值范围为：.例25．（2023·全国·高一随堂练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？【解析】因为集合非空，所以，选择条件①：因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集，所以（两个等号不同时取到），解得，故实数的取值范围是.选择条件②：因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，

所以有且（两个等号不同时取到），解得.综上，实数的取值范围是.选择条件③：因为是的充要条件，所以有且，即，此方程组无解，则不存在实数，使得是的充要条件.例26．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？【解析】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，所以，实数m的取值范围是；若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是；若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数.经典题型四：充要条件的证明例27．（2023·江苏·高一专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是.【解析】证明：必要性：设方程与有公共实数根，则两式相减并整理，可得因为，所以，将此式代入中，整理得，故.充分性：因为，可得，所以，将代入方程中，可得，即，将代入方程中，可得，即故两方程有公共实数根.所以关于的方程与有公共实数根的充要条件.例28．（2023·全国·高一专题练习）求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件是.【解析】假设p：方程有一个根是1，q：.证明，即证明必要性：∵是方程的根，∴，即.再证明，即证明充分性：由，得.∵，∴，即.故.∴是方程的一个根．故方程有一个根是1的充要条件是.例29．（2023·全国·高一专题练习）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.【解析】充分性：∵，∴方程的判别式，且，∴方程有两个同号且不相等的实根．必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，则有，解得.综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.例30．（2023·高一课时练习）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．【解析】必要性：设方程与的公共根为，则，，两式相加得（舍去），将代入，得，整理得.所以.充分性：当时，，于是等价于，所以，该方程有两根，.同样等价于，所以，该方程亦有两根，.显然，两方程有公共根.故方程与有公共根的充要条件是.例31．（2023·全国·高一专题练习）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.【解析】充分性：若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；必要性：由于等式对任意实数恒成立，分别将，，代入可得，解得，必要性成立，故等式对任意实数恒成立的充要条件是.经典题型五：命题的否定例32．（2023·山东德州·高三统考阶段练习）下列结论正确的是（

）A．“”的否定是“”B．“”的否定是“”C．“四边形ABCD是矩形”是“平面四边形ABCD的每个内角都相等”的充要条件D．“四边形ABCD是矩形”是“平面四边形ABCD的每个内角都相等”的充分不必要条件【答案】C【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则“”的否定是“”，A、B错；四边形ABCD是矩形，则每个内角都相等，反之也成立，所以“四边形ABCD是矩形”是“平面四边形ABCD的每个内角都相等”的充要条件，C对，D错；故选：C例33．（2023·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）已知命题：，，则（

）A．p：， B．p：，C．p：， D．p：，【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以：，的否定是：，，故选：D例34．（2023·全国·高一专题练习）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由全称量词命题的否定可知：原命题的否定为.故选：A例35．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】，”的否定为，.故选：C.例36．（2023·全国·高一专题练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】命题“”为全称量词命题，其否定为：.故选：A例37．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为.故选：B例38．（2023·全国·高一专题练习）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命题“，”的否定是“，”．故选：D．例39．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知命题，，则命题的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】已知命题，，则命的为,.故选:A.例40．（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）命题“，使得”的否定形式是（

）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】C【解析】由命题的否定的定义，因为原命题是“，使得”，因此其否定形式应该把全称量词改为存在量词，把改为，所以命题“，使得”的否定形式是“，使得”.故选：C.经典题型六：由命题真假求参数的值(取值范围)例41．（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，集合．(1)若，求实数的范围；(2)若，，使得，求实数的范围．【解析】（1）若，则，当时，则，，当时，则，则不存在，综上，，，实数的范围为．（2），，使得，，且，则，，实数的范围为．例42．（2023·全国·高一专题练习）已知命题“满足，使”，(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.【解析】（1）命题“满足，使”，为真命题时，，令，则，所以，所以命题为假时，则或，命题“”，为真命题时，，解得或，所以命题为假时，则，又因为命题都为假命题时，，即，所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或；（2）由（1）可知：命题为真命题时，，记因为是的充分不必要条件，所以，当即，也即时，满足条件；当时，，解得；综上可知：实数的范围是例43．（2023·河北承德·高一承德市双滦区实验中学校考期中）解答：(1)已知命题p：“，”是真命题，求实数a的取值范围；(2)已知命题q：“满足，使”为真命题，求实数a的范围.【解析】(1)命题p为真命题，即在R上恒成立.①当时，不等式为显然不能恒成立；②当时，由不等式恒成立可知即所以；综上，a的取值范围是；(2)当时，由，当时，函数的最小值，当时，函数有最大值，，由题意有，所以.例44．（2023·全国·高一专题练习）“”是真命题，则m的范围是【答案】【解析】对于命题：对任意，不等式恒成立，而，有，∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是.故答案为:例45．（2023·全国·高一专题练习）某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“”是真命题，求范围．你认为，两位同学题中范围是否一致？(填“是”“否”中的一种)【答案】是【解析】因为命题“”的否定是“”，而命题“”是假命题，与其否定“”为真命题等价，所以两位同学题中范围是一致的，故答案为：是例46．（2023·高一校考单元测试）若命题“”是假命题，则实数m的范围是．【答案】【解析】命题是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为：，则，解得：.故实数m的范围是：．故答案为：.例47．（2023·全国·高一专题练习）命题“”为真，则实数a的范围是【答案】【解析】由题意知：不等式对恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得，所以的取值范围是，故答案为：.例48．（2023·福建宁德·高二统考期末）若命题“”是假命题，则a范围是．【答案】【解析】由题设可得为真命题，利用判别式可得a的范围.因为命题“”是假命题，故，恒成立，故即.故答案为：.例49．（2023·全国·高一专题练习）若，使，则实数的范围为.【答案】【解析】，使成立，可令，得，解得，所以实数的范围是.故答案为：.例50．（2023·广东广州·高二校联考期末）若命题“，使得”为真命题，则实数的范围为．【答案】或【解析】利用即可求出.若命题“，使得”为真命题，则，解得或.故答案为：或.例51．（2023·湖南张家界·高一统考期中）命题“，使”是真命题，则的范围是.【答案】.【解析】等价于在恒成立，即得解.命题“，使”是真命题等价于时，恒成立.所以在恒成立，所以.故答案为：模块三：数学思想方法①分类讨论思想例52．已知全集，集合，集合，其中若“”是“”的充分条件，求a的取值范围；若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．【解析】因为“”是“”的充分条件，故，在数轴上表示出集合A和B：则，即，解得，则a的取值范围为；因为“”是“”是必要条件，故，①当时，，即，符合题意；②当时，在数轴上表示出集合A和B：则，即，解得，综上所述：a的取值范围为例53．已知集合，若，求；若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】当时，，或，因为，所以；若“”是“”的充分不必要条件，即，当时，，此时，满足，当时，则，即，且，等号不能同时取，解得：，即实数a的取值范围为例54．已知集合，，全集当时，求若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】当时，集合，或，故由题知：，即且，当时，，解得；当时，，解得，由得，，综上所述：实数a的取值范围为例55．设集合，若，求a的值；设条件p：，条件q：，若q是p的充分条件，求a的取值范围．【解析】，，解得；，依题意，①若；②若或时，，，此时；③若，解得，综上：a的取值范围是例56．已知集合，在①②"”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题．当时，求若__________，求实数a的取值范围．【解析】当时，，而，所以，或选①，由可知：，当时，则，即，满足，则，当时，，由得：，解得，综上所述，实数a的取值范围为或选②，因“”是“”的充分不必要条件，则，当时，则，即，满足，则，当时，，由得：，且不能同时取等号，解得综上所述，实数a的取值范